加强代数推理，寻找代数教学的理性回归——从四节“代数推理”展示课说起

张宗余

（浙江省教育厅教研室）

一、问题的提出

在2021年12月举办的第十二届全国初中青年数学教师课例展示活动（以下简称“展示活动”）中，笔者作为学术委员参与其中，负责主持及课例点评工作，其中的指定课题“代数推理”的四节展示课引起了与会教师的广泛关注.2022年4月颁布的《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《标准》），在“代数式”部分增加“⑨了解代数推理”，并给出了三个教学案例.推理作为不可或缺的思想方法，渗透在数学的产生与发展过程中.推理常见的形式有演绎推理、归纳、类比、统计、推断等.演绎推理是从一般到特殊的推理，归纳是从特殊到一般的推理，类比是从特殊的具体到另一个具有某种类似特殊的具体.

为什么“代数加强推理”会引发关注呢？难道初中代数教学中没有推理的存在？笔者认为有以下三个方面的原因：一是一线教师普遍认为几何是培养学生逻辑推理能力的绝佳素材，还未充分意识到代数和概率统计对培养学生逻辑推理能力的作用，研究者甚少；二是部分学者在不同国家学生推理能力发展的比较研究中呼吁“中国应加强推理能力的培养，不仅要重视几何推理，还要培养学生的代数推理和概率统计推理的能力”；三是部分高中教师反映很多初中生代数领域的推理能力难以应对高中阶段代数学习的要求，也有教师认为八年级学生数学成绩两极分化的很大原因是初中阶段的代数教学不重视推理造成的.因此，了解初中阶段代数推理教学的现状，分析、梳理代数领域学生推理能力培养的着力点，改进与指导一线教师在代数领域加强数学推理的教学有着现实意义.

二、“代数推理”的同课异构

从一节课的教学来凸显代数推理，显然有些牵强，毕竟推理能力的培养不可能通过一节课来达成.但是通过课堂观察，研究一线教师对代数推理的理解，还是有一定价值的.现结合四位展示教师提供的“代数推理”展示课的录像和教案，从下面四个教学设计环节进行比较、分析.

1.教学内容的定位

从文本上看，四位教师的教学设计对《义务教育数学课程标准（2011年版）》的要求都有所体现，但对代数推理的内容定位与理解还存在差异.教师A认为“与数学推理能力一样，代数推理能力主要包括合情推理与演绎推理两种形式”，这显然混淆了“能力”和“形式”两个概念；教师B认为“代数推理侧重数与代数式或关系（方程、不等式、函数等）的运算、变形”，忽视了在数学概念、公式等产生过程中推理的作用；教师C认为“代数推理能力作为学生推理能力在代数知识背景下的具体体现”，这体现了教师对代数推理的内涵理解不够；教师D认为“代数推理就是通过数学证明、等式变换等方式将复杂的问题简单化”，这一观点过于强调了演绎推理的作用.

2.教学目标的确定

教学目标的确定以课程标准的规定、单元章节的要求、课时教学的任务及教学对象的实际作为依据，是教学设计的关键，体现着教学的方向与目的.限于文章篇幅，截取四位展示教师的部分教学目标，具体如下.

教师A将教学目标设置为：对给出的特例进行猜想，并对猜想的结论进行表征，能对归纳得到的一般性结论进行检验，养成利用数学符号论证问题的习惯.

教师B将教学目标设置为：能理解并熟练运用符号表示数、数量关系和变化规律；会用符号进行运算和推理，从而得到一般性的结论；会将数学和生活中的问题转化为代数推理，体会代数推理应用的广泛性.

教师C将教学目标设置为：进一步理解用字母表示数，会用符号进行运算和推理，掌握代数推理的过程，初步学会应用代数推理解决实际生活中的数学问题.

教师D将教学目标设置为：了解代数推理的概念，学会用代数推理一些数与式的基本结论，发展符号意识.

从课堂教学目标的设置上看，四位展示教师对教学目标的研究和确定还不到位.教学目标的制订还以“三维目标”“知识技能，数学思考，问题解决，情感态度”等方式呈现，行为动词的使用和维度条目设计上存在不合理.因此，四位教师对“代数推理”一课的教学目标的设置上还有待改进.

3.教学重、难点的确定

教学重点应以教学目标为根本依据，根据教学内容的地位和作用而确定.教学难点往往视学生的学习情况而定，与学生已有的基础知识、原有的经验及思维方式有关.我们可以从表1中了解四位展示教师对教学重、难点设置的异同.

表1 四位展示教师对教学重、难点设置情况

从教学重、难点的确定上看，四位教师存在较大的差异.这里既有对教学内容理解得不到位，也有对学生学情实际关注不深的原因.

4.教学流程设计

教学流程的设计既要尊重学科的内在逻辑，也要尊重学生的认知逻辑，体现教师教学理念在课堂中的落实.下面简单展现四位教师课堂教学设计的流程.

教师A设计了如下6个问题引导教学.

（1）观察算式“3+5=8”：从数的属性我们能得到哪些猜想？

（2）尝试证明：任意两个奇数的和为偶数吗？

（3）进一步猜想：将任意两个奇数的“和”变成“差”，结果会发生改变吗？将“和”变成“积”呢？

（4）再进一步猜想：将任意两个奇数变成任意三个奇数，结果会改变吗？n个奇数呢？

（5）再换一个角度猜想：奇数变成偶数呢？结果会发生改变吗？

（6）数学文化：介绍数学家对哥德巴赫猜想的研究过程，解释“陈氏定理1+2”的由来.

教师B从一个简单的游戏引入.

比一比，看谁算得快：152= ____，252= ____，352= ___，…，852= ___.

接下来，教师B设计了如下三个探究问题.

探究1：探究两位数-a5平方的规律；

探究2：探究任意一个三位数能被3整除的规律；

探究3：用代数推理解决生活中的问题.

教师C从如下“读心术”互动游戏导入.

（1）任意写一个两位数；（2）交换该数的十位数字与个位数字，又得到一个数；（3）求原数与新数之和.根据结构，老师能很快猜出你们心里想的数.

然后，教师C设计了如下3个探究问题.

探究1：能被3整除的数有什么特征？

探究2：研究个位数是5的两位数的平方的规律；

探究3：计算11至19之间任意两个自然数相乘的积.

教师D从如下读心魔术游戏导入.

游戏规则：先想一个数字，写好后放在信封内；然后请同学任意选取一个数字均相同的三位数；请大家计算出这个三位数除以这个三位数各个数位数字之和的商，老师来猜数字.

接下来再拓展应用到一个五位整数的读心魔术.

从教学流程来看，四位展示教师都从学生熟悉的背景出发，引导学生经历合情推理到演绎推理的过程.

三、“代数推理”内涵的探讨

代数推理是基于代数的逻辑推理.从这四节展示课可以看出，四位教师对代数推理的理解不够深入.因此，有必要研讨代数推理的内涵.

1.代数与符号

代数是怎样的一门学科？一般认为，学生从初中开始学习代数，从情境中抽取确定的关系，用符号表示这些关系，并按代数法则进行运算处理，中学代数中的很多问题从算术方面发展而来，但是随着内容的深入，它形成了自己独有的特点.虽然中学代数不可能成为一个纯形式的系统，但也的确引入了不少抽象的对象和法则.从代数学发展的角度来看，大致经历了三个阶段：第一阶段是公元250年以前的词语阶段，即用普通的词语来表达和解决特定的问题；第二阶段是公元250年到16世纪的简略阶段，从数学家丢番图开始，用相应词语的缩写字母表示未知量；第三阶段是从16世纪末开始的符号阶段，数学家韦达开始采用任意字母表示已知量，在完全利用符号的条件下，代数进而变成一种抽象的形式工具，能提供数量关系的普遍性的法则.以符号为元素，按特定方法形成合理的符号串表达式，常常嵌入在自然语言形成的语句中.近代、现代数学的迅速发展，简洁的符号使用功不可没，这一点在四位展示教师的教学目标和课堂教学设计中都有明确的体现.

2.推理与思维

为什么说推理是数学的基本思维方式，这与思维的双重性有关.一般认为，形象思维是“发现真理”的思维，通过归纳和类比来实现，正如波利亚的一句名言“让我们教猜想吧”.还有一种思维是进行论证推理的逻辑思维，是“抓到真理”后进行完善和“补行证明”的思维，能通过演绎推理实现，即从一般性的前提出发，通过推导，即“演绎”，得出具体陈述或个别结论的过程.演绎推理的最典型、最重要的应用，通常存在于逻辑和数学证明中.演绎推理一般有三段论、选言推理、假言推理、关系推理等形式.古希腊数学家欧几里得的巨大历史功勋不仅在于建立了一种几何学，而且在于首创了一种科研方法.欧几里得是第一个将亚里士多德用三段论形式表述的演绎法用于构建实际知识体系的人，欧几里得的几何学正是一门严密的演绎体系.

3.内容与方式

初中阶段的“数与代数”部分包含“数与式”“方程与不等式”“函数”三个主题的内容.在“数与式”的教学中，可以在逻辑论证的过程中使学生形成推理能力.例如，设------abcd是一个四位数，若a+b+c+d可以被3整除，则这个四位数可以被3整除.在论证过程中，能进一步提升学生的符号意识，养成利用数学符号论证问题的习惯.又如，研究两位数-a5平方的规律时，在归纳的过程中引导学生发现，依次计算或尝试是合理的，有利于发现事物变化规律的方法，从而让学生养成有条理做事的习惯.

在“方程与不等式”的教学中，要引导学生积累用数学符号进行一般推理的经验；了解一元二次方程一般表达式ax2+bx+c=0(a≠0)的关键是用字母表示方程的系数，可以写出方程根的一般表达式；知道这样的表达是算术转变为代数的“分水岭”.

在“函数”的教学中，让学生对于给定图象能够想象出图象所表示的函数关系，不仅能从条件推演结论，也能从结论想象条件.在这样的过程中，加深学生对函数的理解，发展学生的几何直观，培养学生数学学习的兴趣.

四、素养导向下的“代数推理”

《标准》中提出了数学核心素养，提出要“会用数学的思维思考现实世界”.数学思维主要表现为运算能力和推理能力.推理能力主要是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力.在代数领域的教学中，教师要不断引导学生理解推理能力的内涵，掌握推理的基本形式和规则，探索并表述论证过程.

1.从算术思维向代数思维过渡

《标准》将原小学阶段学习的“负数”“方程”等概念迁移至初中阶段.我们知道，学生学习负数是比较困难的，负数的引入是具体数学向形式数学迈进的第一步.依据学生在不同年龄阶段的表现，小学阶段强调的是发展“推理意识”，初中阶段则是发展“推理能力”.因此，需要加强学段衔接，有效促进学生从算术思维向代数思维过渡.算术的基本对象是数，而代数中出现了更具广泛意义的符号.算术思维的核心是获得一个答案，以及确定获取这个答案与验证这个答案是否正确的方法.代数思维则是由关系或结构来描述，它的目的是发现关系或结构，并将它们联系起来.因此，学生在从算术思维向代数思维过渡的过程中，思维的层次要经历从个别到一般、从具体到抽象的飞跃.一方面，教师要培养“代数的眼睛和耳朵”，发现算术中潜在的代数结构，这样才能有效发展学生的结构意识；另一方面，教师在教学中应设计恰当的问题情境，如通过“鸡兔同笼”这样的问题，让学生看到代数方法和算术方法的相似与差异，从而逐渐意识到代数方法的优越性.

2.不断明晰代数推理能力发展的路径

参考文献［4］中梳理了代数推理的着力点，如基于现实抽象代数概念，在代数概念的基础上建立该概念相关的运算法则，基于运算规律探析运算规律或者运算公式，利用有关法则、规律或公式进行运算进而解决问题，并指出了代数推理能力教学中的现状.例如，演绎推理过程简略，师生难以体会；合情推理素材丰富，但明确性不够；合情推理与演绎推理的融合不够；未将推理能力发展作为明确的目标等问题.造成这些现象有代数学科的内容、教材设计或教学实施等原因，因此一线教师要审视这些薄弱环节，思考教学改进的策略.例如，对于演绎推理过程过于简略的问题，可以让推理的过程“看得见”.新学一个运算法则或运算规律，利用它们进行运算时，要求学生说明道理，即每个等号一行，在每一行算式后面标注理由，待学生熟悉运算法则或运算规律之后，不再做这一要求，从而让学生充分感受到代数推理的严谨性，养成言之有据的习惯.又如，加强合情推理和演绎推理的融合，实现从合情推理到演绎推理的完整过程.在学生学力许可的情况下，应尽力补全合情推理之后的演绎推理过程，让学生经历从合情推理到演绎推理的闭环，养成严谨的思维习惯.即使学力不允许进行严格证明，也应注意通过举例等方式对合情推理的结论予以进一步解释，通过其他知识的适度类比等方式加深学生的理解.

3.促进信息技术与代数推理教学的整合

《标准》强调要合理利用现代信息技术，提供丰富的学习资源，设计生动的教学活动，促进数学教学方式、方法的变革.通过现代信息技术，数与代数内容中的一些与数据处理有关的繁难运算，都能通过计算器进行，一些过去只能通过思维、表象和想象体会的数学内容，可以得到直观的表示和处理.实践表明，图形计算器有利于加深学生对函数知识的理解，挖掘函数知识中蕴含的重要思想方法，领悟数学的本质.同时，有利于解决函数模型中逐步培养学生科学研究的态度和意识，感悟数学的严谨性，初步形成逻辑表达与交流的习惯.

4.加强代数推理的任务驱动

推理不仅是学习的手段、工具，更是学生发展的目标.在代数学习过程中，学生在运用推理的过程中顺带发展了推理能力，但仍需要进行专门的推理训练，通过更为丰富的推理活动发展推理能力，设计更有针对性的推理任务，确保推理目标的达成.例如，教师可以设计一个具体的活动，要求学生在活动中经历归纳、猜想与证明的过程，切实感受推理的全过程.又如，2021年中考数学浙江嘉兴卷第18题呈现了解方程的过程，要求学生判断这样的推理过程是否正确，并加以完善、改进，并在这个过程中发展学生的代数推理能力.

能力的发展绝不等同于知识与技能的获得.能力的形成是一个缓慢的过程，有其自身的特点和规律，需要学生自己“悟”出其中的道理、规律和思考方法等.这种“悟”只有在数学活动中才能得以进行.因而，教师设计的教学活动必须能给学生提供探索、交流的空间，组织、引导学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，并把推理能力的培养有机地融合在这样的“过程”之中.