平抛运动的越障临界条件及应用

平贵生

(曲靖市民族中学 云南 曲靖 655331)

曾秀花

(曲靖师范学院 云南 曲靖 655011)

涉障平抛运动是指物体在做平抛运动过程中有障碍物存在的运动，排球、乒乓球、羽毛球运动时水平击球过网，球网就是障碍物，投掷物体入筐时，筐边就是障碍物．越障临界条件是指物体刚好能跨越障碍物时各运动参量需要满足的条件，越障临界条件是分析涉障平抛运动问题的关键．

1 越障临界条件

1.1 越障临界条件方程

如图1所示，设抛出点高度为H，障碍物高度为L，抛出点与障碍物的距离为d，落点与障碍物的距离为s，平抛运动的初速度为v0，以抛出点为坐标原点，以竖直向下为y轴正方向，以初速度方向为x轴正方向，有x=v0t，得

图1 越障类问题情境图

物体刚好跨越障碍物时，落地点和障碍物最高点均在同一抛物线上，因此，在障碍物最高点

落地点

越障临界条件

越障临界条件方程中H、L、s、d这4个参量互相制约、相互匹配，只要其中3个量确定，剩下的第4个量唯一确定．物体平抛后能否跨越障碍物只决定于H、L、s、d这4个参量，与平抛初速度无关，4个参量匹配后再决定唯一对应的平抛初速度v0．可以将H、L、s、d和v0称为平抛运动的5个临界参量，各临界参量的表达式如下

平抛运动涉障问题最基本的问题模型是根据越障临界条件，在已知3个临界参量的条件下求解另外两个临界参量．

如图2所示，在满足越障条件的情况下，平抛初速度越大，落点到障碍物的距离s越大，越障临界条件所对应的s为越障后的最小落点距离．

图2 平抛初速度与距离s关系

1.2 越障临界参量变化规律

平抛运动越障临界条件涉及H、L、s、d这4个临界参量，采用控制变量的思想，在保证其中两个参量确定的条件下，分析另外两个参量的变化规律，是临界参量变化问题的基本模型．临界参量变化问题有以下6种情况.

(1)如图3所示，在L、d确定并满足越障条件时，H越大，s越小．排球水平击球时，过网是越障，不出界是对方场地到球网的距离大于等于越障条件所对应的越障后的落点距离s(越障后的最小距离)．击球高度的最小值对应着s的最大值，对方球场边界与球网的距离为排球不出界时落点距离的最大值，只要s小于对方球场边界与球网的距离就能通过改变v0实现过网且不出界．

图3 L与d确定的情境图

(2)如图4所示，在H、L确定并满足越障条件时，d越大，s越大．在掷物入筐时，投掷点距筐的最远距离d对应的是物体落入筐底的最远位置，当投掷点逐渐向筐靠近时，物体的落点位置逐渐向筐内边(与投掷点靠近的筐边)靠近．

图4 H与L确定的情境图

(3)如图5所示，在H、d确定并满足越障条件时，L越大，s越大．水平击球时，球网越高，落点距离越远．

图5 H与d确定的情境图

(4)如图6所示，在L、s确定并满足越障条件时，H越大，d越大．水平击球要打同一点时，击球点距网越远，运动员应跳的越高．身高不同的两人越障掷物到同一位置，个子高的应站较远位置．

图6 L与s确定的情境图

(5)如图7所示，在H、s确定并满足越障条件时，L越大，d越小．同一人同一高度掷物入不同高度筐的底部，筐越高，掷物点距筐越近．运动员同一高度击球擦网至同一位置时，若网降低，击球位置应后移．

图7 H与s的情境图

(6)如图8所示，在s、d确定并满足临界越障条件时，L越大，H越大．

图8 s与d确定的情境图

2 涉障问题例析

【例1】如图9所示，排球场总长18 m，设网的高度为2 m，运动员站在网前的3 m线上正对网前竖直跳起把球水平击出．若击球点的高度不够，无论球被水平击出的速度多大，球不是触网就是出界，因此击球点的高度应不低于______．

图9 例1题图

分析：网高L和击球点到网的距离确定，击球点的高度H越大，临界落点距离s越小．当击球高度H最小时，临界落点距离s最大，只要临界落点距离s不超过对方边界与球网的水平距离即s≤9 m，就可以通过调节击球速度v0实现既过网又不出界．由越障临界条件可得

得

由题知

L=2 md=3 ms≤9 m

代入上式得

【例2】如图10所示，装球的球筐固定在水平地面上，小明将玩具小球(可视为质点)水平抛出并投入球筐中．球筐高度h=0.55 m，宽度l=1 m．小球的抛出点离地面的高度H=1.8 m，离球筐右壁的水平距离d=6 m．重力加速度g取10 m/s2，筐壁厚和空气阻力不计．求：

图10 例2题图

(1)要使玩具小球能落入筐中，小明抛球时的速度大小应满足什么条件；

(2)要使玩具小球直接落在筐底，在保持抛球位置高度不变的条件下，小明至少前进多少距离;

(3)要使玩具小球直接落在筐底，在保持抛球位置与球筐的距离不变的条件下，小明抛球点位置的高度应为多少.

分析：(1)能入筐的条件是，在下落1.25 m高度时，水平位移6 m≤x≤7 m．如图11所示，以竖直向下为y轴正方向，以水平向左为x轴正方向，有

图11 例2(1)问情境图

可得

代入数据得

12 m/s≤v0≤14 m/s

(2)越障临界落点距离是物体跨越障碍物后的最小落点距离，物体能直接落入筐底的条件是，越障临界落点距离s不超过筐的宽度，即s≤1 m．如图12所示，设小明前进x时刚好能将小球直接投入筐底，根据越界临界条件有

图12 例2(2)问情境图

代入数据得

x=1 m

(3)设在保持投射点与筐的水平距离不变的条件下，投射点高度变为H1时，玩具小球刚好能落入筐底．投射点位置越高，越障临界落点距离越小，小球刚好落在筐左侧底部时对应的投射点高度是小球能直接落入筐底的最小值．根据越界临界条件有

代入数据得

H1≈2.07 m