基于共轭曲线的罗茨泵转子渐开线型线设计

薛海燕，陆祖鑫，杜海宁

（甘肃彦皓工程技术有限公司，兰州 730000）

0 引言

罗茨真空泵是一种在真空行业广泛应用的容积式抽空泵，其一对转子相向转动以实现抽气，因此转子作为核心部件是决定罗茨泵性能的重要因素之一。目前，针对型线的设计研究较多，有的专注于转子新轮廓探索；有的专注于几何设计与分析；有的专注于新的设计方法等。当前，市场上的罗茨泵转子型线主要有圆弧、渐开线、摆线等多种型线，或彼此间组合型线[1-5]。现阶段罗茨泵转子型线的设计主要采用几何分析的方法，尤其是对于渐开线转子型线的分析求解[6-10]，设计分析过程复杂。罗茨泵转子型线为中心对称和轴对称曲线，转子运行过程中两型线始终保持连续相切接触。因此可将转子型线视为一对相向转动的共轭曲线，并运用共轭曲线的特性求解罗茨泵转子的型线[11-12]。依据罗茨泵转子型线的特点，建立转子1/8的渐开线和顶部圆弧，然后求解已知1/8型线的共轭曲线，最后，根据对称性设计获得整个罗茨泵渐开线转子型线。

1 转子渐开线分析

首先，罗茨泵渐开线型转子型线有2个独立可变参数，一般为节圆半径为R1及压力角αmin；据此，在△FDO中，渐开线基圆的半径OD=R0=R1cos αmin，此时节圆的方程为

图1 罗茨泵转子型线

1.1 渐开线设计

图2 渐开线型线分析图

图3 渐开线方程求解

过点M作基圆的切线，切点为I，连接OI，则在△MIO中OM长度的计算公式为

直线MI与节圆相交于点J，MI是渐开线发生线，也是其法线，因此M点逆时针旋转φ时与其共轭曲线相切，φ=αmin-ψ-∠FOG，由前面分析可知∠FOG=αmin-π/4，因此可得

据此，由式（2）～式（5）就可以确定罗茨泵转子渐开线的范围及其方程。

式中，自变量γ角度取值范围为（αmin，π/2）。

由式（7）和式（8）便可确定罗茨泵渐开线转子型线的1/8部分，然后由共轭曲线特性求解出其对应的1/8转子型线，便可根据转子型线的对称性获得整个转子型线。

1.2 共轭曲线部分

共轭曲线可以描述为给定运动规律的一对光滑曲线在运动过程中沿给定接触方法始终保持连续相切接触[11]。对于给定的运动过程中的两条共轭曲线，满足如下条件：1）曲线是光滑的规则曲线；2）在每一时刻，曲线作点接触，即沿着接触点相切；3）两条曲线在一个周期内，均在唯一的时刻进入接触；4）两条曲线互为共轭曲线。

如图4所示，建立共轭曲线的3个坐标系，分别为x1O1y1、x2O2y2、xOy，简称坐标系S1、S2和S。平面中任意点M在3个坐标系中的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）、（x，y），其中S1与S2为动坐标系，S1与转子1固定，S2与转子2固定，S为固定坐标系。各坐标系之间的变换关系分析如下[11-12]。

图4 共轭曲线中的3个坐标系

假设某一时刻，罗茨泵2个转子旋转至图5所示位置，其中转子1逆时针旋转，转子2顺时针旋转，此时坐标系S与S1之间的关系可以表示为：

图5 共轭曲线中坐标系的变换

式中：φ1为坐标系S1在某一时刻旋转的角度；d1为O点至O1点的距离。

同理求得坐标系S与S2之间的变化关系：

式中：φ2为坐标系S2在某一时刻旋转的角度；d2为O点至O2点的距离。

由式（9）和式（10）可知坐标系S1到S2的关系为：

式中：d为坐标系S1和S2原点间的距离。对于罗茨泵，2个转子相向转动，尺寸大小一致、转速相同，因此方程中φ1=φ2，式（11）可简化为：

综上，罗茨泵渐开线型线的设计流程如图6所示。

图6 罗茨泵渐开线转子型线设计流程

2 渐开线型线设计

按照上述分析步骤，假设某型罗茨泵转子节圆半径为R1=80mm，压力角αmin=3π/10，则渐开线、共轭曲线、顶部和腰部的销齿圆弧方程如下。

1）转子型线渐开线部分方程为：

式中，自变量α角度取值范围为（0.942，1.138）。

2）共轭曲线部分。共轭曲线部分由式（12）确定，其自变量φ的由式（6）确定。共轭曲线位于坐标系S2中，需要将其移动至坐标S1中，并瞬时针旋转π/2。

3）顶部销齿圆弧部分方程为：

式中，自变量γ角度取值范围为（0.942，1.571）。

4）腰部销齿圆弧部分方程为：

式中，自变量γ角度取值范围为（2.199，3.142）。

根据式（12）～式（15）求解获得1/4罗茨泵转子曲线，如图7所示。将其沿x轴和y轴分别作对称图形，得到罗茨泵转子渐开线型线，如图8所示。

图7 1/4渐开线转子型线

图8 渐开线转子设计型线

3 结论

综上根据渐开线和共轭曲线特性分析求解罗茨泵转子型线过程可获得以下结论：1）罗茨泵转子渐开线型线的设计可分为渐开线设计、共轭曲线设计及顶部和腰部圆弧设计3个部分；2）渐开线部分的设计中主要确定渐开线的发生线及其旋转角，同时发生线又为渐开线的法线，其与节圆的交点旋转至两节圆相切点时，该点进入啮合；3）共轭曲线法设计过程中建立3个坐标系及其转换关系，其中两个动坐标系S1和S2与转子固定且旋转，固定坐标系S位于两个转子中间。