工程建设项目的高维多目标综合优化研究

程书萍，常凯凡，陶 莎

（南京大学 工程管理学院，江苏 南京 210008，E-mail：spcheng@nju.edu.cn）

工程项目多目标优化问题旨在根据工程项目的工期、成本、质量等目标之间的关联，合理制定工程的工序时间安排、成本投入等决策方案，实现对多类目标的综合优化控制。20 世纪以来，国内外专家学者分别对项目多目标均衡优化问题展开了多角度的研究。其中，工期-成本权衡问题（Time-Cost Tradeoff Problem，TCTP）是现代项目管理中被最早且广泛研究的双目标优化问题。近年来，白礼彪等[1]研究了多项目组合中工期-成本优化问题，解决了多项目组合中工序选择施工次序的问题，并提出了求解的改进蚁群算法。Koo 等[2]研究了工期-成本两目标优化问题，建立数学模型并且不断优化算法求出其Pareto 最优解。针对项目的时间、成本、质量均衡优化问题，王玫婷等[3]基于网络计划技术，提出改进的遗传算法求解该问题。刘佳等[4]基于Pareto 最优化原理及模糊数理论，构建了不确定情况下的多目标优化模型，并通过NSGA-II 实现求解。Nguyen 等[5]研究非单元化重复性项目的时间-成本-质量权衡问题，并提出了一种自由参数多目标鲸鱼优化算法来求解。付芳等[6]在所构建的工期-成本-质量优化模型中引入返修成本来提高项目质量，并提出一种基于NSGA 的混合蛙跳算法进行求解。李万庆等[7]基于对多目标间关系的分析，考虑安全目标，并运用微粒群算法进行求解。Panwar 等[8]同样构建了考虑工期、成本、质量与安全的决策模型，并运用NSGAⅢ进行求解。苏贵良[9]基于建筑工程环境评价理论体系，在前人的研究中同时考虑环境的影响，并运用免疫遗传微粒群智能算法求解。在模型求解思路方面，常规的多目标优化算法能够有效求解Pareto 解集，但在很多真实的应用中，高维多目标优化问题逐步增加，使得常规多目标算法的Pareto 选择机制难以区分候选解，不仅导致搜索进化过程缓慢，而且决策者难以从众多解中选择自己满意的解[10]。高维目标空间中收敛性和多样性之间的矛盾难以适用于高维多目标优化问题[11，12]。Deb等[13]在NSGAII的基础上进一步提出NSGAIII，引入了参考点机制来维持种群的多样性，在提升算法多样性及降低求解难度方面均表现较好。

综上，本文研究一类工程建设项目的高维多目标均衡优化问题，旨在合理安排工程实施方案，综合优化工期、成本、质量、安全、环保五维目标。针对本文问题具有五维目标这一高维多目标优化特征，以及常规多目标算法难以适用于高维多目标优化问题的现状，通过NSGAIII 算法有效求解Pareto解集，并通过一个工程案例验证算法的有效性。

1 问题描述与建模

本文基于既定的工程项目活动构成和活动间工序关系，根据工期、成本、质量、安全、环保五类目标的关联性，确定一组工程各活动工期制定、成本投入方案来实现上述五类目标的综合优化，以此支持工程管理者的决策活动。假设某工程项目由n个工序构成，工序集合为N={0，1，…，n，n+1}，其中工序0 和n+1 表示项目开始和结束，是不消耗时间和成本的虚拟工序。工序间的先后关系可由集合Si表示，Si包含了工序i的所有紧后活动。

1.1 工期优化子模型

工程项目的总工期等于虚拟活动n+1的开始时间（虚拟工序的持续时间为0，因此结束时间等于开始时间）。工期优化模型可表示为：

约束式（2）表示工序关系满足条件。若工序j是工序i的紧后活动，则工序j的开始时间应大于工序i的结束时间。式（3）规定任意工序i的持续时间介于最短与最长持续时间之间，即在范围之内。

1.2 质量优化子模型

本文基于系统可靠性理论，从工程项目的工序质量及其相互影响的角度对工程整体质量进行度量[14]。工程整体质量由每个工序质量单元构成，而工序质量又分为两部分，一是工序自身所具备的固有质量，称为“分质量”，记为Qi；另一部分是考虑项目网络中上工序对下工序存在一定的影响和联系，反映紧前工序对其影响的那部分质量，称为“上影质量”，记工序i的紧前工序对其质量影响为。工序质量水平的定义是工序完成后所输出的产品或服务满足一组规定特性要求的程度，记为。质量水平用[0，1]之间的连续数值表示，且数值越高则代表质量越好。本文假设虚拟工序的分质量水平为1，开始工序0 的上影质量水平为1。质量优化模型可表示为：

质量目标式（4）表示项目结束输出的质量水平作为项目整体质量的度量。对于单项工序本身固有的分质量水平，一般情况下，工序持续时间越长，其质量越高，然而考虑“学生综合症”现象，即人们完成任务的时间总是比预期长，或直到最后一刻才匆忙达到要求的现象[15]，因此工程质量随着工期的增长存在边际效用递减现象，二者关系与自然对数函数图像基本一致[14]，由此所建立的单项工序成本与工序持续时间之间的关系如式（5）所示。其参数ai和bi计算分别按式（6）和式（7）进行，函数exp是以自然常数e为底的指数函数，指工序i在最长持续时间下的工序质量，分别指代工序i的最短和最长持续时间。式（8）计算了紧前工序对其影响的上影质量水平，可以看出紧前工序质量水平越高，则工序上影质量越好。式（9）综合了分质量和上影质量，令工序的输出质量为两者的乘积。

1.3 安全优化子模型

考虑上工序对下工序的安全性具有一定的影响和联系。令工序本身的固有安全水平为Si，紧前工序对安全水平产生的影响记为。工序完成输出的安全水平记为。同样，安全水平用[0，1]范围内的连续数值，假设单项工序安全水平与保证性安全成本投入有关。保证性安全成本指的是为降低事故发生概率、提高项目安全水平而预先投入的成本，如安全设施配置费、安全培训费等。相关研究通过设定保证性安全成本率η，将工序费用与η相乘得到保证性安全成本，从而建立单项工序安全水平与工序费用正相关的联系[7]。然而在现实的工程实践中，工程的保证性安全成本率η并非恒定且确知，工序直接费用与安全投入成本也并非完全线性关系。因此，本文将每个工序保证性安全成本率设置为决策变量ηi，以正常持续时间下的工序直接成本为基准，假设ηi取值在范围内，等于对工序i保证性安全投入成本值。综上，安全水平优化模型可表示为：

目标函数（10）指的是项目整体安全水平。式（11）～式（13）刻画了基于系统可靠性理论的安全水平指数计算方式。Pi0表示活动i基于最低保证性安全成本投入的事故发生概率。Δpi意为保证性安全成本投入后，工序i发生安全事故概率的减小比例，其中，工程安全性改善程度随保证性安全成本投入增大而提升，最大幅度为

1.4 环保优化子模型

生态环保是现代工程建设与管理的重要目标，工程决策需要尽可能减少环境破坏和资源浪费。在当前生态文明建设倡导和严格要求下，现实工程项目主体也常常需要投入额外成本以达到环保要求或提升环保水平。例如，福建省高速公路项目建设中投入资金配置污水治理设施，建立污水集中收集、集中处理的统一标准，使得排出水质达到二类水的标准。本文在以往工程环保水平度量公式基础上[9]，进一步考虑绿色成本投入对工程环保水平的影响，引入污染防治成本率为决策变量λi。由此，环保水平优化模型可表示为：

工程环保水平主要体现资源消耗水平和环境污染水平（如噪声、水、大气污染等）两个方面，如目标函数式（15）所示由污染水平和资源消耗水平两部分加权求和得到（w∈[0,1]）。其中，资源消耗水平M表示项目能源、资源消耗水平，这里以项目成本表示资源消耗量，资源消耗水平等于实际施工投入成本/正常施工情况下的成本CN，指正常施工情况（活动执行正常持续时间）下的直接成本和间接成本总和。D表示工程项目区位影响指数，S表示工程项目所在地的社会经济发展水平指数。D与工程所在地和城市中心距离d有关，根据式（16）计算，以既定的距离常数作为临界值，当d＞D时，D=1，表示工程项目几乎没有影响中心城区的环境；当d≤时，d越小则D也越小，即项目对环境的影响越大[9]。S的计算如式（17），其中G和P分别表示参照城市年度GDP 总量（亿元）和人口总量（万人）；ei0为最低污染治理投入的条件下工序i的污染水平，从温室效应、扬尘污染、水污染、光污染、固体废弃物污染以及噪声污染6 个指标进行评估，每类指标分为“无污染”（0分）、“轻度污染”（0.2 分）、“中度污染”（0.3分）、“重度污染”（0.5 分）4 个等级[20]。由于各类污染影响程度不同，各类污染危害程度的权重赋值可以通过专家判断，进一步根据指标权重赋值修正分值。

1.5 成本优化子模型

工程项目成本主要可分为直接成本、间接成本及延期惩罚成本，分别记为和cP。直接成本是指工程工序作业过程中直接投入的人力、机械、材料等资源成本，其在工序持续时间过短或过长的时候都会增加，即二者之间的关系可以用二次曲线来描述。本文还将每个工序投入的保证性安全成本及污染治理成本纳入直接成本计算。间接成本表示间接投入于项目建设中的管理成本，其通常与工期成正比，如场地租赁费。成本优化模型表示为：

总成本通过将所有工序的直接和间接成本及总体延期惩罚成本相加得到，如目标式（19）所示。工序直接成本与工作持续时间、保证性安全成本率、污染防治成本率的函数关系工作持续时间如式（20）所示。其中，是工序i持续正常时间时的直接成本；αi是边际成本递增因子。表达了其与工序持续时间的关系；等于对工序i保证性安全投入成本值；等于对工序i污染防治投入成本值。总直接成本是资源投入直接成本、保证性安全成本与污染防治投入成本之和。式（21）计算总间接成本等于每单位时间间接费用β乘以项目实际工程工期fT。式（22）计算延期惩罚成本，等于总工期延期量，其中T是合同规定的完成时间（截止时间），φ是延时单位时间的惩罚金。式（23）是总成本约束，要求总成本取值在区间。

1.6 多目标综合优化模型

从上述5 个单目标优化模型可以看出模型之间相互影响、相互关联。质量是关于工期的函数；成本是关于工期、安全水平、环保水平的函数；安全与成本有关；环保与成本、工期均有关。图1 描述了5 个目标之间的联系，节点表示目标，实线箭头表示目标之间的直接影响关系，实线箭头旁标注的符号表示通过哪一类变量施加影响。

图1 工期-成本-质量-安全-环保五维目标之间的关联

联立上述模型1～模型5，本文建立的多目标综合优化模型包含三类决策变量：工序持续时间ti、保证性安全成本率ηi、污染防治成本率λi。优化的目标向量为F=(f T,f Q,f S,f E,fC)，其中f T,f E,fC为最小化目标，其它两类f Q,f S为最大化目标。综上，构建多目标综合优化模型如下：

2 基于参考点的高维多目标优化算法

NSGAIII 算法是在“Pareto 最优解”概念上提出的高维多目标进化算法，具有快速、准确的搜索性能；还包含了参考点机制以实现对算法多样性和收敛性的平衡。本文采用NSGAIII 算法成熟框架，其具体操作流程、算子等介绍可进一步参考相关文献[13]。

2.1 染色体编码机制

染色体编码通常是进化算法需要解决的首要问题，合理的编码是算法有效进行的前提，也是改善算法执行效果的保障。编码是指以染色体形式表示候选解，在此基础上进行相关的遗传操作。NSGAIII算法不是直接以模型中的决策变量，而是先将多目标综合优化模型[6]所包含的三类决策变量：ti、ηi和λi转化为某种形式的编码。工程决策包含了每个工序的工期及环保和安全成本投入比率，因此对这三类决策变量进行独立编码。染色体由三部分构成，第一部分为每个工序的持续时间，第二部分为每个工序的保证性安全成本率，第三部分为每个工序的污染防治成本率。第一部分采用整数编码，后两部分均采用实数编码，取值范围为具体编码方案如图2 所示。

图2 编码方案

2.2 适应度计算

适应度函数（Fitness）由问题目标函数决定，用于评价染色体（解）优劣和其环境适应能力。本文直接采用质量和安全目标值及工期、成本、环保的倒数表示个体适应度。因此求解个体适应度时，首先需要根据编码所表示的解及上述模型涉及公式计算五方面目标。

由于模型的总成本投入受到硬约束条件限制，即CMIN≤fC≤C MAX，因此本文采取罚函数法处理。在计算非可行的染色体（即总成本超过CMAX或小于CMIN）的适应度时，添加一个较大的罚函数为除数，以此来使其适应度大幅度减小，达到降低其遗传进入下一代的概率的目的。施加的处罚值表示为fP=M*(1-μ)，其中，M为非常大的正整数，0/1参数μ用于衡量约束是否违反，当约束违反时，其取值为0，施加惩罚；否则取值为1，不施加惩罚。最终成本适应度计算函数为

3 案例分析

3.1 案例介绍

本节案例改编自某建设工程分项工程的部分施工阶段，该施工过程涉及9 道工序。该分项工程离中心城区的距离约为35km，所在城市的人口289万，GDP 为2619 亿元，区域经济发展指数计算所对照的省会城市人口为757 万，GDP 为10020 亿元。此外，设置截止工期为160 天，间接成本为1 万元/天，延期索赔2 万元/天，总成本投入不能超过260万元。假设各工序的保证性安全成本率和污染防治成本率（ηi，λi）取值在[0，0.2]范围内。令环境影响计算式（14）中的临界距离=40km，环保水平度量中的污染水平和资源消耗水平权重相等，即w为0.5。其它各工序参数设置如表1 所示，其中各工序的初始环境污染水平ei0计算按照环境指标评估如表2 所示，各因素影响指标值如表3 所示[16]。

表1 工序参数

表2 工序对环境的影响评估

表3 各因素影响指标值

3.2 综合优化分析

本文采用Matlab R 2016a 软件进行算法编译，设置种群规模为50，迭代次数为500，求得本案例的Pareto 解。部分Pareto 解的目标值，如表4 所示。

表4 部分Pareto 解的目标值

通过绘制两两目标值构成的散点图，可以发现工期和成本、环保目标之间的关系，如图3 所示，工期和成本具有较为明显的负相关关系。而随着总工期增加，每个工期值对应的最佳环保水平呈现先降低后升高的趋势。这是因为随着工期增加，总体污染水平也随之升高，而工期压缩会导致赶工成本增加，投入更多的资源使得资源消耗水平增加。无论是污染水平还是资源消耗水平的升高都会引起环保目标趋于恶化。图3可以看出总工期在142～146之间，环保水平才能达到最佳。除上述关联之外，质量和安全目标与其它目标的关系难以直观判断，这是因为质量和安全度量公式基于系统可靠性理论，总体质量和安全水平不仅仅与每个工序的质量和安全水平有关，还依赖于工序之间的相关关联，即项目网络结构。总体上看，工程项目的工期、成本、质量、安全和环保水平存在较为复杂关联，彼此相互制约、相互影响。

图3 工期目标与成本、环保目标的关系

结合决策者对目标重要性排序、权重、满意目标值和不允许值等信息，利用多目标规划常用的分层序列法、功效系数法和理想点法综合比选出满意方案。假设决策者对目标的偏好信息如表5 所示。

表5 决策者对各目标偏好

分别采用分层序列法和理想点法、功效系数法从众多Pareto 解中选择最优方案。其中分层序列法是指对多目标按其重要性排序并求解的方法，针对本文问题，根据偏好信息表中的重要性排序，按照质量-安全-工期-环保-成本的顺序求解，得到最优方案是方案3，次优方案是方案6。功效系数法分别以满意值和不允许值为上、下限，对各目标值进行无量纲化计算，再通过不同权重值综合计算其功效系数，得到的结果与分层序列法相同。而理想点法以理想点为标准加权计算各目标值的接近度，比较其大小，得到的最优方案是方案6，次优方案是方案3。计算两种方案在不同方法下名次的平均值，方案3 综合名次更靠前。因此，综合上述3 种方式，优先选择方案3。

4 结语

作为一类典型的复杂系统优化问题，工程项目的多目标优化问题具有重要实践价值，因而受到工程管理领域学界和业界的广泛关注。本文研究的工程建设项目高维多目标均衡优化问题，综合优化工期、成本、质量、安全、环保五维目标。在当前生态文明和安全至上的工程建设理念下，本文基于工程现实需求，在以往工程多目标均衡/综合优化相关研究基础上，分别引入了保证性安全成本率和污染防治成本率作为决策变量，构建了工期-成本-质量-安全-环保五维目标紧密关联的综合优化模型。结果表明，工程项目的工期、成本、质量、安全和环保水平之间存在较为复杂的相互关联。结合决策者对目标的主观信息，综合分层序列法和理想点法、功效系数法可以从Pareto 解集中选择最优方案。