2021年福建中考数学压轴题的解法探究

束浩东

【摘要】2021年福建省初中学业水平考试数学试卷的压轴题综合考查了一次函数、二次函数以及三角形的面积等知识，尤其是最后一问，蕴含丰富的高中数学思想，对思维能力以及运算能力要求较高，针对该问的求解在这里和大家共同作一番探讨.

【关键词】中考数学；压轴题；二次函数；勾股定理

原题再现

已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一个公共点.

（1）若抛物线过点P（0，1），求a+b的最小值；

（2）已知点P1（-2，1），P2（2，-1），P3（2，1）中恰好有两点在抛物线上.

①求抛物线的解析式；

②设直线l：y=kx+1与抛物线交于M，N两点，点A在直线y=-1上，且∠MAN=90°，过点A且与x轴垂直的直线分别交抛物线和l于点B，C.

求证：△MAB与△MBC的面积相等.

分析第一題根据题干抛物线与x轴仅有一个交点，需要我们发掘出隐藏条件判别式为0，利用Δ=b2-4ac=0，即b2=4ac；又抛物线经过点P（0，1），所以c=1；从而b2=4a，a=b24，即

a+b=b24+b=14（b+2）2-1.

因此当b=-2时，a+b的最小值为-1.

第二题第一小问需要我们从二次函数图象与性质等知识出发，准确理解图象上点的特征，最终明确“抛物线上的点只能位于x轴的同侧”.

由于抛物线与x轴只有一个交点，因此抛物线上的点全部位于x轴的同一侧，所以只能是P1（-2，1），P3（2，1）两点在抛物线的图象上，代入关系式可以求得y=14x2.

前两问不作过多探讨，这里我们主要研究最后一问.

该问的常规思路是把M，N两点的坐标表示出来，利用已知条件作相应转化来求解点A的横坐标.根据题设条件我们可以作出相应的图象，如图1所示.

图1

不妨设点A的横坐标为m，则有A（m，-1），B（m，14m2），C（m，km+1）.我们的目标是证明S△MAB=S△MBC，由图1我们可以直观看出△MAB与△MBC的底边AB，BC位于同一条直线上，因此两三角形底边上的高相等，所以我们只需证明底边AB=BC即可.又因为A，B，C三点共线，所以它们的横坐标相等，因而线段AB的长度等于B，A两点的纵坐标之差，即AB=14m2-（-1）=14m2+1；同理BC=km+1-14m2.要证明线段AB，BC相等，很显然我们需要在k（可以视为已知量）和未知量m之间寻找联系.

根据上述分析，我们的求解目标进一步明确，接下来需要解决的就是通过一系列运算将引入的未知量m用k来表示.

解由题意可设M（x1，y1），N（x2，y2），

则y1=kx1+1，y2=kx2+1，

联立方程组y=kx+1，y=14x2，得

14x2-kx-1=0，（*）

因为点M，N是直线l：y=kx+1与抛物线y=14x2的交点，

所以两点的横坐标即为一元二次方程（*）的两根，

利用韦达定理我们可以得到

x1+x2=4k，x1x2=-4.

方法1构造“K”字型，利用线段比例解题

分别过点M，N作直线y=-1的垂线，垂足分别为点D，E，如图2所示.

因为∠MAN=90°，

所以∠MAD+∠NAE=90°，

所以∠MAD=∠ANE，

所以△MAD∽△ANE，

故MDAE=ADNE.

图2

根据前面所设各点的坐标，我们可以表示出相应线段的长度：

MD=kx1+2，

AE=x2-m，

AD=m-x1，

NE=kx2+2，

即kx1+2x2-m=m-x1kx2+2，

所以（kx1+2）（kx2+2）

=（x2-m）（m-x1）.（**）

化简得（m-2k）2=0，

所以m=2k.

因此B，C两点的纵坐标分别为

yB=14·（2k）2=k2，yC=2k2+1，

所以AB=yB-yA=k2-（-1）=k2+1，

BC=yC-yB=2k2+1-k2=k2+1，

所以AB=BC，

即S△MAB=S△MBC.

另解由方法1可知∠MAD=∠ANE，

所以在Rt△MDA和Rt△AEN中有

tan∠MAD=tan∠ANE，

即MDAD=AENE.

后续过程同方法1，不再赘述.

注因为点A在直线y=-1上，且MA⊥MN，所以我们可以分别过点M，N作直线y=-1的垂线，构造出为我们熟悉的“K”字模型（“一线三直角”），进一步利用相似三角形的对应边比例相等来构造方程，将m用直线斜率k进行表示.参考解答中通过求解方程（*）得到x1=2k-2k2+1，x2=2k+2k2+1，这一做法并不值得提倡，况且求解带有参数的一元二次方程对于大部分同学而言可能有一定的困难.面对一元二次方程问题时我们更应注重韦达定理的妙用，将x1+x2，x1x2作为整体带入（**）中化简，可以大大降低运算难度.

方法2利用勾股定理搭桥

分析由于本题中涉及的线段长度均需借助点的坐标来表示，为了简化后续解题步骤，在这里我们先向大家介绍一个预备知识——“两点间的距离公式”.

定义：对于平面中任意两点A，B，它们的坐标分别记为（a，b）和（c，d），则两点之间的距离

AB=（c-a）2+（d-b）2.

图3

证明如图3所示，分别过点A，B作x轴的垂线AC，BD.过点A作线段BD的垂线AE.

则AE=c-a，

BE=d-b.

由勾股定理可知

AB2=AE2+BE2

=（c-a）2+（d-b）2，

所以AB=（c-a）2+（d-b）2.

说明：两点间的距离公式阐明了两点之间的距离与它们坐标的关系，其证明过程也就是套用勾股定理，部分版本的初中数学教材在“勾股定理”章节将它作为一个拓展内容进行介绍.

回归到原题，利用两点间的距离公式我们可以得到

MA2=（m-x1）2+（-2-kx1）2

=（k2+1）x21+（4k-2m）x1+m2+4，

NA2=（m-x2）2+（-2-kx2）2

=（k2+1）x22+（4k-2m）x2+m2+4，

而MN2=［（kx2+1）-（kx1+1）］2+（x2-x1）2

=（k2+1）（x2-x1）2，

又因为x1+x2=4k，x1x2=-4，

结合完全平方公式可得

（x2-x1）2=（x2+x1）2-4x1x2

=（4k）2-4×（-4）

=16（k2+1），

所以MN2=（k2+1）（x2-x1）2=16（k2+1）2，

根据勾股定理有MA2+NA2=MN2，

化简可得8k2+2m2-8km=2（m-2k）2=0，

解得m=2k.

后续过程同方法1.

注根据题设条件∠MAN=90°可知△MAN为直角三角形，因而回归到勾股定理是我们的一个自然想法.本题的难点在于引入较多未知量，许多同学可能因此产生畏难心理而浅尝辄止，特别是对抛物线弦长MN的求解时有的同学或许感到一筹莫展，这时如果我们能够注意整体思想的运用以及借助完全平方公式作相应转化，那将会在山重水复疑无路之际，收获柳暗花明又一村的惊喜！

方法3利用辅助圆

解

由于∠MAN=90°，

所以點A在以MN为直径的圆周上，如图4所示.

图4

所以线段MN的中点即为圆心（设为点P），

则P点坐标为

x1+x22，kx1+1+kx2+12，

因为x1+x2=4k，

所以P（2k，2k2+1）.

根据圆的性质可知

PA=PM=PN=12MN，

而MN2=（k2+1）（x2-x1）2

=16（k2+1）2，

PA2=（2k-m）2+（2k+2）2，

由PA2=12MN2，得

（2k-m）2+（2k+2）2=4（k2+1）2，

化简得（m-2k）2=0，

所以m=2k.

后续过程同方法1.

注当试题中出现直角三角形时，我们应当联想到“直径所对的圆周角为直角”这一结论，进而以斜边为直径构造三角形的外接圆.根据x1，x2，k之间的关系我们可以表示出圆心的坐标，最后利用圆的性质建立等量关系来消除未知量m.可以发现，方法2无论是在求解思路还是运算量上均要比前两种来得简单，这也是辅助圆的魅力所在.

练习

1.已知直线l：y=kx+1经过第一、二、三象限且与抛物线y=14x2交于M，N两点（点M在点N右侧），线段MN的长度为8.

（1）求直线l的解析式；

（2）设点A在直线y=-1上且满足∠MAN=90°，直线l与y轴的交点为F.判断线段MN与AF之间满足什么关系并说明理由.

图5

2.如图5，△MNE的顶点M，N在抛物线y=x2上，点M在点N右边，两条直线ME，NE与抛物线y=x2均有唯一公共点，ME，NE均与y轴不平行.若△MNE的面积为2，设M，N两点的横坐标分别为m，n，求m与n的数量关系.

答案

（1）y=x+1；

（2）MN⊥AF且MN=AF2.

m-n=2.