美英早期几何教科书中的轨迹应用

张佳淳 汪晓勤 (华东师范大学教师教育学院 200062)

1 引言

20世纪，欧洲数学家极力主张应该在数学领域中给予运动观点更突出的地位，因其作为学生相当熟悉的生活经验，其抽象化形成的数学概念可以帮助学生理解和欣赏数学．轨迹就是这类概念，例如，打开一本书或一扇门的过程蕴含各种轨迹．它将具体的生活经验理想化，使得学生能利用已有的几何知识，赋予几何图形在“量”上的精确性[1]．所以，轨迹概念与现实生活息息相关．

从历史上看，轨迹很早就被人们所认识．古希腊时期，数学家已经认识到可以利用轨迹来解决三等分角问题[2]，体现轨迹在数学学科内部的应用．在现行沪教版八年级数学教科书中，通过苹果自由落地、抛出的篮球、悬挂着的钟摆往返摆动等作为生活情境引入轨迹概念，也体现轨迹在现实生活的应用．

但在教科书的后续内容中，出现较多的是纯数学情境的习题，而轨迹在现实生活中的应用问题却是凤毛麟角．在已有的关于平面轨迹的教学案例中，个别HPM视角下的教学设计主要运用了古希腊时期的数学史材料[3-4]，几乎没有涉及有关轨迹应用的数学史素材．究其原因，适用于课堂教学的历史素材极为匮乏，造成“巧妇难为无米之炊”的现状．

数学与人类其他知识领域之间的联系、数学的社会角色、数学美等是基于数学史的数学文化的重要内涵[5]，因此，在提倡将数学文化融入数学课堂教学的今天，对数学主题背后的历史文化素材进行挖掘和整理，是教学实践的必然需求．鉴于此，我们选取19世纪至20世纪出版的89种美英几何教科书进行考察，试图回答以下问题：轨迹概念在数学和现实生活中有哪些方面的应用？轨迹概念有什么教育功能？我们从中能获得什么教学启示？

2 早期教科书的选取

本文从有关数据库中选取89种19世纪至20世纪美、英几何教科书作为研究对象，其中72种出版于美国，17种出版于英国．以20年为一个时间段，教科书的时间分布情况如图1所示．

图1 89种教科书的时间分布

分别从数学内部和外部两方面考察轨迹的应用，关注圆、直线等可用轨迹思想作出的基本图形的应用，从中提取早期教科书关于轨迹思想及相关应用的素材．

3 数学内部的应用

在早期教科书中，关于轨迹在数学学科内部的应用主要在于构造三角形、圆等基本图形．

例1已知底，且三角形顶点到底边的垂直距离和两边之比给定，如何构造三角形？[6]

构造过程包括两种轨迹：一是由于三角形顶点到底边的垂直距离固定，所以三角形顶点的轨迹是与底边平行的直线；二是与两给定点距离之比固定的点的轨迹是直线或圆，再由交轨法最终确定三角形顶点所在位置，从而完成三角形的构造．

例2如图2，若给定弦AB，且已知弦AB与该圆一条切线所成角的大小等于角C，如何构造圆？[7]

图2 构造圆的条件(左)与过程(右)

构造过程也包括两种轨迹，首先，令DH=AB，过弦的一个端点H，作弦切角DHN等于给定角C，从而确定切线所在位置，再过点H作PH⊥HN，则已知切点和切线位置的圆的圆心的轨迹，是过切点与切线垂直的直线PH．其次，DH为弦，则通过两定点的圆心的轨迹，是弦的垂直平分线，其与PH的交点T就是圆心所在位置．

4 数学外部的应用

4.1 生产技术上的应用

轨迹思想及定理在生产技术上的应用主要有两方面的例子．第一，体现在职业技术工人利用轨迹思想，将平面几何作图法应用于实际工作中．

例3检验是否为半圆的工具．

例如，Slaught和Lennes在圆周角定理相关内容之后，设计了“轨迹问题”(problems on loci)专题练习，其中包括如下一题：在制作芯盒时，制模师使用如图3所示的直角工具来测试芯盒是否为真正的半圆．这种方法正确吗？请证明．[8]

图3 直角工具

5种教科书提及木匠利用底边给定的直角三角形顶点所成轨迹为圆的原理，来确定铸件的曲线是否为完美的半圆．而这一问题也出现在人教版九年级上册数学教科书中，作为第24.1.4节“圆周角定理”的课后习题，所以这一检测工件早在19世纪就为人们所使用．

例4画弧的工具．

图4 角架

将直角工具中三角形顶角的角度从直角推广到更一般的情况，固定成一定角度的两块木板则可以用来画任意的弧．如图4，将两个销钉A和B固定在地面上，其距离AB不得大于角架ACB的两边之和．底边AB保持不变，将角架的棱角C移动一圈，移动过程中保持角架两边CA,CB紧靠销钉，则在点C处用笔即可画出圆弧[9]．这种不利用圆心和半径作图的方法具有便利性，且不会在圆心处留下一个孔洞，破坏制品的美感与使用，因此常用来在金属锅或光学玻璃上画圆、圆弧，也用于在地图上标出经纬线．

例5画平行线的工具．

图5 量规

除了画圆，木匠们还用一种叫做量规(gauge)的工具来画一条与木板边缘平行的直线．如图5，量规由两个互相垂直的结构组成，结构A所代表的木杆上有一个标记点P，在A结构上套着另一部件B，部件B可以根据需要用螺钉调整其与点P的距离．画图时，将量规的部件B放在木板的边缘，移动量规，则点P所成的标记线与木板边缘平行[10]．其中涉及的原理是与一条定直线距离相等的点的轨迹是与定直线平行的直线．

轨迹在生产技术上的另一方面的应用体现在车辆工程的制造中．

例6车辆工程制造．

图6 火车车轮上的平行连杆

使得火车、自行车等交通工具的主动轮与相邻轮连接起来且同步转动的方法体现了轨迹定理[11]．如图6，AA′O′O是一个所有边长固定且边OO′位置固定的平行四边形，则另外两个顶点A,A′的轨迹是分别以O,O′为圆心的等圆．上述原理表明，制造一根横杆AA′，长度等于OO′，在点A,A′处与绕固定点O,O′转动的等长杆子OA,O′A′连接，就可以使车轮同步转动起来．

4.2 建筑工程上的应用

1912年，美国几何大纲“十五人委员会”在其报告中指出，工业设计和建筑装饰充满了细节，这些细节可以作为几何问题的来源，且问题可分为三种：(1)图形本身的构造问题；(2)证明题；(3)计算题[1]．而Palmer等指出，在平面几何中研究轨迹的最大意义是可以通过轨迹实现成像和构造图形，而不是研究轨迹定理的证明[12]．考察早期几何教科书可以发现，利用轨迹构造图形早就是建筑本身及其装饰图案的一种设计方法．

例7设计装饰图形．

涉及几何装饰的工业产品包括瓷砖、地板、装饰画、门、窗等．最常见的是通过组合圆、圆弧型等轨迹形成装饰图案．第一类是以等边三角形为基础的圆弧型轨迹的组合．如图7，弧AB,AC和BC是分别以等边三角形的三个顶点C,B,A为圆心的弧，弧ADFC,BDEC和AEFB是半圆，每个半圆又与弧AB,AC和BC中的两段弧相切[10]．这一图形常作为装饰教堂窗户的图案，例如图8为芝加哥第四长老会教堂(Fourth Presbyterian Church)的窗户图案[8]．

图7 圆弧型轨 图8 芝加哥第四长老会 迹的组合教堂窗户图案

第二类是以等边三角形为基础的圆与圆弧型轨迹的组合．如图9，弧AC,BC是分别以等边三角形的顶点B,A为圆心的弧，CD为三角形的高，则图形ABC称为等边拱．类似地，以AD和BD为底，画出等边弓形AED和DFB．圆O是与弧AC,CB,ED,FD都相切的圆[1]．同时，这个图形中还包含以下轨迹命题：

(1)与弧CA和CB相切的所有圆的圆心轨迹，是线段CD(端点C除外)；

(2)与弧ED和DF相切的所有圆的圆心轨迹，是线段CD上的线段HD(端点D除外，点H是过点E垂直于ED的直线与CD的交点)；

图9 圆与圆弧型 图10 芝加哥联合 轨迹的组合公园教堂的门上图案

这一图形曾出现在芝加哥联合公园教堂的门上(图10)，类似的图案亦出现在英国林肯大教堂中(图11)．

图11 英国林肯大教堂的装饰图案

第三类是以正方形为基础的圆与圆弧型轨迹的组合．这一类型结构经常出现在瓷砖、地板的设计中(图12)，在正方形ABCD中，共包含有6个存在相切关系的半圆，这一结构也曾出现在罗马镶嵌画中(图13)[8]．

图12 以正方形为基础 图13 罗马镶嵌画 的轨迹组合1

更复杂的图案如图14，左图为基本图形，右图为根据左图镶嵌形成的地板图案．由于整个图形具有对称性，只需研究以HS为边的小正方形中圆与圆弧型轨迹的组合方式．圆N与小正方形的边SH相切．弧ORQ和OKL是分别以小正方形的顶点S,H为圆心、边HS的一半为半径的弧．最后，再以LN和NQ为直径画半圆LMN和NPQ[1]．

图14 以正方形为基础的轨迹组合2

图15 以正方形为基础的轨迹组合3

第四类是以正方形为基础的圆型轨迹的组合．如 图15，以正方形对称中心为圆心，有一大一小的同心圆，大圆与正方形各边相切，有一系列小圆与两同心圆相切，同时每一个小圆与相邻的小圆相切[13]．

例8设计建筑物．

直线型与圆(弧)型轨迹的组合图形常作为建筑物本身的一部分，例如威尼斯总督宫以及米兰马焦雷医院(Ospedale Maggiore)的墙体构造[8]，都是在两条平行线之间构造圆、半圆和等边拱(图16、 图17)．根据图16，可以提出轨迹问题：求与直线CD和等边拱相切的圆的圆心轨迹．

图16 威尼斯总督宫

图17 米兰马焦雷医院

若两平行线与水平线垂直，则此类直线型与圆弧型轨迹的组合常常构成典型的拱券．Strader和Rhoads提及拱券半径的长度和圆心的位置取决于轨迹问题中所学到的事实[14]．最简单的拱券如图18所示，顶部是一个半圆．第二种常用拱券又称“四心拱”，如图19，先确定两等圆A,B的圆心，再确定两个小的等圆C,D的圆心，弧EG,GF,HE,FI围成拱券的顶部．其他拱券诸如圆弧形拱、半圆形或罗马拱、马蹄形拱、葱形拱等见图20．

图18 简单拱 图19 四心拱

图20 各类拱券

在凯撒统治时期建造的古罗马高架渠融合了上述两种设计类型，强调最大的强度和最小的用料，是罗马人在工程建筑方面的杰作．如图21，桥高180英尺，由三层罗马拱组成．由下到上，分别由6个、11个、35个石拱组成．第二层石拱宽度均为75英尺，最底层中除了一个石拱的宽为75英尺，其他石拱的宽均为60英尺[14]．

图21 古罗马高架渠

4.3 日常生活中的应用

在早期教科书中，有不少融入生活情境的轨迹问题，充分反映了轨迹概念在日常生活中的应用．

例9简单的生活问题．

表1汇总了可以转化为常见轨迹的若干轨迹问题，其中不仅有平面轨迹问题，也包含简单的空间轨迹问题．

还有教科书提出需要利用交轨法解决的轨迹问题，如例10、例11．

例10如果有两个发光点，它们可照亮的最远点所成的轨迹是以发光点为圆心、半径分别为3和4的圆，求在它们所在的平面上可以同时被两个发光点照亮的点的轨迹．

Bush提出一个体现趣味性的“海盗藏宝问题”[15]，其中共有7处宝藏，分别对应如下7个轨迹问题．

例11(海盗藏宝问题)假设《海盗图》(书中未呈现)对海盗埋藏宝藏的位置作了如下描述，请你在图中画图，使给定的线为实线，轨迹为虚线．

(1)第一处宝藏距离一棵橡树半英里，同时距离一棵栗树四分之三英里．

问：什么时候有两个可能的地点？什么时候没有？

(2)第二处宝藏距离一个半径一英里的圆形池塘岸边四分之一英里，同时距离一个相邻的笔直的海滩有半英里．

表1 融入生活情境的轨迹问题

问：什么时候会有8个这样的地点？

(3)第三处宝藏与橡树和栗树的距离相等，同时离邻近的一个半径是四分之一英里的圆形池塘的岸边也有1.5英里远．

问：什么时候会有4个这样的地点？

(4)第四处宝藏与收费公路和山谷公路等距，同时也与橡树和栗树等距．

(5)以收费公路的收费站点为原点，第五处宝藏位于与收费公路所在直线的正方向成60°的直线上，同时穿过橡树；并且与收费公路所在直线的负方向成45°的直线上，同时穿过栗树．假设这些树(a)在收费公路上，(b)远离公路．

(6)第六处宝藏是在学校的收费公路上；也在一条穿过橡树且平行于山路的路上．

(7)第七处宝藏在穿过橡树且与橡树、栗树所成线段垂直的直线上，同时离橡树有一英里．

除此之外，Betz和Webb试图让学生进行问题提出．

例12问题提出[16]：(1)打开一本书或一扇门会给你什么轨迹问题？如果换成一个秋千？钟摆？发动机的调速器？一个时钟？

(2)针对如图22所示的“锯齿形”屋顶，你能提出什么轨迹问题？

图22 “锯齿形”屋顶

(3)什么是交轨法？请你自己编一个问题，使得这个问题的答案是由两个相交的轨迹找到的．

5 关注几何应用的动因

在长达两个世纪的时间里，教科书始终不易地关注轨迹的应用，或者说平面几何的应用．从数学内部而言，轨迹反映了现代几何学尺规作图的思想和方法．从数学外部而言，表明人们对几何实际应用的关注程度之高．20世纪初，西方数学教育领域的培利运动倡导中学几何课程教材摆脱《几何原本》的束缚，重视几何学的实际应用．德国数学家F·克莱因(F.Klein,1849—1925)主张数学课程应注重几何运动和几何直观的重要性．美国几何大纲“十五人委员会”在其报告中追求几何思维训练价值和实用价值的平衡[1]．

总之，关注几何实际应用是中学几何教育的形式与理念的改革结果，是完善数学作为一门研究现实世界中的空间形式与数量关系的科学的认识．

6 结论与启示

以上我们看到，19世纪至20世纪的人们已经意识到，轨迹概念在数学学科内部与外部的应用都切实有效．学科外部的应用体现轨迹与日常生产、生活中的众多现象密切相关，涉及生产技术、建筑工程、生活经验等领域．从美英早期几何教科书中梳理得到的数学史料中可以看出，轨迹应用的数学史料蕴含多元的教育价值，对今日教学有诸多启示．

其一，早期教科书中的轨迹应用，体现了不同时空、地域的人们对轨迹概念价值的高度认可，体现了轨迹的社会角色以及在审美娱乐方面的表现．所以，与轨迹应用相关的数学史可以充分展示文化之魅．教师可以直接采用或借鉴改编史料，利用基于数学史料的数学问题营造探究之乐；探究过程有助于培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象等素养，实现能力之助；还可以设置数学教学任务，让学生利用生活经历编制与轨迹相关的数学问题．在学生解答轨迹问题的过程中，需要综合运用勾股定理、垂直平分线、角平分线、圆周角定理、圆与切线、尺规作图等知识和技能，几乎囊括中学几何课程的半壁江山，促成中学几何的知识体系的完善与丰满，构建知识之诣．

其二，轨迹的应用反映了数学与现实生活、科学技术、人文艺术的关系，说明数学在社会生活、娱乐生活、职业生活中的不可或缺．所以轨迹应用是培养学生用数学的眼光观察世界的绝佳的教学课题，教师可以让学生进行数学写作，启发学生思考数学外部的轨迹甚至人生的轨迹，揭示数学背后的人文精神．教师还可以让学生利用轨迹进行艺术畅想，利用轨迹绘制人物卡通画像、建筑装饰图形、雕塑等，并说明其中所用的轨迹图形，向学生传递数学的人文价值，彰显数学文化的德育之效．