函数“等值问题”变式探究

江苏省海门中学 (226100) 张 婕

函数“等值问题”是指“已知函数在多个自变量处的的函数值相等，这些自变量称之为‘等值点’，求关于等值点的某个代数式的值、最值、范围或参数的取值范围等”的一类问题.函数“等值问题”在近年高考或各地模拟试题中高频出现，往往处于数学试卷客观压轴题的位置，利用函数的图象直观可使问题的解决明朗化，所以也是培养和形成直观想象数学核心素养的良好载体.

1、试题重现

已知函数y=|x2-2x-1|的图象与直线y=m(m∈R)有四个交点，且这四个交点的横坐标分别为a,b,c,d满足a

2、解法探析

设f(x)=|x2-2x-1|，将已知条件“函数y=|x2-2x-1|的图象与直线y=m(m∈R)有四个交点，且这四个交点的横坐标分别为a,b,c,d”，进行转译为f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=m，是典型的函数“等值问题”.作出函数y=|x2-2x-1|的图象与直线y=m，利用函数图象的对称性求得a+b+c+d的值，利用求根公式用变量m表示出函数2(d-a)+(c-b)，然后利用导数研究函数的单调性解得2(d-a)+(c-b)的最大值.

图1

解：在同一直角坐标系内作出函数y=|x2-2x-1|的图象与直线，如图1.

函数“等值问题”是一类函数零点或方程的根等问题的延伸，借助函数图象，数形结合解答问题，考查数学抽象、直观想象及逻辑推理等数学核心素养在解题中的应用，多数情况下承载着高考函数客观压轴题的重任，比如，2020年高考数学天津卷选择题压轴题第9题就是一个典型例子：

求解函数“等值问题”的基本思路是：分析题意，从中挖掘出函数的奇偶性、单调性、对称性及不变性等性质，结合函数式的特点及函数的相关性质，作出函数的图象，数形结合有效快速地解答问题.

3.试题变式

若改变一下母题第二个空的问题，将求“2(d-a)+(c-b)的最大值”变为求“2(d-a)+(c-b)的取值范围”，可有：

变式1 已知函数y=|x2-2x-1|的图象与直线y=m(m∈R)有四个交点，且这四个交点的横坐标分别为a,b,c,d满足a

若改变母题中的解析式，将母题中分段函数的两段分别是“分式型”解析式和“二次函数型”解析式，求关于“等值点”的代数式的值，可有：

图2

若改变母题中的解析式，将母题中分段函数的两段分别是“指数型”解析式和“一次函数型”解析式，求关于“等值点”的代数式的取值范围，可有：

A.(0,1) B.(1,2) C.(2,4) D.(4,6)

图3

由图3可知-20，所以由|2x2-1|=m，得2x2-1=m.从而得2x1+2x2=2.又由图3可知1

若改变母题中的解析式，将母题中分段函数的两段分别是“对数型”解析式和“二次函数型”解析式，求关于“等值点”的代数式的最值，可有：

图4

若进一步改变母题中的解析式，将母题中分段函数的两段分别是“对数型”解析式和“三角函数型”解析式，分别求关于“等值点”的代数式值和取值范围，可有：

图5

解析：设f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)=t，在同一直角坐标系内作出函数f(x)的图象与直线y=t，如图5，则由题意可知直线0