晶体相场法研究不同初始缺口微裂纹高温下的扩展连通

王 进 马文婧 吕美妮 李冬德 汪嘉成

（1．广西机器视觉与智能控制重点实验室，广西 梧州 543002；2．梧州学院电子与信息工程学院，广西 梧州 543002）

0 引言

已有研究者对金属微互连结构界面微裂纹扩展导致断裂这一决定金属微互连结构服役性能的重要因素进行了大量的研究，但是已有的研究者大多从宏观规律出发研究裂纹断裂现象，随着对微裂纹扩展研究的深入，研究者们发现裂纹扩展在微观纳米尺度就已经开始。虽然已有大量试验研究微裂纹的形核与扩展生长，但是受到试验条件的影响，很难在目前试验条件下进行详细的跟踪研究。因此，借助计算模拟的方法对微裂纹扩展连通进行研究显得尤为重要。Gao等人通过晶体相场模型研究了材料中裂纹扩展行为；Lu等人研究发现单轴拉伸应力下同取向角对微裂纹的扩展行为影响较大。该文采用基于经典密度泛函理论的晶体相场方法研究金属微互连结构界面不同初始缺口区域形貌微裂纹在高温情况下扩展过程中的连通行为，主要研究高温对初始缺口区域形貌为双正方形和初始缺口区域形貌为双矩形的微裂纹扩展过程中扩展形貌的微观组织形貌演化过程的影响，分析对微裂纹扩展长度和微裂纹扩展面积等生长动力学的影响。

1 计算模型

单组元晶体相场模型中固相原子密度场可以表示如公式（1）～公式（3）所示。

式中：为平均原子密度；为固相原子周期结构的振幅，为一个特定常数，如公式（3）所示；为无量纲化原子密度场；、为空间坐标。

模拟过程用与时间相关的Cahn-Hilliard动力学方程描述保守的原子密度场变量，如公式（4）所示。

式中：为随机热噪声项，由于在该文的研究中噪声项的影响很小，因此可以忽略不计；Δ为拉普拉斯（Laplace）算子；为与温度有关的无量纲化过冷度。

将公式（4）采用Euler迭代的数值求解方法。在求解过程中，对于Δ，为了保证数值的稳定性，只考虑次近邻格点，如公式（5）所示。

不同初始缺口区域形貌情况下应变（）施加方式如图1（a）所示，放大的初始缺口（空位聚集）区域正方形形貌如图1（b）所示，放大的初始缺口（空位聚集）区域矩形形貌如图1（c）所示。

图1 模拟区域示意图

形变过程中公式（1）将发生相应的变化，变形后如公式（6）所示。

式中：ε为方向应变；ε为方向上的应变。

该文模拟区域设置为512Δ×512Δ的四方格子网络（也称之为512×512gp，gp即grid point，表示一个Δ×Δ的格点）所使用的所有物理参数均已进行无量纲化处理。体系动力学方程在形变前后均保持一致，时间步长设置为Δ=0.05，空间步长设置为Δ=Δ=π/3，高温设置在=-0.8，晶粒取向角为15.0°，模拟过程中均采用周期性边界条件。初始缺口区域形貌采用分布在区域中位线的两端同为正方形（或者同为矩形），且正方形初始缺口区域和矩形初始缺口区域的面积相等。

2 结果与分析

2.1 高温情况下不同初始缺口区域形貌对金属微互连结构界面微裂纹扩展影响的微观组织分析

高温（=-0.8）情况下两种初始缺口区域形貌微裂纹扩展连通过程的微观形貌演化图如图所示。从图2中可以看出，随着演化时间的增加，金属微互连结构界面微裂纹逐渐开始扩展生长，生长过程中主裂纹不断长大，同时随着演化时间的增加二次微裂纹和三次微裂纹逐渐出现并生长。生长过程中无论初始缺口区域形貌为矩形或者初始缺口区域形貌为正方形，初始缺口区域左侧的微裂纹生长明显比初始缺口区域右侧的微裂纹生长缓慢。从图2（a4）中可以看出，初始缺口区域为正方形的微裂纹生长过程中的二次微裂纹和三次微裂纹在初始缺口区域周围，距离主裂纹有一定的距离，造成这一现象的原因是主裂纹扩展过程中原子畸变引起初始缺口区域周围出现新的缺陷，并导致二次微裂纹和三次微裂纹的出现与扩展生长。从图2中可以看出随着演化时间的增加，主裂纹的扩展呈现“一字型”。主裂纹的尖端比较尖锐，呈“剑型”尖端。初始缺口区域位于左侧的微裂纹扩展生长基本沿着右上方进行扩展生长，扩展生长少量分布在演化区域下半部分，而初始缺口区域位于右侧的主裂纹扩展生长主要沿着左下方进行扩展生长，大部分位于模拟区域下半部分，少量分布在模拟区域上半部分。从图2（a2）、（a3）和（a4）中可以看出，初始缺口区域位于右侧的主裂纹扩展生长过程中会出现较多的阶梯状微裂纹扩展，而这一现象不存在于初始缺口区域形貌为矩形的微裂纹扩展过程中。

图2 高温下不同初始缺口区域形貌微裂纹扩展的微观组织形貌

2.2 高温情况下2种不同初始缺口区域形貌金属微互连结构界面微裂纹扩展连通过程的动力学分析

高温情况下金属微互连结构界面两种初始缺口区域形貌微裂纹扩展过程中微裂纹长度随演化时间的变化规律如图3所示。由于微裂纹在纳米级别，因此微裂纹长度的统计采用主裂纹周长的一半来表示。从图3中可以看出，随着演化时间的增加，初始缺口区域形貌为正方形和初始缺口区域形貌为矩形的微裂纹扩展长度逐渐增加。微裂纹扩展过程中初始缺口区域形貌为矩形的微裂纹扩展长度大于初始缺口区域形貌为正方形的微裂纹扩展长度。从图3中微裂纹扩展生长的长度可以得出微裂纹的扩展生长基本呈线性生长。

图3 高温情况下2种初始缺口区域形貌微裂纹长度随时间的变化关系

随演化时间的增加微裂纹扩展面积占总面积的百分比规律如图4所示。从图4中可以看出，初始缺口区域形貌为正方形和初始缺口区域形貌为矩形的微裂纹扩展面积随着演化时间的增加逐渐增大。相同演化时间情况下，初始缺口区域形貌为矩形的微裂纹在扩展过程中所占面积百分比比初始缺口区域形貌为正方形的微裂纹扩展面积占总面积的百分比大，和图2中反映的生长规律一致。

图4 纵坐标单位是%

2种不同初始缺口区域形貌高温下主裂纹扩展过程中占整个微裂纹扩展面积的百分例如图5所示。从图5中可以看出，随着演化时间的增加，初始缺口区域形貌为正方形和初始缺口区域形貌为矩形的主裂纹扩展面积占微裂纹扩展总扩展面积的百分比逐渐增大。相同演化时间情况下，初始缺口区域形貌为矩形的主裂纹所占微裂纹扩展面积的比例远高于初始形貌区域为正方形的主裂纹扩展面积所占微裂纹扩展总面积的百分比，演化后期趋于一致。随着主裂纹扩展百分比的增加，说明扩展过程中主裂纹的扩展占主导地位。演化后期主裂纹扩展占总扩展面积比例接近58%。

图5 不同初始缺口高温情况下主裂纹扩展面积与总扩展面积的关系

3 结论

初始缺口区域形貌为正方形和初始缺口区域形貌为矩形的微裂纹随着演化时间的增加呈“一字型”剑状扩展。初始缺口区域位于左侧的微裂纹扩展生长基本沿着右上方进行扩展生长，扩展生长少量分布在演化区域下半部分，而初始缺口区域位于右侧的主裂纹扩展生长主要沿着左下方进行扩展生长，大部分位于模拟区域下半部分，少量分布在模拟区域上半部分。相同演化时间情况下，主裂纹周围分布大量和主裂纹并不连通的二次微裂纹和三次微裂纹。

随着演化时间的增加微裂纹扩展长度、扩展过程中扩展面积占总面积的百分比和主裂纹扩展面积占总扩展面积的百分比逐渐增加，初始缺口区域为矩形的微裂纹扩展过程中微裂纹扩展长度、扩展过程中扩展面积占总面积的百分比和主裂纹扩展面积占总扩展面积的百分比均高于初始缺口区域为正方形的微裂纹扩展过程中微裂纹扩展长度、扩展过程中扩展面积占总面积的百分比和主裂纹扩展面积占总扩展面积的百分比。