化归思想在数学中的应用研究①

穆聪敏，张玲梅

（1.太原师范学院教育学院，山西 晋中 030619；2.太原师范学院数学与统计学院，山西 晋中 030619）

在数学的实际学习过程中，把数学的基础知识和基本方法进行抽象后，就可以得到数学思想，这就是化归思想。化归思想在数学中有着广泛的应用，它的本质是揭示待解决问题和已有经验之间的联系，把我们未知的、不熟悉的问题通过一系列技巧进行转化，一步一步地与我们已知的、熟悉的问题建立本质的联系，再通过解决后者的问题，达到解答前者的目的。除了掌握基本的数学知识外，学生还需要有利用知识解决问题的逻辑，也就是我们所说的数学思想。学会化归思想，不仅能为其他思想方法的学习奠定基础，还有利于提高解决问题的能力，降低解题难度，加快解题速度，从而增强学生的自信。最重要的是能逐步培养学生的数学思维，这正是学生观察和发现世界的眼睛，学生将会受益终身。

一、化归思想的体现

化归思想不仅在数学知识点中有所体现，也在数学解题方法实践中有所体现，主要分析了在数学知识点以及解题思想中涉及的化归思想。

（一）化归思想在方程求解中的体现

学生在学习了一元一次方程的基础上接触了一元一次方程组和二元一次方程，在解决新接触的问题时，直接求解往往是难以实现的。因此，我们希望把问题朝着已学会的、已有相关经验的知识方向去转化，在处理方程问题时，我们往往使用消元和降次的方法。“元”，指的是未知数，如：二元，就是指方程中含有两个未知数。“次”，指的是变量的次幂，如：二次，就是指方程中未知量次幂的最大值为2。通过消元和降次，要么使原方程变成只含一个未知量的方程，要么使原方程未知量的次数都变成一次，去掉平方项。从本质上来讲，消元和降次都是把复杂的、不易直接求解的方程转化成简单的、便于计算的方程，在此过程中就体现了化归思想。例如，方程次数较高的四次方程x4-5x2+4=0，用直接的方法无法求解，但是令x2=y 之后就可以实现降幂成为y2-5y+4=0，这样用一元二次方程的解法就可以解出结果。

（二）化归思想在式的运算中的体现

提起“式”，首先要说“数”，小学阶段学生已经熟练掌握数的四则运算，初中时，运算涉及倒数、相反数和绝对值等，而这些是学生新学习的，尚未完全纳入知识框架中的，此时就会给运算带来一定的困难。若把新获取的知识看作一个小整体，先处理小整体，再处理大整体，便会简化运算。简言之，初中阶段有理数的混合运算实际上是小学阶段简单运算的深化。再说“式”，“式”包括整式、分式以及根式。中学数学中，“式”处于基础但很重要的地位，尤其是数与式的运算，数学不只是运算，但运算在中学数学中却占据着相当重要的地位。六大核心素养中的数学运算素养，就是其重要性的最好体现。以整式为例，整式指的是数与字母的乘积，在进行运算时，都是将字母相同的项归为一类，并将其系数进行运算，“式”的运算实际上就是合并同类项的过程。无论是整式还是分式，或者是根式，都可以将其视为一个整体、视为数，在运算时，遵循数的运算法则即可。例如化简（7x3y2+3x2y3）-（5x3y2-6x2y3），将“式”看成数，根据四则运算的相关经验，从而达到简洁运算、融会贯通的效果。数和式的运算过程，本身就体现了化归思想。

（三）化归思想在函数求解中的体现

在数学函数常见问题中的基本型化归，包括一次函数、二次函数、正弦函数和正切函数等，这些函数往往有统一的标准形式，解决问题时往往也有万能公式。一般是通过换元法、分离参数法、数形结合法及导数法等基本方法，将我们原始的函数通过一系列变形，逐步转化为我们熟悉的基本型，从而利用之前的公式进行计算和解决。例如求三角函数的对称轴，可以通过令化为基本型y=sinz，当然可以通过图象进行求解，如下图1 所示。

（四）化归思想在解题方法中的体现

数形结合法是研究几何与代数问题的常用方法，它可以看作几何问题与代数问题之间的相互转化；数学模型法将实际问题通过建立模型转化为数学问题，从而便于解决问题；向量法就是把几何问题转化成为向量问题，再利用向量的定理和性质去解决；换元法将结构实际简单却难以观察出结构的方程、不等式、代数式等问题，通过换元转为结构清晰、易于解决的问题。这些方法都体现了化归思想，在实际解题过程中可以大大提高解题数形结合法速度。例如求解分段函数的定积分，通过画出如图2 的函数图之后可以看出此定积分的意义为两部分的面积之和，则可以得到

二、化归思想的类型

针对新问题进行转化，并不是无厘头盲目地进行，它一般是有迹可循的，往往有不同的转化方法与思路，化归思想主要分为如下三种类型。

（一）一般与特殊的相互转化

在数学考试题中，选择题或填空题部分往往有些可以使用特殊值法，不需要将完整的步骤列出，只需取几个特殊的点进行验证，便可得到答案，大大缩短了解题时间。在题目没有列出具体的表达式，只说明了通用的条件时，我们就可以把一般的条件具体化，通过取熟悉、简单但符合一般条件的特殊值（特殊点、特殊数列、特殊函数等），以达到简化运算，提高准确率的目的。将一般问题特殊化及将特殊问题一般化是化归思想进行转化的常用手段。例如在各项都是正数的等比数列｛an｝中，若a5a6=9，则对于表达式log3a1+log3a2+…+log3a10的求值，由题意等比数列中的等式可知a2=9，代入特殊值后可以求得其值为10。

（二）数形之间的转化

当我们看到代数式a2，会想到面积；看到a3，会联想到体积；看到a2+b2，会与勾股定理联系起来。在解决代数问题时，直接入手，难度有时会很大，且出错率很高，这时需分析方程、求解的问题能否转化为图形语言，从而简化思路，方便求解。例如实数x 和y 是满足条件二元二次方程4x2-y2-3xy=1，要求两个未知量的平方和x2+y2的最小值。直接从代数的角度去解决工作量会很大，这时需要引入变量m，将4x2-y2-3xy=1 分解因式（x-y）（4x+y）=1，再令 x-y=m，分别解出，将这两个表达式代入x2+y2中，运用不等式性质a2+b2≥2ab 代入式中解得。若能分析出该二元二次方程实际上是圆的方程展开化简后的式子，未知量的平方和实际就是圆上的点到坐标原点的距离的平方的话，则通过画图能直观看出圆的位置及动点到原点距离大小的关系，如图3所示，从而简化思维、简化运算，提高做题速度。数与形之间的结合与转化是化归思想的一个重要方面。

（三）主次转化

一般解含参数的不等式时，我们往往将x 看作自变量，将其他未知量看作参数。若已知参数范围，求让不等式恒成立的自变量的范围时，正面求解一般是难以入手的，即便是分类讨论也会存在很多问题，计算上也会有较大难度。此时我们可以将主与次进行转化，将已知范围的量看作自变量，可能是m 或者t，将需求解的未知量看作参数，往往是用x 进行表示的，这里需要对自变量有更深的认识，跳出字母的限制，大胆尝试转化。例如已知参数 t＞1，求不等式 x2-（t+1）x+t＞0 恒成立的 x的范围，此时再进行（x-t）（x-1）＞0 这样的转化后，会大大减少原来不等式的运算量，即便还需要分类讨论，难度也会小很多，从而达到解决问题的目的。把不规范、复杂的问题转化为规范的、简单的问题，正是化归思想的基本思路。

三、化归思想的原则

我们利用化归思想解决问题时，形成一套固定的流程和操作性很强的步骤往往难以实现，因此，为了更好地把握化归的方向，我们必须遵守其自身的三个基本原则。

（一）简单化原则

简单化原则是指把原来困难问题的结构通过某种方法或手段，向容易解决的方向去发展。我们的目标仍然是解决之前的问题，化归成新的问题只是我们解决过程中的桥梁，若发现化归之后问题更加抽象、更加复杂，则应该反思化归方向是否出现问题，要及时止损，从别的切入点入手，重新寻找问题解决的思路。例如解决立体几何问题的一个重要策略就是将空间问题平面化，将三维问题降为二维问题后再解决。例如二元二次方程的求解，可以将y=1-x 代入x2-2xy-3y2=5 当中可以求出解x=2，y=-1。当然，如果要用数形结合的方法去解这道题目就比较复杂了，因为需要用到matlab 编程求解，画出如图4 的图形求交点。

具体的matlab 程序如下：

此时通过程序运算可以求出交点坐标为（2，-1），和代数方法解出的结果一样，但这已经超出了中学数学的学习范围，因此，化归思路若出现问题，要从其他切入点入手转化思路。

（二）具体化原则

具体化原则是指将抽象的题目或数量关系转化为直观、具体的表现形式，从而使题目中抽象度高的、不易察觉的关系变得具体而明确，便于解决问题。例如在函数部分常常使用数形结合的方法解决问题，这就是用图象或图形把抽象的式直观地表示出来。例如求椭圆x2+4y2=5 和抛物线x2+y=1 的交点，在用代数的方法和画图方法结合求出对称交点如图5，使运算速度和准确率大大提升。

（三）形式标准化原则

形式标准化原则指的是中学大多数知识都是关于标准形式的讨论，因此把待解决的问题转化成标准形式后再去计算，会较为容易。如在函数部分，解决问题时往往要转化成标准形式，再利用通式通法进行解决。再如在圆锥曲线部分，椭圆、双曲线及抛物线等的图象、性质等都是针对标准方程进行研究的。因此，在我们遇到非标准型问题时，首先要考虑通过某种手段或方法，是否能将待解决的问题转化为已知的标准型的形式，从而借助相关结论或定理去解决问题。例如讨论表示何种圆锥曲线，在分析题目时若为椭圆则具有标准形式，若为双曲线则具有标准形式，因此在分情况讨论时转化成对应的标准型即可求出。

四、结语

本文通过具体实例分析了化归思想在数学中的应用，我们要充分认识到化归思想的重要性和简洁性，提高对该思想的重视程度，但同时也要客观地认识它的局限性。当化归思维成为一种习惯并总结出固定的化归步骤后，往往会阻碍学生尝试用新方法解决问题，在一定程度上不利于学生创新思维的发展。因此，在培养学生化归意识的同时，要重视其他数学思想的训练，保持学生其他的数学思维和意识齐头并进，将各种思想方法灵活地结合在一起高效利用。