“井”字形双驱龙门模型参考自适应控制*

万云飞，陈思鲁，张 勇，张 驰，杨桂林

(1.西南交通大学a.机械工程学院；b.超导与新能源研究开发中心磁浮技术与磁浮列车教育部重点实验室，成都 610031；2.中国科学院宁波材料技术与工程研究所浙江省机器人与智能制造装备技术重点实验室，宁波 315201)

0 引言

精密制造业是国家先进科学技术发展水平的体现。随着国内高端制造业的发展，双驱动龙门，作为一种平面X-Y定位系统，因其行程长、速度快等优点，越来越多地被应用到诸如计算机数控机床[1]、宏微操作[2]和集成电路加工[3]等精密制造场景中。

双驱龙门的横梁通常由两个平行布置的直线电机冗余驱动[4-5]；因而相较于传统的单边驱动龙门,可以提供更快的响应速度以及更大的推力。一般来说，沿X轴方向的两个平行直线电机的动子通过与其正交的横梁连接，沿Y轴方向的直线电机叠加在该横梁上，形成H型结构。这种堆叠式设计引入了累积误差，并且使得X轴的运动必须负载Y轴电机的质量，大大降低了电机功率的利用效率。为了克服这些问题，KAMALDIN等[6]提出了X-Y运动解耦的龙门构型。但是，Y轴的电机仍然由单边直线电机驱动，其运动刚度仍然较低。这导致Y轴控制带宽较低，不利于全局高速高精度运动控制。另一方面，在龙门系统中，沿X轴的两个平行电机通常与横梁刚性连接[7]。对于这种过约束的并联机构，良好的同步性能必须得到保证。否则，两轴会相互拉扯，产生较大的轴间耦合力，导致导轨轴承滑动部分磨损过大，甚至整体机械结构的破坏[3]。然而，作为龙门系统高速高精运动控制中一个普遍存在的问题，两台平行电机的同步性能易受到由末端工作头运动引起的非对称负载的影响[8]。因此，要实现高精度的轨迹跟踪和长期可靠运行，改善双驱龙门的构型设计，并开发相应的先进同步控制策略[9-13]是必要的。

这种冗余驱动系统的早期同步运动控制方案可以分为三种典型类型[14]。第一种类型是同步主主控制策略[15]，在该方法中每个电机都有一个独立于其它轴的本地控制回路,但接收相同的参考信号；通过将两平行轴的运动控制器调整为相同带宽和跟踪误差特性，被动地实现双轴的同步。第二种类型称为同步“主从”控制策略[16]；在该方案中，从电机接收主电机的位置反馈作为参考指令，以实现跟随同步性能。这两种方法都有固有的性能限制。由于反馈信息的不共享，一个轴的扰动很难被另一个轴补偿[17]。为了克服这一缺陷,出现了一种被称为“交叉耦合”控制的第三种同步控制策略[18]。该方法通过设计特定的补偿器来修改参考位置和速度命令来减小两个平行电机之间的差动定位误差。然而,由末端工作头引入的非对称负载被视为一种外部扰动,因此不能得到很好的补偿。

因此，本文介绍了一种X-Y双边冗余驱动的“井”字形双驱龙门，相较于传统的H型双驱龙门，它的结构刚度大大提升。对其进行了运动学分析，得到了同步误差对末端工作头位置的影响。通过考虑导轨的支撑柔性，将这种冗余驱动结构，建模为四输入四输出的完全驱动系统。设计了由“基于模型的自适应前馈+鲁棒反馈”的二元控制策略，用于实时补偿由工作头运动引起的非对称负载，并利用李亚普诺夫理论证明了其稳定性。在实际龙门平台上的实时实验，验证了所提出方法的有效性。

1 运动学分析

如图1所示，本文所研究的“井”字形双驱龙门主要由工作头、横梁X、横梁Y三个活动构件组成。

图1 井字形双驱龙门实物

横梁X和Y都由两台平行布置的直线电机冗余驱动， 这为平台的直线运动提供了更高的刚度。 直线电机的动子与横梁是刚性连接的，这允许电机能够容忍高频的控制信号；相较于柔性连接，这提供了更高的控制带宽。四台直线电机的定子都固定在大理石台面上，相较于传统的堆叠式结构，这大大减轻了移动构件的质量，更有利于高速高加速度阶段的控制，同时也提高了电能的利用效率。每台直线电机都由固定在大理石台面上的导轨负责支撑和导向，这提供了解耦的X-Y运动，有效地避免了累计误差。

图2 井字形双驱龙门运动学分析

四台直线电机动子的位移可分别由光栅位移传感器测得，将其记为p=(x1,x2,y1,y2)。在实际运行中，由于两边平行电机的动态特性存在差异，它们之间的位移会有同步误差。因此，横梁会产生微小的转角，如图2所示。

横梁X的运动可由质心的位移x和绕质心的转角φ1描述；横梁Y的运动可由质心的位移y和绕质心的转角φ2描述。考虑到横梁X与工作头的连接刚度远远大于横梁Y，可以认为工作头的转角等于横梁X的转角φ1；工作头的质心位置(xh,yh)取决于横梁X与横梁Y的交点；一旦横梁X与横梁Y的位姿确定，那么工作头的位姿也就随之确定。通过以上分析得，系统的运动状态可由广义坐标q=(x,y,φ1,φ2)完全描述。

横梁的结构是对称的，其质心在几何中心；转角是微小的，近似等于其正切值。由此可以得广义义坐标q与光栅反馈p之间的关系：

(1)

式中，lx为横梁X的长度；ly为横梁Y的长度。

(2)

yh-y=φ2xh

(3)

联立式(2)、式(3)，得：

(4)

由式(4)可知，工作头的位置主要由横梁的质心位置决定，同时受到转角的影响。为了精确的实现工作头的参考轨迹(xh,yh)，我们期望横梁质心的位置x、y能够跟踪参考轨迹xd,yd，同时转角φ1=φ2=0(等价于同步误差为0)；也就是说，广义坐标的理想轨迹qd=(xd,yd,0,0)。控制目标是使系统运动状态q能够跟踪理想轨迹qd。

2 动力学建模

根据图1，分析龙门的构型可知，当末端工作头不处于横梁中间位置时，其在加减速过程中产生的惯性力，对横梁两边两平行直线电机作用的力臂不同。因此造成两边平行直线电机的非对称负载，对同步控制性能产生不利影响。仅从纯运动学角度分析无法解释非对称负载产生的轴间耦合，应当建立系统的动力学方程，并用于指导控制器设计，补偿这种耦合效应。

2.1 动力学方程推导

根据CHEN等[18]的研究，导轨与横梁连接轴承中的滚珠相对于其它构件刚度较低，可以将其等效成均布刚度的弹簧。横梁两边对称的均布刚度弹簧在其扭转过程中产生的转矩近似与转角成正比，作用效果相当于一个扭转弹簧[16]。

图3 动力学模型示意图

图3给出了井字形双驱龙门动力学模型的示意图。图中mx为横梁X的质量；Jx为横梁X绕其质心的转动惯量；my为横梁Y的质量；Jy为横梁Y绕其质心的转动惯量；mh为工作头的质量；Jh为工作头绕其质心的转动惯量；K1为横梁X与导轨间轴承滚珠的等效扭转刚度；K2为横梁Y与导轨间轴承滚珠的等效扭转刚度；K3为工作头处轴承滚珠的等效扭转刚度；其单位均采用国际单位。

井字形龙门在运动过程中的势能U包括横梁X与导轨轴承滚珠等效扭转弹簧的弹性势能，横梁Y与导轨轴承滚珠等效扭转弹簧的弹性势能和工作头处等效扭转弹簧的弹性势能3个部分，具体表示为：

(5)

系统的动能E包括横梁X、横梁Y和工作头三个活动构件的动能，具体表示为：

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

2.2 广义力及推力分配

系统的受力分析如图3所示，图中F*表示*轴直线电机的推力，r*表示*轴导轨的摩擦力。根据虚功原理可以求得系统的广义力矩阵：

(11)

电机的推力F=[Fx1,Fx2,Fy1,Fy2]T，它和系统的控制输入有关。导轨的摩擦力由Tusin模型给出：

(12)

(13)

(14)

(15)

式中，bxs=bx1+bx2；bxd=bx1-bx2；bys=by1+by2；byd=by1-by2，这是为了表示简便。τ∈R4为输入力矩，它和电机推力之间的关系为：

τx=Fx1+Fx2,
τy=Fy1+Fy2,
τφ1=(Fx2-Fx1)(lx/2),
τφ2=(Fy2-Fy1)(ly/2)

(16)

综上所述，联立式(7)、式(13)，井字形龙门系统的完整动力学方程可表达为：

(17)

由上式可知，通过考虑导轨的支撑柔性，可将冗余驱动的龙门系统建模为四输入四输出的完全驱动系统。

3 模型参考自适应控制算法

对于给定的双驱龙门系统，如果其动力学模型是准确的，且参数是确定已知的，那么要想其跟踪一个指定的轨迹，一个直观的想法就是将该轨迹代入到动力学方程中，即可计算得出所需的控制力矩。这种直观的想法有以下不足：一方面，龙门平台在运动过程中不可避免的会受到外部环境的干扰，直接计算得出的力矩无法处理这种干扰，因此外部扰动会造成不可逆的跟踪误差；另一方面，精确的系统辨识是耗时且费力，因此模型参数常常是未知的，甚至某些参数是时变的。因此，所采用的控制算法必须能够处理外部扰动和模型参数不确定性。

3.1 控制律

跟踪误差定义为：

e1=qd-q

(18)

为了给控制律提供必要的反馈信息，组合误差(位置误差和跟踪误差的组合)定义为：

(19)

动力学模型可写为如下的参数线性化形式：

(20)

θ=[mx,my,mh,Jx+Jh,Jy,K1+K3,K3,K2+K3,
bxs,bxd,bx,bys,byd,by,ax1,ax2,ax,ay1,ay2,ay]T

(21)

(22)

(23)

式中，KD为正定对角阵。

图4 模型参考自适应控制流程图

3.2 稳定性分析

下面给出基于李亚普诺夫理论的稳定性分析。构造李亚普诺夫函数：

(24)

(25)

(26)

(27)

误差收敛于0，这说明系统是渐进稳定的。

4 实验测试

4.1 实验平台搭建

实验平台的搭建如图5所示。四台直线电机分别由四台型号为G-OBO6的Elmo驱动器驱动。电机动子位置信号由光栅位移传感器测得，并反馈到dSPCAE MicroLabBox实时控制器。参考轨迹和控制算法在MATLAB/Simulink中编程实现，并进行编译，然后在dSPACE ControlDesk软件中加载此文件，并基于此设计上位机实时交互式界面；由此界面实现对龙门系统的实时控制。上位机通过Ethernet协议与dSPCAE MicroLabBox控制器进行信息交互。控制信号由dSPCAE MicroLabBox负责硬件实现，并将控制电压信号发送给驱动器。驱动器中的电流环参数经过很好的调整，其动态可以忽略。直线电机力常数为100 N/A，驱动器数模转换增益D/AC gain设置为1 V/A，光栅位移传感器精度100 nm，Simulink程序采样时间设置为10-4s。各轴的速度信号由位置信号的微分获得。

图5 实验平台搭建

4.2 实验结果

为了验证所提出控制器的性能，将理想轨迹设置为xd=0.05(1-e-0.15t)cos(0.2πt) m，yd=0.05(1-e-0.15t)sin(0.2πt) m，并设置了如下实验组：

C2：所提出的模型参考自适应控制方法(model-based adaptive control)，以下简称MBAC。其中广义坐标下的控制输入由式(23)给出，并由式(16)分配给各轴电机。控制器参数设置为Γ=100I(I为单位阵)，KD=diag{6000,5000,1500,1250}，Λ=diag{666,600,666,600}。

两个实验组的跟踪误差与同步误差如图6所示。由于MBAC中的基于模型的前馈很好的补偿了由工作头引起的非对称负载，X轴和Y轴的同步误差都得到了明显减小，这对实现末端工作的精确位置是十分有利的，并且大大减小了导轨滚珠轴承的磨损，减小龙门机械结构的变形，增强了长期运行的可靠性。与此同时，基于模型的前馈为控制器注入了一定的受控对象的先验知识，并且很好的计算了龙门平台在加减速过程中所需要的控制输入力矩，从而使得龙门平台在运行过程中的跟踪误差峰值大大降低，提高了两轴的轨迹跟踪性能。

图6 稳态跟踪误差

两种控制方法在实验过程中所需要的电机推力如图7所示。由于跟踪同一参考轨迹，所以PID和MBAC所采用的电机推力大致是类似的；但是MBAC中电机推力的细小波动提供了更精细的实时调整。这是由于MBAC中的前馈参数是由基于跟踪误差的梯度自适应律实时更新的，这增强了控制器处理模型参数不确定性的能力，从而进一步的提高了控制精度。对于传统的鲁棒控制方法，如滑模控制，控制精度的提高往往意味着控制量的增加和控制信号的抖振加剧。然而，MBAC虽然提高了控制精度，但是控制量和控制信号的抖振程度却没有明显增加(在x1轴还有所减小)，这是因为MBAC中的自适应前馈控制很好地计算了龙门平台在运行过程中所需要的推力输入，从而减轻了鲁棒反馈控制的负担。这更彰显了MBAC相较于传统鲁棒控制方法的优越性。

图7 电机推力

5 结论

通过考虑导轨的支撑柔性，可将双边冗余驱动的井字形龙门结构建模为四输入四输出的完全驱动系统。利用拉格朗日方法，可推导出其动力学方程。 基于此动力学模型，可以设计模型参考自适应控制算法；基于李亚普诺夫理论的分析证明了该方法的稳定性。在实验平台上的测试结果表明：基于模型的自适应前馈控制为控制器注入了一定的受控对象的先验知识，能主动补偿由末端工作头引起的非对称负载，从而减轻了反馈控制的负担；相较于仅有反馈控制机制、被动实现同步的的主从PID方法，所提出的模型参考自适应控制方法轨迹跟踪误差和同步误差更小，并且没有增加电机推力负担。这意味着所开发的控制算法，在相似的功耗下，进一步挖掘了龙门系统的硬件性能，有效提高了其精确定位能力。