基本入手 化繁为简——基本量法的解题程序

俞海东, 李柏翰

(1.嵊州中学，浙江 嵊州 312400；2.浙江师范大学教师教育学院，浙江 金华 321004)

数学思想方法是数学在漫长发展过程中所积累的文化灵魂，将数学思想方法渗透到课堂教学有助于学生数学学习能力的发展、锻炼数学思维，是落实学科核心素养的重要途径.笔者在实践教学中发现：当学生碰到陌生复杂的问题时，在如何审题以及如何解题方面存在一定的困难.基于此，笔者以渗透数学思想方法为导向，以基本量法为核心方法，根据波利亚解题理论和卢正勇教授的解题程序，形成基本量法的解题程序.本文以平面向量问题、解三角形问题、函数与方程问题为例，将解题过程一般化、可操作化，让学生学会对问题的条件和结论进行适当分解和组合，建立已知条件和目标之间的联系，使学生在解题过程中体会思维分拆的过程，形成明确的解题思维程序.

1 基本量法的概念及解题程序

17世纪初，韦达提出用几个字母来表达未知量或已知量的想法.在数学问题解决的过程中，往往需要根据题目所给的条件设定未知量，并分析已知量和未知量之间的关系，选择其中的一些量，使得其余量可以用它们表示，这些量被称为基本量.举例而言，平面直角坐标系中任意一个向量都可以由两个向量(1,0)和(0,1)线性表示，因此这两个向量(1,0)和(0,1)称为基本量.化繁为简是处理数学问题的常见方法，将题目中的量用基本量来表示体现的正是这种化繁为简的思想.以基本量为主线，来解决数学问题的方法称为基本量法.

根据波利亚解题理论和卢正勇教授的解题程序，本研究认为基本量法的解题程序包括：审题、分析、解答、验证反思这4个环节.认真审题的核心是寻找合适的变量表达已知量和未知量；分析环节是寻找合适的基本量表达数学问题；解答环节的关键是寻找合适的等式并利用其消元，以达到简化问题、解决问题的目的；验证反思环节是总结选择基本量的经验，让学生学会举一反三.

2 基本量法的解题实践

2.1 平面向量问题中的基本量法

例1已知平面向量a,b满足|2a-b|=2，且a·(a+b)=1，求|a+b|的取值范围.

研究思路基底是平面向量中的重要概念，在涉及多个向量的问题中，选两个作为基底，将条件和目标的向量都用基底表达，再将问题转化为两个基底的模长和数量积的方程组问题.对于问题的解决能起到化繁为简的效果.

解题程序1)审题:该问题包含向量的运算、向量的模等要素，a,b可以通过向量的加法和减法运算、向量的数量积转变为题中的已知条件和目标.通过基本量法将问题转化为两个基底的模长和数量积的方程组问题.

2)分析:本问题可以选择a,b作为基本量.由题意知

4a2-4ab+b2=4，

a2+ab=1，

设|a|=x,|b|=y,a·b=xycos,消去a·b，化简得

8x2+y2=8,

3)解答:再考虑-|a|·|b|≤a·b≤|a|·|b|，即

-xy≤1-x2≤xy，

代入目标函数，得

1≤|a+b|≤3.

4)验证反思:在平面向量问题中，可以选择基底作为基本量，对题目中的条件进行化简.同时也需要注意向量问题中的“隐性”条件：

-|a|·|b|≤a·b≤|a|·|b|.

2.2 解三角形问题中的基本量法

图1

解题程序1)审题:该题干中的信息包括内切圆半径r、角A、所求变量为面积S，可以将内切圆半径r和面积S用三角形的基本要素3个角和3条边来表示.在△ABC中，基本量是角A,B,C和边a,b,c.

3)解答:本题中角A为已知量，目标函数中需要求bc的最小值，因此需要根据上述已知条件消去a.条件③可以因式分解为

与条件②联立，可得

b+c-a=2，

将其代入条件③，化简得

从而

于是

4)验证反思:三角形的3条边与3个角是三角形的基本要素，因此在解决三角形问题时，把三角形的3条边与3个角作为基本量是解决问题的突破口.

2.3 函数与方程问题中的基本量法

例3已知函数f(x)=ax2+bx+1(其中x>0,a>0,b∈R)，设方程f(x)=x有两个实数根x1,x2.试解决以下问题：

1)如果x1<2-1；

2)如果0

研究思路一元二次方程的根与系数存在关系，一元二次方程的系数可以用根来表示,同样地，根也可以用系数来表示.把根作为基本量去表示系数，或把系数作为基本量去表示根能起到精简题干、化繁为简的作用.这为也我们解决函数与方程问题提供了思路.

解题程序1)审题:该题关于x1,x2的信息最多，可以选择x1,x2作为基本量，把系数a，b以及对称轴用x1,x2表示.

2)分析:根据韦达定理,可得

进而得到

至此已将题中的其他量用x1,x2来表示.

3)解答: ①由0

-3<(x1-1)(x2-1)<3.

进而得到x0>-1.

②条件中的等式有

若x1-x2=2，则x2<0，与a>0矛盾.利用等式消元，得

得

故

4)验证反思:在二次函数与方程的问题中，根与系数都可以作为基本量.把题干中的量用基本量表示，既建立了量与量之间的联系，又起到消元的作用.研究的目标从多个变量转为少数几个变量，体现了数学的简洁美.

3 启示

基本量法基于消元、转化等数学思想，从数学思想方法的角度对问题解决提供理论指导.本研究以平面向量问题、三角形问题、函数与方程问题为例，分析了3个例题的基本量选取以及基本量法的解题程序.将基本量法的解题程序运用于教学实践，能让学生体味数学思想方法的魅力，促进学生学习能力以及思维能力的发展.对于基本量法的解题教学，教师应该特别关注以下3个方面.

第一，重视基本量法解题程序的4个环节.教师需要深度理解基本量法的解题程序，落实审题、分析、解答、验证反思这4个环节.审题的核心是寻找题目中量与量的关系，选择合适的量作为基本量；分析环节则需要在“审题”的基础上，把题目中的所有量都用基本量表示，达到统一变量的目的；解答环节的关键是寻找合适的等式并利用其消元，以达到简化问题、解决问题的目的；验证反思环节，教师需要总结选基本量的经验，使学生在后续的解题中学会举一反三.

第二，注重归纳总结各类问题中的基本量.高中数学课程内容突出函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动这4条主线.对于不同的知识点，教师需要根据知识的生成脉络，总结解题所需的基本量.举例而言，△ABC的3条边a，b，c可以作为解三角形问题中的基本量，3个角A，B，C、面积S、外接圆半径R和内切圆半径r都可以用3条边a，b，c表示.在等差数列中，可以选择首项a、公差d和项数n作为基本量；在等比数列中可以选择首项a、公比q和项数n作为基本量.平面向量问题中可以选择两个不共线的向量作为基本量.只要我们明确了事物的基本量，那么事物的本质就平铺在台面上，一切问题就能迎刃而解.在解决各类问题时，我们可以根据问题的类型与解题目标，选取适当的基本量，通过基本量的确定来迅速完成解题任务.

第三，设计有效的题组训练.数学思维水平的提高离不开一定的训练量，教师在课堂中设置有效的题组训练是非常必要的.尤其是同一类问题，教师需要设置一题多变、一题多解的题组，引导学生思考“该如何选择基本量”“基本量的选择是否唯一”等问题.举例而言，在解三角形问题中，3条边a，b，c可以作为解三角形问题的基本量，两边及其夹角a，b，C也可以作为解三角形问题的基本量.教师需要设置有效的题组训练，让学生知道在解题时选择哪些量作为基本量是最恰当的.通过设置有效的题组训练培养学生思维的发散性，让学生洞悉基本量法的本质.