含高次多项式的分式求值方法探索

孙志东

【摘要】 本文对一道2022年云南中考数学压轴大题进行了探索，这道试题是有关含高次多项式的分式求值问题，笔者从降幂视角、洞悉代数结构发现整体转化视角、逆向思维与配凑策略相结合的视角出发，共得到五种方法.

【关键词】 中考压轴题；高次多项式；降幂；转化；配凑

1 考题呈现

已知抛物线y=-x2-3x+c经过点（0，2），且与x轴交于A，B两点.设k是抛物线y=-3x+c与x轴交点的横坐标，M是抛物线y=-x2-3x+c上的点，常数m>0，S为△ABM的面积.已知使S=m成立的点M恰好有三个，设T为这三个点的纵坐标的和.

（1）求c的值；

（2）直接写出T的值；

（3）求k4k8+k6+2k4+4k2+16的值.

由于前两小题都较为基础，现在直接给出答案：（1）c=2；（2）T=-114；本文重点探索第（3）小题的求值方法.

2 解法视角

解法1 由k是抛物线y=-x2-3x+2与x轴交点的横坐标可知k2+3k-2=0，

这样我们可得k2=2-3k，

k4=（k2）2=10-73k，

k6=k2·k4=62-453k，

k8=（k4）2=394-2873k.

所以k4k8+k6+2k4+4k2+16

=10-73k394-2873k+62-453k+2（10-73k）+4（2-3k）+16

=10-73k500-3503k

=150.

注 这种降幂的方法程序性特别强，考虑到分母中每一含k的项的指数分别是2，4，6，8，所以只要用k的一次式表示出k2，则k4，k6，k8都可以化为含k的一次式，從思路上来说比较容易想到，但因为随着指数越来越大，一次式的系数也越来越大，所以运算量较大.

解法2 由k2+3k-2=0，得

k2=2-3k，

所以k4=（k2）2=10-73k.

设分母为A，则

A=（k8+2k4+1）+（k6+4k2）+15

=（k4+1）2+k2（k4+4）+15

=（11-73k）2+（2-3k）（14-73）+15

=168k2-1823k+164

=168（2-3k）-1823k+164

=500-3503k.

所以所求=10-73k500-3503k=150.

注 这种对复杂多项式利用完全公式、提公因式等进行恒等变形，运算量明显减少了.

解法3 由k2+3k-2=0知k≠0，

可得k-2k=-3，

所以k2+4k2=7，

k4+16k4=41.

从而 k4k8+k6+2k4+4k2+16

=1k4+k2+2+4k2+16k4

=1k4+16k4+k2+4k2+2

=141+7+2=150.

注 这种方法整体上洞悉了分子和分母的代数式结构，通过分式的基本性质：分子、分母都除以分子，分母便变成了k4+16k4+k2+4k2+2这样的形式，这样只需把k-2k=-3两边平方便得到k2+4k2=7，再平方便得到k4+16k4=41，最后整体代入就行了.可以看出这种解法计算量非常少，过程十分简洁，它的神奇之处在于从k-2k=-3两边平方去掉无理数后，后面的过程就再也没有无理数的运算.

解法4 由k2+3k-2=0得

k2=2-3k，①，

则k4=10-73k，②

由①和②得

k4=7k2-4，7k2=k4+4，

所以 k4k8+k6+2k4+4k2+16

=k4（k4+1）2+k2（k4+4）+15

=k4（7k2-3）2+k2·7k2+15

=k456k4-42k2+24

=k456k4-6（k4+4）+24

=k450k4=150.

注 此法采用转化的思路，通过配方或用k的二次代的四次的形式把分母转为k的四次式，这是一种变形的策略.

解法5 由k2+3k-2=0得

k2=2-3k，①

则k4=10-73k，②

由①和②得

k4-7k2=-4，7k2-4=k4.

设分母为A，则

A=（k4-7k2）（k4+8k2）+58k4+4k2+16

=-4（k4+8k2）+58k4+4k2+16

=54k4-28k2+16

=54k4-4（7k2-4）

=54k4-4k4=50k4.

所以所求=150.

注 与解法4类似，本法也是采用转化法的思路，通过配凑或用k的二次代k的四次的形式把分母转为的k四次式.

小结

这样一道含高次多项式的分式求值的问题经过思路的不断探索，找到了降幂的思路，比如解法1和解法2；以及观察代数式结构实现整体变形、代入的技巧，达到了问题的巧妙而简单的求解，比如解法3；最后考虑到分母是k4，想法设法直接把分母转化为k4的形式，这里不仅运用转化的途径：配方、提公因式，而且运用了反代的逆向思维，实现了问题的另类求解，达到了思维的创新发展.