问题引发思考 培养创新意识

北京市顺义区教育研究考试中心 张秋爽

创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程中。学生自己发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括、形成猜想和总结规律，并加以验证，是创新的重要方法。创新意识的培养应该从义务教育阶段做起，贯穿数学教育的始终。

一、在关键处提问题，凸显数学核心概念

数学学习就是要满足学生的好奇心，使其不仅知道是什么，还要知道为什么。课堂上要给学生发现问题、提出问题的时间，这样做的目的：一是解决学生心中的疑惑，满足他们的需求；二是凸显数学的核心概念，让学生感悟数学的本质，为后续学习打好基础。

“11~20各数的认识”一课，讲述了古人用大石头、小石头表示11~20各数的故事，教师可以引导学生用直观的学具——小棒进行表示，认识10个1就是1个10。接下来，教师还可以为学生介绍计数器，但是，怎么介绍好呢？

我们班学生有一半已经认识了计数器，他们会告诉你“左边放一颗珠子代表10，右边放一颗珠子代表1”对于这部分知识，怎样让每个学生都能知其然又知其所以然呢？

师：刚才我们欣赏了聪明的古人用1个大石头和1个小石头表示出11，也能用1捆和1根小棒表示11。你还能用什么表示11呢？

师：咱们的学具袋中有很多珠子，有颜色不相同、大小相同的珠子；有颜色相同、大小不相同的珠子；也有颜色相同、大小也相同的珠子。请同学们从中挑两颗珠子表示11，试试看。

（学生独立思考，尝试后进行交流）

生1：（边说边拨）我拿一个珠子放在计数器的十位上表示1个10 ，拿一个珠子放在个位上表示1个1，这就是11。

生2：为什么长得一样，一个表示10，一个表示1呢？

生3：为什么大小一样、颜色也一样的两个珠子能表示11，不是2个珠子表示2吗？

师：好问题，真会发现问题和提出问题。不着急，让我们再来听听其他同学的想法，相信大家的问题就能解决了。

生1：我拿一个大珠子表示1个10，拿一个小珠子表示1个1。

生2：我拿一个大珠子表示1个10 ，放在上边，拿一个小珠子表示1个1，放下边。

师：大珠子、小珠子就像大石头、小石头一样，放上边、下边可以，放左边、右边也可以，和位置没有关系。

生1：我拿两个大小一样的珠子，蓝色代表1个10，绿色代表1个1。

生2：我也是拿两个大小一样的珠子，绿色代表1个10，蓝色代表1个1。

生3：我拿的是红色和黄色的珠子，黄色的代表1个10，红色的代表1个1；反过来也行。

师：同样大小的两颗珠子，选择两种不同的颜色，只要事先约定，就可以表示出11。那你们有拿形状相同、颜色也相同的两颗珠子表示11的吗？能表示吗？

生：我觉得两颗一模一样的小珠子只能表示2，它就是两个，不能表示11。

师：是呀，我也是这么想的。

生1：我觉得可以把1个小珠子看成10，另一个小珠子看成1。

生2：可是这两颗小珠子长得一模一样，又不是一个大一个小，难以分辨。

师：是呀，同样大小的珠子你怎么能让所有人都知道到底谁是10谁是1呀？

生：在一颗珠子上写个10，在另一颗珠子上写个1不就行了。

师：其实，刚才他的想法和我们数学家的想法特别像，数学家为我们制作了计数的工具，快来看（出示计数器），认识吗？

师：既然两颗小珠子长得一模一样，我们就用位置来区分。请看计数器，从右边起第一位是个位，个位上有几颗珠子表示几个一；从右边起第二位是十位，十位上有几颗珠子就表示几个十。所以两颗一模一样的珠子一个放在个位，一个放在十位，就表示11。

师：你们还有什么问题吗？

生：两颗长得一模一样的珠子还能代表几呢？

师：真会提问题！你能顺藤摸瓜，从一点出发向多个角度提问，值得大家学习。关于他的问题，同学可以先拨一拨再回答。

生：两颗珠子还可以表示2，把两颗都放在个位。（学生们沉默了，没有了其他答案）

师：两颗珠子还可以表示20，放在哪儿呢？

生：两颗珠子放在十位，就表示20。

师：对呀！结合大家的回答，我们就明白了，两颗珠子都放在个位表示2个1，都放在十位，表示2个十，还可以1颗放个位，1颗放十位，表示11。

生：两颗珠子可以表示11，12可以用几颗珠子表示？13呢？

师：同学们，表示12用几颗珠子？十位放几颗？个位放几颗？谁愿意回答？

生：3颗珠子可以表示12，1颗放在十位，2颗放在个位；4颗珠子可以表示13，3颗在个位，1颗在十位。

本节课内容是学生认识数位的开始，也是学生进一步理解数位和计数单位的重要基础。教师根据学情，从结论出发，抓住学生的困惑，从困惑出发，把静态的知识设计成动态生成的过程，给学生提供了思考的空间，使其产生疑惑，师生共同发现和提出一连串的问题，在互动交流中解决疑惑，从而碰撞出智慧的火花，帮助学生真正理解“不同数位上的数可以表示不同的数值”。感悟在计数器上用小珠子表示数的价值，拓宽了学生的视野，从结论本身走向知识的形成过程，诠释了由浅入深的思维层次。

水平1：“大珠子、小珠子”与“大石头和小石头”“一梱小棒和一根小棒”具有异曲同工之妙，都分别用来表示10和1，一个大石头或一梱小棒可以表示10，一个小石头或一根小棒可以表示1，所以可以表示11。而大珠子、小珠子有大小之分，表示的数分别是10和1，石头放在哪儿都不影响数的大小，大石头表示的数总是10，小石头表示的数总是1，和位置没有关系，学生容易接受，但呈现在计数器上，大小不一样的珠子不便于交流。

水平2：形状相同、颜色不一样的两颗珠子也可以表示11，只要事先有约定，不同颜色的珠子放在哪儿都可以，约定后不影响它们代表数的大小，和位置无关，但呈现在计数器上，约定的种类就更丰富了，需要做解释和说明。

水平3：长得一模一样的两颗珠子不好区分，需要在一颗珠子上写上“10”，在另一颗珠子上写上“1”，就能表示11。这正是位值制的本质，同样的数放在不同数位上表示不同的值。

本节课，让学生在关键处提问题，教给他们顺着杆接着问，从多角度思考，把握知识的来龙去脉，在这个过程中，学生初步形成了符号意识，也促进了他们的数学理解，为其后续学习大数的认识打下基础。

二、在对比中提问题，凸显知识关联

发展学生发现和提出问题的意愿和能力是学习的重要目标，也是创新的基础。真正的学习是从学生发现和提出问题开始的，不断产生疑问，探究知识的奥秘，继而成为学习的动力。

在学习“2、5、3的倍数的特征”时，学生可以通过举例，经历不完全归纳推理的过程，得出2、5的倍数只看个位，而3的倍数要看各个数位上的数字之和是否是3的倍数。学生能把特征记下来，并用它去判断一个数是不是2的倍数、5的倍数或3的倍数，难道这就是我们学习的目标和价值追求吗？数学不是记忆，除了获得这些知识技能外，课堂上还要让学生收获些点什么？数学是理解，要从工具性理解到关系性理解。教师在教学过程中，要进行对比和勾连。

师：看到“2、5、3的倍数的特征”这个课题，你有什么问题？

生1：2的倍数、3的倍数、5的倍数有什么特点？

生2：为什么2、5的倍数的特征只看个位？不看其他的数位呢？

生3：为什么3的倍数的特征看个位不行，要看各数位上的数之和才能判断呢？

……

如何让学生能理解这样的概念呢？教师可以摆一摆、分一分、画一画、说一说，然后大家一起交流。

生1：我们学过2的乘法口诀，一二得二、二二得四、二三得六……二九十八，个位上的数是0、2、4、6、8，因此，我认为2的倍数的特征是个位是0、2、4、6、8的数。

生2：你的发言启发了我，5的乘法口诀，个位不是0就是5，没有其他的数字，所以个位上是0或5的数，就是5的倍数。

生3：我拿12根小棒，也就是1捆和2根小棒；1捆10根小棒是2的倍数，只需要看2根是否是2的倍数就可以了，所以2的倍数只看个位就可以了。

师：你能把刚才表达操作过程的文字语言转化成数学语言吗？也就是用一个算式来说明。

生1：12÷2=（10+2）÷2=10÷2+2÷2，整十部分就不看了，直接看个位数是不是2的倍数就能判断12是不是2的倍数。

生2：我拿54根小棒，也就是5捆和4根小棒，整捆的表示整十数，整十数肯定是2的倍数，那么只需要看个位有几根小棒，也就是有几个一，个位是4，4是2的倍数，所以54就是2的倍数。

生3：我在计数器上拨一个数136，也就是1个百、3个十和6个一，100肯定是2的倍数，30也肯定是2的倍数，所以只看个位，其他位就可以不看了。其实只需要看个位是单数还是双数，个位是6，是双数，因为6是2的倍数，所以136就是2的倍数。

生4：以此类推，一个数是不是2的倍数，只需要看个位就可以了，因为所有的整十数、整百数、整千数等都是2的倍数，就不用考虑了。

学生在操作中感悟数的分与合，通过列举多个例子，进行了合情推理的过程，明白了2的倍数为什么只看个位，个位是0、2、4、6、8的数就是2的倍数的道理，做到了知其然更知其所以然。

同理，在学习5的倍数时，教师也可以让学生操作，经历不完全归纳法的过程，明白知识的来龙去脉。在此基础上，让学生动手操作小棒，自己寻找3的倍数的特征。

生1：我拿54根小棒，也就是5捆和4根小棒，即5个十和4个一，个位是4，所以不是3的倍数。

生2：仅看个位好像不行，5个十不是3的倍数，4个一也不是3的倍数，无法判断。

生3：是呀，54是3的18倍，按照经验看个位不行了。我选择的数是72，也就是7捆和2根小棒，表示7个十和2个一，单看个位，不是3的倍数，可72是3的24倍。

师：讨论到这儿，你们有什么问题或感觉？

生1：我感觉 54根小棒不能按照整捆的和单根的那样去分了。

生2：那应该把小棒分成两部分，让其中一部分就是3的倍数，只看其余的部分就行了？

师：这个办法好！你是如何考虑的？

生：我们学习2、5的倍数的特征，都是先分出一部分固定不变的，这固定不变的部分一定是2的倍数或5的倍数，然后再看另一部分。

师：你能够用旧知联想，进行类比迁移，是一种非常好的办法。问题是按照我们认数时的分解和组合的方式不合适了，该怎么拆分呢？

生1：我知道3的倍数的特征要看各数位上的数字之和是不是3的倍数，就能判断。如54，先看5+4的和，和是9，9是3的倍数，54就是3的倍数；82不是3的倍数，因为8+2的和是10，10不是3的倍数。

生2：为什么是这样的呢？54明明是50+4，怎么能变成5+4呢？

师：你很会提问题，从是什么到为什么，发现问题并提出问题，还把自己心中的困惑清晰地表达出来，大家一起讨论。这才是数学学习所追求的，数学是讲道理的，弄清楚其中的道理能让我们体会解决问题的方法和思考的新角度。请大家看我手里的小棒，认真思考，看看还是和原来那样拆分吗？

（师出示5捆和4根小棒）

师：这是54，刚刚说过5捆不是3的倍数，也就是10不是3的倍数，我们可以把每捆小棒看作是“9+1”，9是3的倍数，拿走9根，1捆剩下1根，5捆就是5个“9+1”，5个9不用考虑了，剩下5个1，所以5捆的50，我们只需要判断剩下的5和4合起来是否是3的倍数即可。

生：老师，我明白了，您操作小棒的过程可以这样记录：54=5×（9＋1）+4=5×9+（5+4），5×9一定是3的倍数，不用考虑了，就看剩下的余数5+4的和9，5+4的和是9，9是3的倍数，所以54就是3的倍数。

师：在操作中感悟，在感悟中质疑，在联系中理解，在理解的基础上迁移。同学们的疑问就能解决，你们还有新的发现或问题吗？

生1：2、5、3的倍数的特征表面上看着没联系，难道真的一点联系都没有吗？

生2：为什么只学2、5、3的倍数的特征？其他数的特征就不学了呢？

生3：6、9的倍数的特征和3的倍数的特征有联系吗？

生4：4的倍数的特征看个位行吗？看个位不行的话，看全部行吗？还是和2的倍数一样，看某些位就行呢？

生5：2×5=10，2和5的倍数看个位；4×25=100，是不是4的倍数、25的倍数就看后两位？看个位和十位行吗？

生6：7的倍数有什么特征呢？

……

这些问题使学生们眼前一亮，也让他们渴望寻找答案。教师只有给学生发现问题和提出问题的时间和空间，才能激发他们不断地想、持续地想、关联地想，也给他们后续的研究提供了素材。最终，每个学生都能始终保持思考的状态，发现和提出问题，用所学知识和方法解决自己感兴趣的问题。

三、在无疑处提问题，拓展学生的思考维度

在学习“长、正方体的认识”时，我们非常强调根据几何元素去观察。对于长、正方体来说，它的几何元素就是面、棱和顶点，其中个数和关系是元素的思考维度。

学生都知道长方体有6个面、12条棱、8个顶点。在单元复习课上，需要教师引领学生思考：

（1）长方体为什么有6个面？你怎么知道的？

（2）长方体有12条棱，这12条棱的长度和位置关系如何？

（3）长方体有8个顶点，每一个顶点和面、棱的关系是什么？

师：你们可以从中选择一个问题进行独立思考，然后交流。

生1：长方体有6个面，我是通过实物数出来的，有上、下面，左、右面和前、后面。相对的面都是长方形，也可能有一组面是正方形，面积相等。

生2：我们在三年级学过长方形，长方形有4条边，4个角。如A4纸就是长方形的，把一张张A4纸摆在一起，就是一个长方体。

生3：受同学的启发，我想到把一张长方形的纸向上平移，请大家想象，扫过的空间就形成了长方体。原来下面是4条边、4个角，平移后出现一个上面，也有了4条边和4个角，此时就是8条边、8个角，在上、下面之间起支撑作用的还有4条边，与此同时，在四周又出现了前、后、左、右四个面，所以一共是6个面、12条边、8个角。

师：角是构成平面图形的元素，是从一点引出两条边组成的图形。在长方体中的角已经由两条边变成了相交于一点的三条边。为了区分平面图形和立体图形，在立体图形中，边就变成了棱，角就变成了顶点。

在这里，其他问题的互动交流不再赘述。

张丹教授研究的“问题引领式学习”包括三个要点：（1）学会提问，发展学生发现和提出问题的意愿和能力是学习的重要目标；（2）因问而学，真正的学习从学生发现问题开始，不断产生问题也成为学习的动力；（3）问学交融，学生一方面在不断地发现、提出、分析、解决问题中学习、应用和发展所学的知识、方法，另一方面在学习过程中不断发现和提出问题。所以教师要善于提问，要给予学生质疑的时间和空间，激发学生的好奇心和求知欲，培育学生的核心素养。