合情推理：为深度理解数学概念导航*

钱建华 (江苏省南通市通州区兴仁中学 226371)

数学概念是构建数学大厦的基石，深度理解和掌握数学概念是数学学习的基础.反思我们的数学教学，发现不少数学教师的教学观念仍然停留在应试教育层面上，课堂上采取赶进度、填鸭式教学，学生学习囫囵吞枣、机械模仿，对数学概念一知半解，有的只是停留在操作性理解层面，有的只是停留在关系性理解层面，很少能达到迁移性理解层面.美国认知教育心理学家奥苏贝尔指出：所谓理解，就是将新信息纳入原有认知结构，新旧知识发生意义同化的过程.他还指出这种意义同化是一种非任意的、实质性的联系.即这种联系不是主观的、牵强附会的，而是合情合理的.《义务教育数学课程课标(2011版)》中指出：发展学生的合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点[1].因此，在数学概念的教学中，要使学生真正深度理解数学概念,最直接的方法莫过于将合情推理引入数学概念的理解之中，充分运用合情推理来促进数学概念的深度理解.那么，在初中数学概念教学中如何发展学生的合情推理能力，促进学生的深度学习呢？

1 在类比数学概念生成方法中发展合情推理能力，促进数学概念的深度理解

习惯上，按照不同的来源，数学概念可以分为两种：一种是对现实对象或关系直接抽象而成的概念；另一种是纯数学抽象物，反映的是数学逻辑构造，无客观实在与之对应，是抽象逻辑思维的产物.根据两种数学概念的不同特征，我们需要设计恰当的问题情境，采用相适应的教学方法，学生在经历概念发生、发展的过程中，认识、理解和掌握数学概念.其中，当数学概念是基于数学逻辑建构形成的纯数学抽象物时，我们通常采用合情推理进行教学，即从设计熟悉的问题情境引入，运用已学的知识解决问题，从问题的结果中抽象出它们的共性特征，再类比、归纳出一般特征，从而形成数学概念.

案例1二元一次方程的概念教学片段

(师生在复习了一元一次方程的有关概念后，进行如下教学设计)

师：长方形花圃周长是24 m，设花圃的长为xm，宽为ym.你用什么样的数学式子来描述它们之间的关系？

生1：2x+2y=24.

师：同学们列出的方程还是我们以前学过的一元一次方程吗？

生1：不是.

师：仔细观察，能根据方程的特点给这样的方程取个名字吗？

生1：因为它含有两个未知数，所以是“二元”，每个未知数都是“一次”，所以应该叫做二元一次方程.

师：你怎么想到的？

生1：类比一元一次方程的定义得到的.

师：很好！今天，我们将在一元一次方程的基础上学习新的一章《二元一次方程组》.(教师板书)

师：什么是二元一次方程？

生2：有两个未知数，并且未知数的次数是1的方程叫做二元一次方程.

生3：不应该说是未知数的次数，应该说含未知数的项的次数，比如xy=24这个方程，每个未知数的次数都是1，但xy的次数是2，这个方程是二元二次方程.

师：这位同学思考得很深刻，例子也非常好，对于单项式的相关知识掌握得非常扎实．那么，我们把定义完善一下：方程中含有两个未知数，并且含有未知数项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程.

(教师板书在黑板的左侧，与学生板书的一元一次方程对应)

师：同学们类比一元一次方程的定义，得到了二元一次方程的定义.想一想,一元一次方程说的是未知数的次数为1，而二元一次方程说的是未知项的次数为1，这究竟是为什么呢？

生4：其实是一致的，一元一次方程只含有一个未知数，未知数的次数就是含未知数的项的次数.

师：你理解得太深刻了！

以上通过类比一元一次方程的定义建构二元一次方程的定义，让学生真正体会到“一元一次方程”和“二元一次方程”的定义的一致性，经历“二元一次方程”的概念的形成过程，促进了学生的深度学习.

2 在实验观察事物本质特征中发展合情推理能力，促进数学概念的深度理解

观察是人们对周围世界客观事物和现象在其自然条件下，按照客观事物本身存在的实际情况，研究和确定它们的性质和关系，从而获取经验材料的一种方法.实验则是人们根据一定的研究目的，利用工具(仪器)对周围世界的客观事物与现象，进行人为的控制、模拟，排除干扰，突出主要因素，在最有利的条件下考察和研究它们的性质和关系，从而获取经验材料的一种方法.

案例2“直线与圆的位置关系”中的概念教学片段

(情境导入)

师：同学们在海边看过日出吗？下面请同学们欣赏一段视频.(教师播放视频)

如果我们把太阳看作一个圆，把地平线看作一条直线，太阳升起的过程中，太阳和地平线会有几种位置关系？由此能联想出直线和圆的位置.

生：有三种……

师：(黑板上演示)画一条直线l，把一个铁丝圆环看作一个圆.在黑板上移动铁丝圆环，你能发现在移动铁丝圆环的过程中，它与直线l的公共点的个数的变化情况吗？

师：通过刚才的观察与实验，你认为直线和圆的位置关系可分为几种类型？分类的标准各是什么？

生：直线和圆有如下三种位置关系：第一种，直线和圆有两个公共点；第二种，直线和圆只有一个公共点；第三种，直线和圆没有公共点.

师：讲得很好！为了学习研究的方便，我们希望给直线和圆的三种位置关系分别取一个名字，对于第一种，怎样取名呢?

生:第一种情况,直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交.

师：(补充)这条直线叫做圆的割线.那么，对于其他两种情况呢？

师生：(共同讨论交流得到)第二种情况,直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点.第三种情况,直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离.

以上在直线与圆的位置关系的概念建构中，依赖于对直线l与铁丝圆环位置关系的观察，并通过实验，得到直线与圆的位置关系的三种本质特征，进而形成直线与圆相交、相切、相离的概念.

3 在教学数学概念补充规定中发展合情推理能力，促进数学概念的深度理解

数学中的“规定”，是指数学中那些约定俗成的、不便于向学生解释“为什么”的那部分知识.如数学中的基本概念、定义、数学符号、书写格式等.中小学数学课本中的规定比比皆是,对于为何要单独作这些规定,教师不仅要做到心知肚明，而且还要帮助学生深度理解和掌握，要让学生感受规定的合理性，并学会数学思维，培养理性精神，不要让学生在突兀的规定下产生学习数学的不良情感．教师要通过艺术处理，让学生尽可能多地感知数学规定背后的故事、隐含的智慧，使学生更加理解数学、亲近数学和数学老师.

案例3单项式的补充规定的教学片断

师：课前，同学通过预学，知道了“单独一个字母或一个数也叫做单项式”.这是一种规定.你知道为什么要做这样的规定吗？

生1：……(支支吾吾，说不清)

师：(启发)1×a是不是单项式？为什么？

生2：是.因为表示数或字母的积的式子叫作单项式．1×a是表示数或字母的积的式子，所以1×a是单项式.

师：现在再来看a，它是不是单项式呢？

生3：根据单项式的定义，它不是单项式，因为a不是表示数或字母的积的式子.

师：大家想想看，生3说得到底对不对？

(学生热烈地讨论)

师：现在大家想到了吗，生3说得到底对不对？

生4：生3说得既对又不对．从形式上看，a不是表示数或字母的积的式子，所以a不是单项式.但是，由于1×a=a，a可以看成1×a的简写，1×a是单项式，那么a也就是单项式．

师：这么说来，两种答案都有道理.那么，不就产生矛盾了吗？

生5：为了消除这一矛盾，我们就必须对单项式做一个补充规定，规定单独的一个字母或单独的一个数也是单项式．

师：生5的想法非常合情合理，有了这个补充定义以后，在识别单项式时就不会产生歧义了. 这里，对于单项式的特征，引导学生从无意识的观察变为有意识的探讨，在此基础上引导学生发现单项式的定义就变得水到渠成．

在概念学习中通过合情推理，学生亲身经历数学概念的产生、发现、形成甚至命名过程，学习者充分感受数学概念形成得合情合理，从而促进对数学概念的深度理解．

4 结语

教育家陶行知说:“教育不能创造什么，但他能启发解放儿童创造力以从事于创造之工作.”[2]数学课堂教学合情推理，就是创设这样一种培养学生创造力的数学课堂学习环境．波利亚的“怎样解题表”为我们进行合情推理提供了一个非常好的样本，他在《数学与猜想》一书中说：“只要数学的学习过程稍能反映出数学的发明过程的话，那么就应当让猜测、合情推理占有适当的位置．”[3]在日常的数学学习中，学生掌握合情推理的思想和方法能够使学生原有数学认知结构得到充分的整合和优化，数学思维能力得到提升，并把学习者引入到一个更广阔的领域，去体验数学探究与发展的乐趣，对于学生学习数学概念大有裨益.合情推理不仅可以应用于数学概念的学习中，而且还可以更多地应用到数学定理(公式、法则)，数学解题的学习中．数学教师要充分、合理地利用合情推理，鼓励学生大胆猜想、合理推测,培养其归纳、类比能力，使合情推理成为学生自觉学习数学的方式，成为激励学生探索、发现数学新知的金钥匙．