运用“猜想—探索”教学方式促进整体数学教学

安志军 | 山东省青岛市教育科学研究院

刘乃志 | 山东省胶州市第十七中学

我国一些产业技术瓶颈主要源于原始创新能力薄弱，而基础研究是原始创新的基石，数学又是一切科学的基础。为了引领今天的学生成为具有创新品质的未来建设者，我们亟须增强数学教学质量。

未来时代的教育必须是整体教育。具有结构性和系统性的数学知识原本是一个知识整体，但教材、教学和测试往往把这个整体划分成一个个知识点，具有丰富联结的数学知识被人为处理成以点为单位的符号系统，割裂了整体之间的联系，学生很难再通过组合已有概念去发现那些不曾知晓的数学关系。长此以往，将不利于在数学学习中培养学生的创新能力。打破教学壁垒，运用“猜想—探索”这一开放的教学方式，可以吸引学生参与到数学知识建构中，让他们像科学家那样去经历完整的探究过程，有效提升整体数学教学质量，促进学生核心素养的发展。

“猜想—探索”与“整体数学教学”

“猜想—探索”教学方式是指教师引导学生从数学和生活中选取研究主题，交替运用合情推理、演绎推理的方法，提出观点并加以判断，通过多维互动的教学过程，使学生主动建构知识，获得情感、态度的发展，并促进学生创新能力提升的一种教与学的方式。学生在“猜想—探索”过程中主动勾连自己的已知与未知，丰富、完善自己的整体数学认知结构。

纵观数学发展史，每一次数学的发展都伴随着数学猜想的出现，以及著名数学猜想被论证的过程。猜想体现数学的创造性，探索依赖数学的严谨性，猜想与探索是完整研究过程中不可或缺的两部分。但国内外主要教育学术期刊很少把“猜想—探索”作为一个完整的教学过程加以研究，而且猜想的研究也很少涉及初中数学。一项针对国内师生的调查结果显示，近1/3的学生把数学猜想窄化为猜想习题结论，同时，数学猜想能力难以命题也导致教师重视程度不够；探索类教学研究较多，但存在泛化的危机。“学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。”“学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等。”其中，观察、实验可以形成猜想，计算、推理是探究过程，在亲身实践后去验证观点。2022版新课标关注大观念、大任务、真实性、实践性四大核心概念，针对数学教学而言，大观念、大任务指向数学的整体性。“猜想—探索”教学方式遵从课程标准的要求，促进学生整体性数学的建构。

1991年“全球教育改革联盟（GATE）”发表的《整体教育构想宣言》指出，整体教育是被作为根治“病态教育”提出的。整体教育突出“人文”“科学”与“创造”的和谐统一，以此衍生的“整体数学教学”是指在数学教学中以整体观、系统论为指导，以单元教学为统领，做好单元学习的整体谋划和统领下的后续学习，建立每个学习单元间、数学学习和生活间的联系，让“部分”始终在“整体”中进行，建立起学生的认知结构系统，形成数学学习的一般观点和基本策略，发展学生的核心素养。我们希望通过“猜想—探索”的教学方式促进整体数学教学的推进，改变数学教学中的碎片化现象。

“猜想—探索”教学依赖于学生整体数学的认知结构

“猜想—探索”教学过程顺利与否取决于学生是否具有整体数学知识、掌握数学研究方法和拥有知难而上的勇气。认知心理学研究表明，人的信息表征方式随着知识量的增加和巩固而缓慢增加。学生对数学缺乏整体的、全貌的感知就难以进行知识的迁移和建构，不利于形成有意义的猜想，探索也缺乏基础。

学生根据问题情境重组已有的与之相关的基础知识，准确检索、选择与提取相关知识，使问题从初始状态转化为目的状态，即形成猜想。整体性更有利于产生新颖和高层次洞察的思维方式，在数学教学中，我们需要鼓励学生从整体角度进行猜想。

探索阶段学生处于已知和未知之间，是从确定性向“奇特性”发展的过程。若学生的数学知识依据内在本质联系形成了整体网络，就更便于其发现新旧知识的接洽点及新知的生长点，然后根据个人的理解和建构方式整合新知，形成更丰富的整体数学认知结构。

已有的数学认知为学生提供了智慧、方法和策略，如果学生的相应认知结构缺乏整体性，“猜想—探索”活动就失去了稳固的脚手架，缺乏顺利开展下去的保障。整体观下的数学教学更容易让学生形成整体性的数学认知结构，为数学知识的“再创造”提供支持，利于学生开展“猜想—探索”。

“猜想—探索”能有效促进整体数学教学

我们时常纠结于教学中的一个“通病”：教师把教材中一个个的概念、定理、法则和公式讲得清清楚楚，但对整节、整章、整本书的结构却鲜少关注，学生学完后极少能悟到什么。散点式、孤立式的教学方式，不利于学生建构自己的整体数学认知。数学教育的最高要求应该是使学生具有逻辑推理和掌握复杂抽象概念的能力，我们的目的是帮助学生形成智慧而不仅仅是储存记忆，这就要求我们重建数学教学价值观并付诸实践。

《义务教育数学课程标准（2011 年版）》提出，学生自己发现和提出问题是创新的基础，要使学生增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。发现和提出问题等同于猜想，分析和解决问题即探索猜想解决之路。猜想、探索新知的过程中，学生在思维层面上会更加积极主动，更能够培养高阶思维。这一过程中，学生把收获纳入自己的认知结构，形成一个新的整体，利于知识的迁移和发展，也就具有创新性。世界各国对此都高度重视，如美国指导21世纪数学教育的文件中提出，对所有年龄的学生应渗透的四个标准之一，就是学生应有机会施展推理能力，能对各种信息做出猜想，并验证自己的结论。

数学知识结构本身连接紧密，创生和发展的过程环环相扣。这种内在联系可以帮助学生借助经验、凭借直觉、通过类比等方式进行猜想，有效调动学生的主动精神和探索欲望。探究自己的猜想让学生雀跃，学生不再是容器，而是一个个生动的个体，他们按照自己对情境的理解调用数学知识，备选的是数学知识整体而不是哪一个或哪一些定向的知识点。探索的过程中，学生得以发现知识的来龙去脉，感受数学知识之间丰富的内在联系，体会数学知识的整体性。

“猜想—探索”教学可提高教师整体数学教学的意识和能力

教师、学生、教学内容是课堂教学不可或缺的三个基本元素，其中，教师是变革的前提。美国二十世纪五六十年代的“新数学运动”及后来的“建构主义教学”没有取得预期效果，相关人士认为主因皆是基层教师无法配合学者的教学理念。教师的数学知识与教师在课堂教学中实施任务的认知要求之间存在着显著的相关性，这不仅体现在对其教学的影响上，同时对教师课程观念的形成也存在一定的影响。

所谓课堂是教师的主场。通常，数学课由教师创设情景，按照逻辑关系讲授知识，引导学生认真听讲，并参与有限的教学生成。教师对教学过程可控，客观上知识储备的压力就小，这在一定程度上影响了教师学习的积极性。张奠宙教授曾指出，立足于知识发生发展规律和学生认知规律的内容和策略的创新，更能展示教师深厚的数学功底和教学智慧。

运用“猜想—探索”模式开展教学时，教师要依据学生特点设计易于引发学生猜想、探索的情境。因此，选择哪些情境，怎样呈现，以及如何处理学生的反馈，如何鼓励其探索，考量的都是教师的功底。学生猜想、探索的路径，教师很难掌控和驾驭，教学中既要适时地为学生提供帮助，又要搜集学生的生成以形成新的教学资源，也就是教师通常所说的“学生的东西老师是否能接得住”。台上一分钟，台下十年功，这是数学功底和教学智慧的集中体现。教师使用“猜想—探索”这一开放的教学方式，既要在课前准备讲解的知识，又必须储备大量数学的、跨学科的知识，以免被学生“挂在黑板上”，这无形中增强了教师自我提升的动力。

调查研究发现，教师特征（数学知识、性别、专业技能等）与教师信念、教师对学生的数学处理意识之间存在显著的线性关系。教师知识能力的提升，可以促进课堂驾驭能力的提升，也会让教师的教学进一步开放，更有利于学生建构具有整体性的数学认知结构，推动师生互相促进，教学进入良性循环。

中国的发展需要创新，需要具有创新精神、创新意识和创新能力的人才，而培养这样的人才需要创新的教育。我们希望运用“猜想—探索”的教学方式促进师生开展整体数学教学，以培养出面向未来的具有创新精神和创新能力的学生。