混合式步进电机自抗扰控制器状态观测反馈优化方法

刘 艺,刘宝泉,鲁毛毛,韩 猛,张浩铭

(陕西科技大学 电气与控制工程学院， 西安 710021)

0 引言

步进电机由于具有调速范围宽、制造成本低、可开环控、易于起动等特点被广泛用于工业和消费类应用[1]。但因其使用的开环控制方式和齿槽转矩的存在，导致其存在输出转矩脉动问题。当负载转矩发生变化时，失步变得非常严重[2-3]。目前，较为常用的解决方法是PI控制，但由于电机运行非线性、电磁转矩和齿槽转矩中产生的各种干扰量及非正弦分量，使得针对线性系统的传统PI控制应用受到一定限制。

针对步进电机的振动及加载后抗扰能力差的问题，目前主要采用闭环控制提升运动性能，分为线性和非线性控制两大类。线性控制主要为以传统PI控制结合转矩矢量控制算法，对两相混合式步进电机定子绕组电流的相位和幅值进行控制[4]。文献[5]采用矢量控制和调制方式设计步进电机驱动器，对减弱低频振动、改善系统动态性能有一定的效果。文献[6]和文献[7]在PI控制的基础上用矢量控制算法对定子电流进行细分，改善了电机的步进波动和定位精度，但派克和逆派克变换中包含大量高计算量的三角函数运算，这些坐标变换操作消耗了大量处理器运算资源。文献[8]提出了新无传感器控制方案，参考电流由电流变换方程提供，所有信号定义在固定a-b坐标下，故不再需要使用坐标变换将电压和电流在a-b和d-q坐标间转换，显著降低了微控制器计算量，提升了电机相电流及转子位置的实时跟踪效果。基于上述调研发现，传统PI控制的精度很容易受参数变化的影响，且不能随系统需要实时调整，虽然鲁棒性较强，但对于抑制电机转矩脉动效果有限。

针对系统高精度控制，研究人员提出了非线性控制方法，在保证PID控制器优点的前提下，文献[9]提出了满足非线性系统控制要求的自抗扰控制器，但其主要用于永磁同步电机中。文献[10-12]针对永磁同步电机采用速度、电流双闭环的自抗扰结合PI的综合控制方法，在转速环使用自抗扰控制器，使步进电机在中高速区能够实现PMSM调速平稳无超调及快速响应，在负载剧烈变化的工况下ADRC控制器抗干扰能力优于 PI 控制器，且转矩波动减小。文献[13]提出了一种具有负载转矩反馈的PMSM动态面控制策略提高控制系统的控制性能，使转速在负载变化时波动变小，且恢复时间短。文献[14]提出了基于ADRC的位置环和PI控制的电流双闭环控制算法。文献[15]在位置环使用自适应遗传算法对自抗扰控制器参数进行在线优化，但并未对电流、转矩和转速进行分析。根据前文所述，ADRC主要应用于PMSM领域，但由于其具有较多的控制参数需要调节，且调节过程复杂繁琐，因而需要更强大的计算能力。而控制器运算能力不足会使系统延迟跟踪，同时拉低电机的响应速度，在低成本步进电机应用领域的适用性较差。虽然有部分文献对此进行了尝试，但仅应用于位置环，鲜有在速度环中的应用分析。

1 两相混合式步进电机的数学模型

1.1 两相静止坐标系下的数学模型

两相混合式步进电机电磁转矩方程和运动方程分别表示为：

ZrMsrIm(-iAsinθe+iBcosθe)

(1)

(2)

两相混合式步进电机转子中间镶入永磁体，铁芯两段呈现不同的极性[16-17]，其结构见图1。根据电机模型，得出电机电压方程，见式(3)。

图1 两相混合式步进电机结构示意图

(3)

式中：UA、UB，iA、iB，rA、rB分别为A、B相定子电压、电流及电阻；ω为角速度；θ、Zr、ωr分别为转子的位置、齿数及角速度；B为黏滞阻尼系数；J为转动惯量；TL为负载转矩。

由步进电机一相等效电路可得其电磁转矩表达式为：

T=E0I/ωm

(4)

式中：E0为反向电动势。电机的电磁转矩和齿槽转矩中的非正弦分量也会导致运动过程中产生谐波，对电机实际运行产生影响。在考虑三次谐波的影响下，电机的交链磁通可表示为：

(5)

式中：K1、K3分别为基波和三次谐波系数。若电机为细分控制，则结合式(4)和式(5)，电磁转矩可表示为：

Te=iA(dφA/dθ)+iB(dφB/dθ)=

Iφ[K1sinδ-3K3sin(2ωt-3δ)]

(6)

式中：第1项为恒定转矩，第2项为含ω的振动转矩。

1.2 d-q旋转坐标系下的数学模型

两相混合式步进电机矢量图见图2。α、β轴上分别为A、B两相的定子绕组，引入d-q坐标系，α轴与d轴夹角为转子的位置角，可得：

图2 两相混合式步进电机矢量图

(7)

式(2)和式(7)联立，得到d-q笛卡尔坐标系下电磁转矩方程为：

Te=Zr(Ld-Lq)idiq+ZrMsrImiq

(8)

式(8)中：

(9)

因此，在d-q坐标系下步进电机电压方程为：

(10)

式中Rs为定子每相的电阻。

将式(8)中电磁转矩Te解耦，采用id=0控制方法，即等效为定子电流只在d轴产生热量，在q轴产生电磁转矩，电磁转矩只和iq相关，可将式(8)简化为：

Te=ZrMsrImiq

(11)

可知，电机电流iq影响电机电磁转矩。

综上所述，电机转矩脉动的主要影响因素为电机运行中各种干扰量及电磁转矩和齿槽转矩中产生的非正弦分量。

2 观测器反馈的ADRC控制器

2.1 ADRC控制理论

图3 自抗扰控制器结构框图

以1阶系统为例，假定系统的状态方程为：

(12)

式中：w(t)为外扰；f(y,w(t),t)为总扰动；u、b分别为控制量及其补偿因子。令x=y，则式(12)转换为：

(13)

状态方程经过TD得到：

(14)

式中：v、v1分别为系统给定的参考信号及给定转速的跟踪值;v1和v的误差经过fhan函数处理，得到v的近似微分信号。其中，非线性函数fhan(x,r,h)定义为：

(15)

(16)

式中：r值决定跟踪速度。滤波因子h与采样周期相关联，对控制过程中的噪声进行过滤。

1阶系统ESO数学模型表示为

(17)

式中：z1，z2分别为y的跟踪信号和ESO对系统内外扰动估计值。ADRC的控制性能取决于状态观测器观测值的准确性。α1、α2的取值规律为α1=0.5α2；滤波因子δ>0；β01、β02为可调节参数；e为v1与z1差值。

式(17)的1阶系统的NLSEF数学模型为：

(18)

式中：β1、δ1、α3分别为可调参数、滤波因子及非线性因子。NLSEF中的可调参数与ESO中的可调参数独立，可分别进行整定：

(19)

对控制量输出划分的目的是提高控制精度及其性能。

2.2 OF-ADRC控制算法

传统ADRC虽然能够降低系统内外干扰误差，但微分器环节和扩张状态观测器环节计算复杂，会使系统延迟跟踪，同时拉低了电机的转速响应速度，故取消其TD环节，直接将系统给定转速作为输出；使用扩张状态观测器模块计算，用实际转速代替其输出z1，仅使用观测器中的最主要部分对系统扰动量进行观测。观测器反馈的自抗扰矢量控制过程如图4所示。

图4 状态反馈的混合式步进电机矢量控制过程框图

设fal(e,α,δ)为非线性函数，其表达式定义为：

(20)

则改进的控制器完整形式如式(21)所示，式中nref为参考转速；v为跟踪微分器输出；跟踪微分器输出e1为nref与n之差；e2为e1积分；控制量u由z2前馈补偿后得到。

(21)

由混合式步进电机运动方程可得：

(22)

TL为外部干扰；B、J为内扰，均为不可估算的不确定项。基于OF-ADRC的控制，设w(t)为系统所受内外扰动的和：

(23)

基于混合式步进电机运动方程，电磁转矩的参考值是转速环输出值，得到速度环的控制规律为：

(24)

式中：b1为最终控制量的补偿因子，其参考值为1/J，根据系统反馈情况对补偿因子进行调整。在矢量控制id=0时，电磁转矩的微分形式表示为：

(25)

将式(10)代入式(25)中，可得

(26)

令

(27)

将w2(t)看作扰动项，由速度环的控制率可得到转矩环的控制率为：

Te=b2Uq+w2(t)

(28)

OF-ADRC控制器在结构上可以描述为：利用PID控制、ADRC中对扰动估计的ESO模块及补偿控制的组合。该算法利用传统 PID 控制中参考量和实测量实时得到控制器的输入量，利用ADRC 中对被控对象观测扰动的核心模块加上前馈补偿来提高步进电机的实时抗扰能力和稳定性，OF-ADRC控制器相对于ADRC控制器简化了式(14)和式(17)，减少了大量计算过程，提高了系统响应速度。

3 仿真实验及结果分析

为验证上述理论的正确性及控制方法的有效性，在Matlab/Simulink平台搭建混合式步进电机矢量模型，使用状态反馈的ADRC控制算法对系统进行建模与仿真分析。

3.1 实验参数设置

电机参数设置见表1。

表1 电机参数

3.2 不同加载值转矩脉动对比分析

为了验证控制器的跟踪精度和抗负载扰动能力，进行实验：给定电流值id=0 A，在电机供电电压为24 V时，初始负载转矩为0.05 N·m，0.25 s后负载转矩分别为0.1、0.2 和0.3 N·m，观察转矩脉动。

图5为OFADRC_FOC策略和传统PI_FOC控制策略下电机加载0.1 N·m后转矩脉动仿真波形。可以看出，加入负载扰动后PI_FOC转矩波动范围是-0.020～0.292 N·m，波动大小为0.312 N·m，OFADRC_FOC策略转矩波动范围是 -0.017～0.262 N·m，波动大小为0.297 N·m。

图5 步进电机加载0.1 N·m转矩仿真波形

从图6可以看出，负载扰动后OFADRC_FOC的转矩脉动明显比PI_FOC转矩脉动波动小；加入负载扰动后PI_FOC转矩波动范围是0.042～0.425 N·m，波动大小为0.383 N·m，OFADRC_FOC策略转矩波动范围是0.069～0.403 N·m，波动大小为0.334 N·m。

图6 步进电机加载0.2 N·m转矩仿真波形

从图7可以看出，负载扰动后OFADRC_FOC的转矩脉动明显比PI_FOC转矩脉动波动小，且PI_FOC幅值不稳定；加入负载扰动后PI_FOC转矩波动范围是0.118～0.587 N·m，波动大小为0.469 N·m，OFADRC_FOC策略转矩波动范围是0.114～0.507 N·m，波动大小为0.393 N·m。

图7 步进电机加载0.3 N·m转矩仿真波形

在OFADRC_FOC控制策略和传统PI_FOC控制策略下，电机加载不同值后的转矩脉动如表2所示。

表2 不同加载值下转矩脉动

3.3 不同供电电压下转矩脉动对比分析

给定电流值id=0 A，在电机供电电压分别为12、24和36 V时，给定初始负载转矩为0.05 N·m，0.25 s后负载转矩为0.1 N·m时观察转矩脉动波形。

从图8可以看出，供电电压为12 V时，加载后OFADRC_FOC的转矩脉动明显比PI_FOC转矩脉动波动小，加入负载扰动后PI_FOC转矩波动范围是-0.041～0.276 N·m，波动大小为0.317 N·m，OFADRC_FOC策略转矩波动范围是-0.045～0.265 N·m，波动大小为0.31 N·m。

图8 电机供电电压12 V转矩仿真波形

从图9看出，在供电电压为24 V时，加载后PI_FOC转矩波动范围是-0.020 ～0.292 N·m，波动大小为0.312 N·m，OFADRC_FOC策略转矩波动范围是-0.017～0.262 N·m，波动大小为0.297 N·m。从图10可以看出，供电电压为36 V时，加载后PI_FOC转矩波动范围是-0.022～0.312 N·m，波动大小为0.334 N·m，OFADRC_FOC策略转矩波动范围是0～0.276 N·m，波动大小为0.276 N·m。

图9 电机供电电压24 V转矩仿真波形

图10 电机供电电压36 V转矩仿真波形

在OFADRC_FOC控制策略和传统PI_FOC控制策略下，电机不同供电电压时的转矩脉动如表3所示。

表3 不同供电电压下转矩脉动

通过对2种控制策略的转矩仿真结果分析可以看出，OFADRC_FOC策略可以降低系统转矩脉动，在加入负载扰动后稳定性更高，OFADRC_FOC策略对转矩脉动的抑制效果明显。

4 结论

为降低混合式步进电机转矩脉动，提高系统抗干扰能力，提出了一种混合式步进电机自抗扰控制器状态观测反馈优化方法。通过使用观测器中的ESO对系统扰动量进行观测，将这些扰动值实时地补偿到系统中，从而提升系统控制效果，有效地降低了电机转矩脉动。通过对负载转矩分别为0.1、0.2和0.3 N·m时的场景仿真分析，发现相比于传统PI矢量控制方式，转矩脉动分别降低了4.8%、12.8%和16.2%，在供电电压分别为12、24和36 V时，转矩脉动分别降低了2.2%、4.8%和17.4%，表明所提方法能有效减少步进电机转矩脉动。