新版教材体系下独立事件的再认识

吴明德 (江苏省泰兴市第一高级中学 225400)

新版苏教版高中数学教材先讲独立事件后讲条件概率，改变了旧教材中演绎推理给出定义的方式，在逻辑上是不顺的；改用举例归纳的方法给出独立事件的定义，学生不易理解和掌握，在教学上是有挑战的.这些改变，需要我们认真应对.

1 多举实例增加感性认识

苏教版新教材必修2中通过具体事例这样给出随机事件A与B相互独立的定义：对于两个随机事件A与B，如果P(AB)=P(A)P(B)，那么称事件A，B为相互独立事件.人教版由积事件的概率给出定义，侧重于事件的相互独立性是特殊的事件关系，抽象程度高；苏教版则降低抽象度，增加了一种直观判断方法，即分别计算事件A发生、不发生时事件B的概率，若相等就独立，若不相等就不独立.

需要指出的是，既然事件的独立性是概率下的等式判断，因而这种独立性更准确的名称应该是“概率独立性”，不能把事件间没有影响或事件的结果没有影响等同于概率没有影响.凭生活经验，学生可以判断一些简单事件的独立性，在直观理解无法判断事件的独立性时，定义中的概率等式就需担当大任了，相对于定义的等式判断，直觉判断的有效性显然是很弱的，有时甚至是错误的.

总体来说，将独立事件提到条件概率之前讲授，由于缺少表象的支撑，直观感知少，学生的可接受程度相对较低.我们专门做过调查，在2 512名四星级高中高一学生中，表示自己完全认可独立性定义、感觉自己深刻理解概念的人不足50%，在2 371名普通高中高一学生中这一比例更低，只有29%.相较而言，定义的必要性好理解一些，而定义的充分性则不太容易接受.

反思教学过程，我们不能因循守旧，只抱怨教材的改变，更不应期望等学习了条件概率后串联起新旧知识，化解学生的困惑.正确的做法是要重视相互独立事件的概念教学，适当增加实例情境让学生加深感受，突出独立事件的概率等式，加深概念的理解.

2 对“事件的独立性具有相互性”的解读

首先，由独立性的定义，显然可得到A与B独立，即为B与A独立.下面，我们从条件概率的角度再次对事件独立的相互性进行解读.设A与B是两个随机事件，直觉上事件A的发生对事件B发生的概率没有影响，叫做概率意义下事件B对事件A独立.设P(A)>0，若P(B|A)≠P(B)，则事件A的发生对事件B发生的概率是有影响的，即B对A不独立.只有P(B|A)=P(B)时，B对A才独立.

显然，P(A)=0或P(B)=0时上述推导过程不成立，为不失一般性，承认A对B独立⟺B对A独立是有难度的，但此时事件A与B满足P(AB)=P(A)P(B)却是显而易见的，这也正好说明新教材直接用积事件的概率来定义独立性的优势.

3 透过条件概率看独立事件

乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)普遍有，而独立事件却难得有.在学习了条件概率后，可以对独立事件的定义给出自然、合理的解释，同时也提供了让学生自主探究的素材，教学时应加以重视.

在P(A)>0的条件下，不难得到：P(AB)=P(A)P(B)⟺P(B|A)=P(B).

简证如下：

P(AB)=P(A)P(B).

4 灵活判断事件的独立性

下面对2021年高考卷中的一道概率小题略作剖析.

例(2021全国新高考I卷第8题)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( ).

A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立

C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立