关注图形结构 衍生通性通法——对一道“倍半角”问题的再思考

段广猛

（江苏省苏州工业园区星湾学校）

图形结构是几何学的灵魂，也是解几何题的关键.在几何解题教学中，教师要善于从问题的已知条件、图形的结构特征以及结论的合理导向入手，触发广泛联想，衍生出相关的解题策略，从而灵活地构造一些常见的基本图形，使分散的条件集中化、隐含的条件显性化、复杂的条件简单化.这样的解题教学才可以活化学生思维，积累解题经验，实现创新思维能力的提升，达到举一反三、触类旁通的解题效果.

下面以一道“倍半角”问题为例，从图形的核心结构入手，联想一些常见的解题策略，进行一次再思考，以深入挖掘该题对提升学生解题思维能力的价值.

一、原题呈现

题目如图1，在△ABC中，∠A=40°，AB=AC，P为边AB上的一点，且∠ACP=20°，求的值.

图1

二、结构分析

此题图形结构简洁，各元素之间的关系都是确定的.从角度的视角进行分析：∠A=40°，∠ACP=20°，∠ABC= ∠ACB=70°，∠BCP=50°，∠BPC=60°，∠APC=120°；从线段的视角进行分析：AB=AC，AP+BP=AB.这些比较显性的条件中，大多都是非特殊角，尽管图形确定，但从初中范畴来看，还是很难操作的.由此，还要挖掘一些隐性条件.

例如，∠A=2∠ACP，可以说，这是此题的核心结构，由此可联想系列常见的“倍半角”构造方式，衍生出一类“倍半角”解题策略.

再如，∠BPC=60°（或∠APC=120°），这是图中独有的特殊角，由此可联想“边对角”结构，即“边BC对∠BPC”（或“边AC对∠APC”）结构，衍生出构造辅助圆的解题策略.

当然，由于此题结构明确，图形确定，从高中范畴来看，还可以衍生出解三角形等解题策略，以算代证.

下面逐一分析相关的解题策略.

三、解题策略

策略1：由“倍角造半角”

“倍半角”结构，即∠A=2∠ACP，是此题的核心结构.初中阶段“倍半角”结构的常见处理策略无非两条路径：一是由“倍角”造“半角”，即将“倍角”半分；二是由“半角”造“倍角”，即将“半角”加倍.这两条路径往往与等腰三角形的外角模型或角平分线相结合.

图2或图3是两种常见的由“倍角”造“半角”的方式，由此可衍生出以下9种解题方法.

图2

图3

方法1：见角平分线，作双垂线.

如图4，延长BA至点D，使AD=AC，连接CD，

图4

则∠D=∠ACD=20°，且AD=AB.

易证CA平分∠PCD.

过点A分别作CD，CP的垂线，垂足分别为点G，H，

则AG=AH.

又易证BC=2AG，则BC=2AH.

方法2：角平分线的对称性.

如图5，同方法1作相关辅助线，可得CA平分∠PCD.

图5

作点P关于AC的对称点P′，则点P′落在CD上，且AP=AP′，∠AP′C= ∠APC=120°.

【反思】以上两种解法都是基于如图2所示的“由倍角造半角”的策略，结合角平分线的对称性而得到的.前者“见角平分线，作双垂线，得相等”，后者“见角平分线，作对称，得相等”，这都是角平分线常见的处理策略，集中体现了其对称性这一本质属性.“由倍角造半角”，从而“得等角”，还体现了转化思想.另外，这两种解法都涉及等腰三角形之“三线合一”的性质.

方法3：相似法.

如图6，延长CA至点Q，使AQ=AP，连接PQ，

图6

则∠Q=∠APQ=20°.

故∠Q=∠PCQ.

从而PQ=PC.

注意到∠APQ+∠B=90°，作CG⊥AB于点G，AH⊥PQ于点H，

则△BCG∽△APH.

方法4：全等法1.

如图7，作等腰三角形ABC的顶角平分线AM，交CP于点O，

图7

易得∠OAP=∠OAC=∠OCA=20°.

则OA=OC.

在OM上取点Q，使OQ=OP，易证得△OAP≌△OCQ.

则AP=CQ，∠OPA=∠OQC=120°.

方法5：全等法2.

如图8，同方法4作相关辅助线，可得OA=OC.

图8

再过点A作OP的垂线，垂足为点H，

易证△OAH≌△OCM.

则CM=AH.

【反思】全等与相似是特殊与一般的从属关系，它们是计算线段长度或比例的常见方法.方法3是基于如图2所示的“由倍角造半角”的策略，结合等腰三角形“三线合一”性质，从而构造三角形相似求得线段之间的比例.值得一提的是，这种构造方式恰好将两个目标线段（BC，AP）置于两个相似三角形中，即这两条线段之比恰为相似比.方法4、方法5都是基于如图3所示的“由倍角造半角”的策略，即“作角平分线，得等角，现等腰”，然后构造全等转移线段，从而将两条目标线段转移到同一个三角形中，顺利获解.

方法6：图形变换法1.

如图9，作等腰三角形ABC的顶角平分线AM，则BC=2CM.

图9

将△ACM沿着AC翻折至△ACM′，则CM=CM′，且∠CAM=∠CAM′=∠ACP=20°.

从而∠PAM′=60°，且CP∥AM′.

再作PH⊥AM′于点H，易得CM′=PH（相当于将CM′平移至PH）.

方法7：图形变换法2.

如图10，同方法6作相关辅助线，将AP平移至QC处，易证∠CQM′=∠PAM′=60°.

图10

方法8：“由倍造半”+图形变换法3.

如图11，作等腰三角形ABC的顶角平分线AM，将△ACP沿着AC翻折至△ACP′，再作P′N⊥AM于点N，

图11

易证BC=2CM=2P′N，∠P′AN=60°.

【反思】翻折、平移都是常见的图形全等变换，也是转移线段的重要方式.方法6～8都是基于如图3所示的“由倍角造半角”的策略，结合翻折变换及平移变换，从而将两条目标线段转移到同一个三角形中，顺利获解.如果构造全等或相似是一种静态的思考方式，那么图形变换就是一种动态的思考方式，也是一类问题解决的重要途径.

方法9：面积处理法.

如图12，作等腰三角形ABC的顶角平分线AM，交CP于点O，易证∠OAC=∠OCA=20°.

图12

则OA=OC.

将等腰三角形ACO沿着AC翻折至△ACO′，

易证四边形AOCO′为菱形，且∠PAO′=60°.

过点P作PG⊥AO′于点G，

易得S菱形AOCO′=AO·CM=AO′·PG.

又因为AO=AO′，

故CM=PG.

【反思】面积法是计算线段长度或比例的又一重要策略.方法9仍先利用如图3所示的方式“由倍角造半角”，结合翻折变换构造菱形AOCO′，再借助面积处理，得到菱形每条边上的高相等，实现线段的转移，从而将两条目标线段转移到同一个三角形中，顺利获解.

以上9种解题方法都是基于“倍半角”结构而采取的“由倍角造半角”的常见构造方式，然后结合角平分线、全等、相似、图形变换，以及面积等常见的处理策略而获解的.下面再看几种“由半角造倍角”的常见思路.

策略2：由“半角造倍角”

图13或图14是两种常见的由“半角”造“倍角”的方式，由此可衍生出以下4种解题方法.

图13

图14

方法10：相似法1.

如图15，在AC上取点D，使PD=CD.

图15

则∠ADP=2∠ACP=∠A=40°.

故AP=PD=CD.

从而BP=AD.

注意到∠A+∠BCP=90°，作PG⊥AD于点G，BH⊥PC于点H，

易证△BCH∽△APG.

方法11：相似法2.

如图16，在AC上取点D，使PD=CD.

图16

同方法10，可得AP=PD=DC.

注意到∠PCD+∠B=90°，作DG⊥PC于点G，CH⊥AB于点H，

易证△BCH∽△DCG.

方法12：相似法3.

如图17，在AC上取点D，使PD=CD.

图17

同方法10，可得AP=PD=DC.

作点C关于AB的对称点C′，连接CC′交AB于点H，再连接BC′，

易证△BCC′∽△DCP.

【反思】方法10～12都是基于如图13所示的“由半角造倍角”的策略，构造出等腰三角形，再利用相似解决问题.“倍半角”问题的构造模式常与等腰三角形相结合，无论是“由倍造半”还是“由半造倍”，往往会出现等腰三角形，从而实现等角转化.

方法13：翻折变换.

如图18，将△ACP沿CP翻折至△A′CP，连接AA′，延长CP交AA′于点G，

图18

则∠ACA′=2∠ACP= ∠BAC=40°.

易证△ABC≌△CAA′.

故BC=AA′.

又由CP平分∠ACA′，可得CG⊥AA′，且AA′=2AG.

【反思】翻折变换也是一种常见的“由半角造倍角”的构造方式，然后巧识全等实现线段的转化，从而将两条目标线段转移到同一个三角形中，顺利获解.

以上4种解题方法都是基于“倍半角”结构而采取的“由半角造倍角”的常见构造方式，然后结合全等或相似等常见的处理策略而获解的.

策略3：边对角→辅助圆

图19是“边对角”的核心结构，可联想构造辅助圆，由此衍生出以下2种解题方法.

图19

方法14：导边导角.

如图20，作△BCP的外接圆⊙O，连接OB，OC，OP，再连接AO并延长交BC于点M，

图20

由AB=AC，且OB=OC，易证AO垂直平分BC.

又由∠BOP=2∠BCP=100°，则∠OPB=40°.

易知∠OAP=20°.

故∠AOP=20°.

从而AP=OP=OB.

方法15：全等法.

如图21，作△ACP的外接圆⊙O，在优弧⌒AC上取点D，使DA=DC，连接DP，

图21

易证△ACD为等边三角形，且∠ADP=∠ACP=20°，∠APD= ∠ACD=60°.

再过点A分别作BC，DP的垂线，垂足依次为点M，N，

易证△ACM≌△DAN.

故CM=AN.

【反思】以上2种解题方法都是基于“边对角”结构的识别（即“边BC对∠BPC”或“边AC对∠APC”），而采取的构造辅助圆策略，然后利用全等导边、导角，顺利获解.“边对角→辅助圆”是一种常见的处理策略，往往能起到意想不到的解题效果.

图形结构决定图形性质，很多问题解决的密钥自然也蕴含于图形结构中，识别并完善图形结构中的一些关键部位，便可获取系列常见的解题思路.

四、特殊化与一般化

数学家梅森认为，特殊化与一般化贯穿于整个解题过程中，或者说，特殊化与一般化构成了整个解题过程的基础.他还指出特殊化在解题中的作用：第一，只有通过特殊化才能很好地了解所面临的问题；第二，只有通过特殊化才能认识导致一般化的模式；第三，对于所得出的结论又必须借助进一步的特殊化去检验.

一般化是问题解决的另一条重要途径，它是数学创造的基本形式.数学认识的根本目的是揭示更为普遍、更为深刻的事实或规律，只有将问题推广到更一般的情形，才能获得更加本真的认知，才能得到更多的收获.

对于此题，若做特殊化处理，可得到如下简单的结论：如图22，在等边三角形ABC中，P为边AB上一点，且∠A=2∠ACP，显然.

图22

若做一般化处理，可得到如下结论：如图23，在△ABC中，AB=AC，P为边AB上的一点，且∠A=2∠ACP，试说明：

图23

经尝试，以上15种解题方法对于此类一般化问题均适用.由此看来，它们都是处理此类问题的通性、通法.

五、几点思考

1.关注图形结构，联想通性通法

几何解题教学中，教师应善于从图形的结构入手，引导学生洞察图形的结构特征，构造相关的基本图形，从而引发学生广泛联想，衍生出一些常见的解题策略.本文前13种解题方法都是基于图形的核心结构（即“倍半角”结构）而触发联想的“倍半角”构造法；方法14与方法15是基于“边对角”结构而触发联想的辅助圆构造法.总之，图形结构是几何问题的“魂”.教学中，教师理应引导学生从识图入手，整体把握图形结构，合理地对图形结构进行拆解、提炼，发挥基本图形的导航作用，实现边或角之间的相互转化.

通性通法是解决一类问题的基本方法，往往具备很强的通用性与普适性.《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出，在实际情境中，能够把握研究对象的数学特征，感悟通性通法的数学原理和其中蕴含的数学思想，能够在解决相似的问题中感悟数学的通性、通法.教学中，要尽量挖掘问题解决的最本质、最基本的方法与策略.从本文中的一般化处理结果来看，上述基于图形结构分析而衍生出的15种解题方法都是此类问题的通性通法.

2.注重数学本质，锤炼思维品质

波利亚指出，“掌握数学意味着什么呢？就是要善于解题”.几何图形结构的分析与探究是一个有目标的、复杂的、高级的心智活动，既可以训练学生的数学思维方法，又可以培养学生创造性的思维能力.数学思维是以数学物象为思维对象，以数学语言及符号为思维载体，并以认识和揭示数学规律为目的的一种思维.教学中，应从题目的目标、内容、结构、特征等方面一题多思、一题多解、一题多变，从不同视角、不同层次加以分析、探索，深入挖掘问题本质，从而培养学生的思维品质.

本文中提供的多种解题方法就是从不同的图形结构特征入手，充分联想、构造而产生的不同解题策略.另外，这些解题方法分块呈现.例如，前9种解题方法都属于由“倍角造半角”的基本策略，这又体现了多解归一的功效.“一题多解，多解归一”是培养学生思维灵活性的好方法，前者从不同角度、用多种方法思考问题，思维呈发散性；后者是发现不同方法中相通的本质，思维呈聚合性.两者结合，方能深入挖掘问题本质，彰显解题教学的魅力，使学生能在不同角度、不同层次、不同情境下重新认识所学的知识，达到举一反三、触类旁通的效果，这样才能充分培养学生的思维能力和创造能力，形成良好的思维习惯，全面提高学生的思维品质.

3.发挥教学机智，放眼长线发展

解题是一门技术活，教学是一门艺术活，解题教学需要借助艺术化的手法将基本的解题技能逐渐渗透给学生.罗增儒教授认为，数学学习中真正发生数学的地方都无一例外地充满着数学解题活动.解题教学中要充分发挥教学机智，努力营造一个勤学、善思的教学环境，增强学生对于数学学习的信心与期待.拿本文举例，对于上述15种解题方法，如何循循善诱？如何引导学生果敢、积极地去思索？这离不开一份好的教学设计，离不开一些好的问题.教师若能设计好教学环节，或许会是一节精彩的课堂.

俗话说得好，放长线，钓大鱼.解题教学中，教师若能放眼学生的长远发展，在平时的常态教学中，适时渗透一些初、高中衔接知识或方法，对于学生尤其是优等生的培养势必起到一定的积极作用，使他们对于以后的学习之路充满无限的期待.前文说到，特殊化与一般化是研究问题的一般路径，若学生能提出或教师能引出：上述特殊化与一般化的结论之间是否具备一致性？换言之，一般化的结论对于特殊化的条件是否仍然适用？这时，教师可以断言：“它们是一致的！等到高中，大家就会学习sin 90°=1，到时就能彻底理解了！”这无一不体现了教师的教学机智.这样的课堂必定是极为出彩的，这样的解题教学对于学生的思维冲击必定是震撼的，这也必定能更加坚定学生学习数学的信念以及对未来无限的向往.