“四美”：数学实验教学目标达成的支持系统*

孙朝仁

(江苏省苏州市教育科学研究院 215004)

朱桂凤

(江苏省连云港市凤凰学校 222006)

数学实验作为数学课程实施的一种有效方式，具有强烈的“各美其美”的美育知性特征，为“生活—数学”“活动—思考”范畴审美目标的实现起到支撑性作用．在美学辩证形态下，任何事物总是由“正题—反题—合题”[1]成分组成的，其中，正题是美的基值，反题是美的变异，合题是美的派生．数学实验体现无限倾向性美育特征，在“正、反、合”思考行为的监控调节下，成就了美的一般观念，即以思考为美，最终统一到“变”，达到“无限的审美倾向”．数学思考是最朴素的美的行为，基本经验是美的集成行为，而“探—索”作为过程目标的承担“脚本”[2]则是美的执行对象，基于这样的属性意义，可以确认，“数学思考”中所反映出来的美的一般观念就是数学实验课程的“位格”[3]目标(“位格”是指一个智慧生命的存在显现，也可以称之为“生命中心”，这里借指数学实验的“中心目标”或者说是最核心目标)．

《义务教育数学课程标准(2011年版)》(下称《课标2011》)基于“数学思考”这一目标的四个层面，突出数学实验美的自然状态：一是数学抽象和数学运算；二是数据分析；三是数学推理；四是基本思想和思维方式．其中，“基本思想”替代数学建模，“思维方式”替代直观想象．这样，在美的一般观念作用下，初中段数学教育素养目标与高中数学课程标准修订组提出的6种核心素养成分[4]具有内部关系的一致性．为此，研究正题美、反题美、合题美以及变题美等美的一般观念，正是体现和反映有素养数学实验教学的现实意义和前瞻影响．

东方美的本质是围绕生命的体验与探索展开的．数学实验美的一般观念，就是在审美知觉的支配下，通过“做”的正题美，显化经验目标的层次属性；通过“思”的反题美，投射思维目标的高阶属性；通过“用”的合题美，反射方法目标的系统属性；通过“元认知”的变题美，外化素养目标的本质属性，终于数学实验美的一般观念的定性把握．

数学求真，美学求善，数学实验与美相遇，则求有素养“教—学”目标的圆满实现．

1 正题美：实现数学实验教学的经验目标

中国传统哲学认为“里仁为美”，现代教学论有“思考为美”“美益求美”的论点．《课标2011》从“数学思考”的审美动机出发，反映过程目标动词“探—索”的常识意义，即独立或与他人合作参与特定的数学活动，理解或提出问题，寻求解决问题的思路，发现对象的特征及其与相关对象的区别和联系，获得一定的理性认识．这里的“理性认识”是一种大美，而美是感性经验的缓存状态，因此“正题美”的价值直指经验目标的元目标属性，数学实验的实施是经验目标得以实现的“思考事件”的审美共识．数学实验具有美的无限倾向性选择特征，实验主题的确定、实验目标的确认、实验方法的确立以及实验内容的选择和组织等，都充满美的直觉思考行为，使得数学实验教学具有正题美的一般意义．

进行数学创造的最主要驱动力是对美的思考追求．罗素，这位抽象数学思想大师曾直言不讳地说，“提出问题”是有创造认知思考的开始，是正题美的直接思考的结果状态．在美的一般观念范畴，数学审美创造的基本途径是“还原—建模”．就这一意义来说，还原事物的本来概貌是数学实验“做与思”的必然产物．数学建模是提出问题的先决审美条件，因此，数学实验经验目标的达成状态就是正题美的直观对象．为此，美学表达形态的数学实验，必须在先行组织行为范畴做好三个层面的审美工作：一是实验主题“有趣”，引发做数学的驱动力；二是实验内容“向美”，引发数学建模的情感冲动；三是实验目标“悟道”，知其数学本源的所以然．

数学实验研究组为提升学生对“二元一次方程组”的建模能力和直观审美想象能力，开发了主题为“测量硬币的厚度和质量”的数学实验，意在突出正题美的经验析取目标，落实数学实验教育的审美意义．该实验的审美目标确立为：通过测量硬币的厚度与质量，体会二元一次方程组是解决实际问题的一般通用数学模型．实验审美线索是：首先，让学生用尺子和天秤测量出分别叠放在一起的10枚5角硬币和10枚1元硬币的厚度和质量，让学生分别说出1枚5角硬币和1枚1元硬币的厚度和质量；其次，让学生将一把5角和1元硬币混合在一起叠起来，用尺量出它的厚度．由此设问：能否知道分别有多少枚5角硬币和1元硬币?为什么?再次，让学生用天秤称出这把硬币的质量，利用二元一次方程组算出5角硬币和1元硬币的数量．最后，让学生合作提出类似问题，利用二元一次方程组加以解决，并对结论作出合理的解释．

美如同情感经验一样，也是一种心理感受．希腊人将美看作是秩序、一致、完整和明晰[5]．上述范例中的“尺子量”“天秤称”就是数学情感经验得以领悟的表现，后续的“方程建模—应用解释”则是秩序审美、完整认知的通用技术．就这一层面来说，任何数学实验开发的初衷都是美的念头得以产生，反映数学实验美的一般价值．如果说，测量硬币本身就是正题美的知觉表现，那么“二元一次方程的整数解”与“二元一次方程组的解”的关系建立是经验目标得以实现的集大成者，而提出类似问题的拟经验行为则是正题美的集中表现，投射了“有趣—向美—悟道”现象背后的数学建模力量，落实人人获得审美形态的数学思考目标．

任何事物的发展都会走向其对立面，数学实验美的一般观念亦不例外．由于正题美的感性局限性，还需要反题美的一般理性，才能让数学实验目标的位格属性得以充分显化．

2 反题美：实现数学实验教学的思维目标

按照康德的美的一般思考观点[6]，实践理性按照自身的要求而对现实世界施加影响，使经验世界最大限度合乎实践理性的要求．在数学实验美学范畴，反题美本身就是理性认知精神的本质外化和对思维抽象的抽象，基于这一意义理解，反题美的基本任务就是将数学实验过程中美的现象或美的规律，叠合成美的数学本质，体现数学智慧．当然，数学本质的揭示需要高阶思维(如分析、综合、评价等)的支配，需要数学思考的参与，方能在美的观念作用下成就美的智慧的生长和思维目标的达成．《课标2011》在“数学思考”目标范畴提出数学理性层次目标是建立数感、符号意识和空间观念，初步形成几何直观和运算能力，发展形象思维与抽象思维．这些带有强烈素养成分的教学目标，使得数学实验具有无限严肃的反题美，“形象思维”是美的初始状态，“抽象思维”是美的一般观念，为此才有“冰冷美丽”背后的“火热思考”美的一般价值．

数学反题美给人的一般感受是具有“突发性”特征，一般来自潜心思考后的顿悟．在数学实验美学心理范畴，人类的心绪在从感觉过渡到思维的过程中，需要经历一个中间的审美状态，方能能动地思考．日常教学中的“亲其师，信其道”以及“求知欲”“悱愤状态”都是审美支配下的理性思维发生的一般条件．事实上，认识美本身就是一种能体现人的自由自觉的创造活动，而创造活动必须借助一定的理性思维成分才能实现．为此，在反题美的一般观念下，数学实验教学必须遵循三个基本原则，方能实现美的一般观念下的思维目标，即数学抽象和数学运算分析．一是经历数学抽象，让学生知其然，并知其所以然；二是实施问题“反应块”影响，让学生在“做”中思考，在思考中实践理性层级上升；三是建立概念关系，让学生在顺应行为中提升抽象思维的内在品质，终于无意识思维的自觉选择作用，体现“学会思考”创新意识美的一般作用．

数学实验研究组研发了主题为“平面图形的密铺”这一数学实验，其主要内容是，用形状相同或不同的多边形进行拼接，彼此之间既无空隙、又不重叠地铺成一片．这样设计意在突出反题美“思维目标”的理性特征，落实“数学抽象”这一核心素养目标的培养功能．反题美思维目标线索：首先，是简单密铺．两人一组，按要求进行平面图形的密铺，并将个性作品在组内交流．要求学生：(1)用锐角三角形纸片进行平面图形的密铺；(2)用四边形纸片进行平面图形的密铺．通过上述平面图形的密铺，你有什么发现？其次，是组合密铺．在等边三角形、正方形、正六边形、正八边形中任选两种纸片若干张，进行平面图形的密铺，展示拼得的作品，与同学交流拼图心得．最后，是创意绘本．让学生分别选取大小相同、形状一样的各种纸片若干张，进行平面图形的密铺且说明合理铺设的机理，并将作品进行展示与交流．

上述范例中，“简单密铺→组合密铺→创意绘本”是反题美的执行创造行为，有效地落实了“数学抽象”这一重要思维目标．在这里，应该说“思考—铺设—思考”是问题反应块传递思维力量的审美途径，“展示—交流—说明”的过程是概念关系得以有序建立的过程，尤其是“二元一次方程整数解”(比如，用边长一样的正方形和正三角形进行密铺，求需要不同地砖的块数，可以用90x+60y=360的整数解表达)得以直观显化的过程，是数学抽象和数学运算目标得以同时实现的上位表现．可以说，这样的数学教学过程就是反题美的情感升华的过程，体现了“学会思考”的审美力量．

3 合题美：实现数学实验教学的方法目标

“天人合一”是东方哲学的悠然境界，是数学家追求“通体相关”数学合题美的情结．“合一”取哲学层面的“对立统一的‘统一’”意义，有“天地与我并生，万物与我为一”的全息价值取向．在数学实验范畴，合题美本身就是新生事物或新的数学方法体系得以产生的观念性标志，是对正题美的操作范式的继承与否定，又是对反题美的行为产生式的扬弃与升华，在重组、改造和组合美的一般思想方法结构或扩充其内涵的思想基础上，形成能统一更多认识的、最完善的新的数学思想理论框架或更一般的概念常识，终于数学实验教学论的更新、突破与超越(这里特指数学实验教学价值取向的变化、数学实验观念的形成)，然后站在美的一般观念上进行自然的、自由的、自觉的数学实验教学及其本源性思考，即常态数学实验教学法的定位．

当然，数学的美[7]表现在许多方面，但特别表现在数学的思想与精神上．研究者把这里的“思想”作为“数学思考”的替代概念，而把“精神”当做形而上的“方法目标”及其子概念数学推理．数学推理不止于一般的数学核心素养成分，更在于进行理性思考之后呈现的精神美．《课标2011》在“数学思考”目标范畴要求在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，能清晰地表达自己的想法．在数学实验合题美范畴，研究者认证合情推理是“本源美”，演绎推理是“流动美”，“源与流”的统一就是数学实验美的一般范式．事实上，把析取的数学概念与认识常识组织起来，使其成为高度有序的合题系统，在思考中寻求概念与方法的一致性，最终形成不同类型不同层次的数学思想方法，就是合题美追求的终极方法目标．为此，在合题美视域下，数学实验教学要做好三个方面的工作：一是问题的工具性思考；二是问题的概念性思考；三是问题的关系性思考．

数学实验研究组设计了“展开与折叠”这一多元性实验，突出了合题美的方法目标秩序特征，很好地落实了数学的“派生”(基本套路或道生无限、举一反三等)功能．合题美的具体执行流程：(给每组准备的工具箱里有圆柱、圆锥、正方体、剪刀)首先让学生先猜测圆柱、圆锥的侧面展开图是怎样的平面图形，然后通过随意剪圆柱、圆锥模型的侧面，并说明侧面展开图与该几何体有怎样的关系．其次是让学生任意剪正方体，并把不同的展开图张贴在展板上，说说需要剪掉几条棱？为什么？(正方体一共12条棱，在展开图上，有5条棱还连着，12-5=7，所以剪了7条棱；数展开图外围棱的条数，一共14条棱，剪之前是两两相连，所以14÷2=7，剪了7条棱；通过剪的时候数剪的棱的条数得出是7条棱．)最后是让学生任意画出一个正方体的表面展开图，然后让同桌沿正方体合适的侧棱动手剪出该平面图形．

理性主义美学家笛卡尔从合题美的一般观念出发，确证哪里有理性的使用，哪里有人，哪里才有高贵，哪里才有美．这里的“猜→剪→画→剪”本身就是合题美释放数学工具力量的一般表现，落实人因理性美的能力而高贵的方法意义，其中剪掉条数的研判过程是数学推理的基层形式，反映方法目标与数学思考内在关系的一致性．而“层次性‘剪’”的行为可以看作是问题的工具性思考的实践行为，“几何体—平面展开图—剪掉棱数”关系的探讨过程是问题概念性思考的内部表现形式，“任意画—条件性剪”是问题关系性思考的一个典型操作范式，反映数学实验理性自由美的高度统一性和合题美的方法目标属性．

4 变题美：实现数学实验教学的素养目标

变题美起于美的思想派生属性，终于数学实验的精神美、思想美和方法美的高度统一．数学美的思想属性，追求常识是美；数学美的方法属性，强调变量是美．这些各美其美的理念要求数学实验教学从“有限的认知倾向”转向“无限的审美倾向”．从心理认知角度看，数学实验教学要实现情感、态度、素养等变题美的目标，就要加强学生对数学美的具身体验和缓存感受，遵循变题美的心理感受规律(认识的变迁、素养的升华、价值观的正向变化)．进而形成数学实验是一种朴素美的观念，实验素养目标是美的一般观念的内化状态．“做数学有趣”“数学实验有意义”“实验变量的思考是美的”，这些变题美的自由认识，反映了数学实验教学美的微言大义，绝不是一个“玩”字能涵盖的，而是思想方法美的集大成行为．

如果说，数学思考是变题美的初始状态，那么，思维方式的转化就是变题美的迁移状态，应用数学观念则是数学美能力系统得以形成的标志(注：初中段应用数学观主要传递数据分析观念的信息流)．《课标2011》在“数学思考”目标范畴要求体会统计方法的意义，发展数据分析观念，感受随机现象．这里的数据分析观念是学科教育的顶层属性目标，是数学素养教育的终极追求，也就是学即为用的目标追求，反映数学课程教育的基本走向——给学生留下“可带走”的东西．在某种意义上说，处理和使用数据的能力，决定着人们“变换角度”看问题这一变题审美的函数水平，尤其在大数据说话、做事、证实时代，形成数据分析的一般观念标志着美的一般观念的产生式形成．这种“使用主义”审美倾向与“应用意识-创新意识”核心素养的内部规定呈显著正相关．正是基于这一意义，数学实验在变题美的视域下，必须遵循三个审美原则．一是先行组织材料无限贴近学生的审美心理秩序；二是问题监控块带有可变式的层次属性，让不同人都有审美冲动的认知契机；三是数学思考发生在知识理解、知识迁移和知识创新三级水平，实现人人获得良好“使-用”数学教育的高阶目标．

实验研究组开发了带有强烈素养目标指向的“估测”实验，目的就是在变题美的支配下，发展数据处理和使用能力，实现数学实验层级素养的变迁功能．具体执行秩序简概如下：首先是让学生估测身高．估计自己班级数学老师的身高，并将全班同学的估计值绘制成统计表，分别计算出估计值的平均数、众数、中位数．再测出数学老师的实际身高，与你自己的估计值相比较，发现了什么？其次是让学生估测体重．以小组为单位，目测每位同学的体型，分为偏胖型、标准型、偏瘦型三类．测量计算：分别测量并记录小组内每位同学的身高(m)、体重(kg)，并分别计算体重与身高平方的比值，填入表格(表略)，根据表中的数据对不同体型学生的体重与身高平方的比值作出估计(可以用比值的平均数、众数、中位数作出估计；也可以用每一类型学生“体重的和÷身高平方和”作出估计)，你有何发现？与同伴交流并实测验证．最后是让学生编制“类同”的实验，并进行数据收集、处理和使用活动，交流这一审美活动感受．

数学实验要求一体性，审美倾向要求多样性．时代的人即主客体的复合体的人，则始终表现出变换的多样性．在数学实验变题美范畴，变题美是变换的集合名词，涵盖变式、变量以及变异等可再生意义，是数学实验的最高境界．数学实验的间接目的是“内化于心，外化于行”；直接目的就是培养人的审美能力，落实创新教育时代主题的责任目标．就实验审美倾向论来说，估测本身就是一种变题美的思维现象，突出数据分析观念的使用意义，是一种很好的引发多样审美的心理组织材料，突出数学实验的“初心”．“估测身高—估测体型—编制变题”是监控反应块释放力量的就绪状态，实现了素养层级的微观美的一般目标；“处理数据—使用数据—证实数据”是数学思考的集中反映，投射了数学实验审美理想的期待状态，为实验添加了社会属性，在一定层面实现了“立德树人”的审美教育目标．

数学实验美的一般观念，起于微观思考目标状态，终于宏观审美位格素养．通过数学实验，让正题审美获得感性内容，使人的秉性转化为反题的现实力；同时，让合题感性内容获得理性审美支持力，进而使得千变万化的现象显示出高度的一体性，即变题美的无限倾向力，终于数学实验美的一般心理特征产生式形成．