整体视角下单元备课，助力学生学习力提升——以“除数是两位数除法”为例

首都师范大学附属顺义实验小学 任志梅 史 颂

《义务教育小学数学教学大纲》中明确指出：“教学时要注意揭示知识间的内在联系。”而多年来我国一线数学教师热衷于课时设计，较少在整体视角下进行单元备课。这就导致教师更多关注孤立的知识点，忽视知识间的内在联系，缺乏对数学知识的整体结构认识，满足于一课时的活动设计，忽略甚至局限了学生的数学思维的培养，育人价值的渗透、核心素养的培养容易流于纸上谈兵。

2017年，崔允漷教授在第十五届上海国际课程论坛上做了题为《试论核心素养的课程发展意义》的报告，报告指出，指向核心素养的课程发展给我们带来一个变化——只有当我们在设计一个单元的时候，才能看到价值观念。

整体视角下的单元教学指从数学知识体系高度“结构化”的特点和学生认知结构的形成、发展规律出发，对教材的表层结构和深层结构进行提炼和组织，通过自主探究、自我提炼和反思逐步内化为学生学习的方法结构，成为新的学习工具，进而更好地实现数学学科独特的育人价值。

一、 整体把握教材结构，找准知识和能力的链接点

数学知识是有着内在联系的有机整体，在实际教学中，一些教师往往只关注一册教材的内容、一个例题的教学目标，缺乏对教材内容的整体架构。于是教学中经常出现只顾眼前不顾两头或找不准起点和落脚点的现象，导致一个内容或一类知识的教学缺乏层次性和衔接性。例如，小数的初步认识和小数的意义的解耦、教学重点是什么，两次学习小数的联系和区别是什么，这就要求老师们能整体把握教材。

整体把握教材并不是简单地把各册或者各个章节的内容汇集到一起，而是要看内容有了哪些变化、哪些发展，最终帮助学生建立一个完整的认知结构。

案例：整体把握“除数是两位数除法”

“除数是两位数除法”被称为整数四则运算的“收官之作”，顾名思义，这是整数运算教学的最后部分内容，通过整数运算的知识体系我们也能看到这一点。

图1

（一）把握教材的整体结构，找准知识链接点

图2

运算教学依赖两个重要内容：运算意义和数意义。

聚焦到“除数是两位数除法”，对数的意义的学习，学生学习这部分内容之前，通过20以内数的认识、百以内数的认识、万以内数的认识以及大数的认识，建立了较为完整的数概念体系，对数位、计数单位、十进制、位值等知识有了一个更全面的认知理解。数概念的完整体系为除数是两位数的学习打下了坚实的基础。

“除数是两位数除法”是学生第四次学习整数除法，在二上学习表内除法、二下学习有余数的除法时，利用口诀求商，初步掌握了竖式结构。三上学习除数是一位数的除法，主要突破两层竖式结构，理解除法竖式的算理。至此学生已经掌握了竖式除法的基本方法，如从高位除起，除的过程中要看被除数的前一位或前两位；除到哪一位，商就写到哪一位；余数必须比除数小。但是学生接触的除法都可以利用口诀求商，而当除数变为两位数时，乘法口诀已经无法再施展了，对于学生而言这样的进阶学习跨度比较大，得到商的过程也比较复杂，常常不但需要试商，还需要调商。

（二）挖掘教材中承载的育人价值，找准能力链接点

通过对比除数是一位数除法和除数是两位数除法在能力目标体系中关于知识内容应该培养的能力以及相应的水平可以清晰地看到：除数是一位数除法在知识上要求掌握一位数除多位数的笔算方法，会用乘法验算除法，在此过程中培养学生的运算能力、推理能力以及发现和提出问题的能力。而除数是两位数除法除了让学生会算以外，还要能通过自主探究算理和算法对运算结果进行检验。可以看到知识上的要求提高了，相对应的能力方面的要求也大大提高。尤其是增加的分析解决问题的能力、评价反思的能力以及创新能力，均要求学生遇到新问题时能独立思考，并且能综合运用所学知识解决。这也正是除法收官于此的主要原因，正是因为具备了这些能力，在除数是两位数除法中积累的经验，对算理和算法的深刻理解，对试商、调商方法的掌握，完全可以通过类比迁移到除数是三位数甚至更多位数的学习，另外整数除法的学习经验也可以迁移到小数除法。

所以，这一单元虽然是小学阶段整数四则运算的收官，却更需要在教学中重视学生的能力培养。

对同一主题的教学内容，教师可以对小学阶段的数学知识结构进行系统梳理，了解数学知识发生发展的顺序以及在不同学段、不同年级的分布情况。只有这样，教师才能了解所教内容是在怎样的基础上发展起来的，为后续所要学习的内容做了怎样的准备，做到瞻前顾后。

表1 “除数是一位数除法”和“除数是两位数除法”能力目标体系

二、 精准把脉认知结构，突破学生难点

“单元教学”是立足具体学情，对一个（或几个）单元教学内容进行规划，整体性、结构性、系统性地安排后展开的教学，而这些取舍规划的前提一定是立足具体的学情。奥苏伯尔也认为，影响学习的最重要的因素是学生已经知道了什么。由此可见学情分析的重要性。学情分析并不仅仅包括教师在进行教学设计时对学生学习情况的简单分析，还包括对学生数学知识基础、学习需要、认知发展水平与风格、内心想法等的分析。

[案例]：“除数是两位数除法”学情调研

核心素养导向下的教学，需要对学情进行合理分析。学情分析可以从已有的认知和学习过程中会遇到的难题两方面展开。

“除数是两位数除法”设计的前测题目分为两个：一个是有情境的除数是两位数除法问题，目的是考查学生面对新问题时能否运用学过的数学知识进行解决；另一个是去情境化问题，用竖式计算924÷6、964÷18，目的是一方面了解学生的知识基础，另一方面考查学生能否将除数是一位数除法的算理进行迁移解决新问题。

前测1：把336元平均分给14个小朋友，每人得到多少元？

图3

通过前测，学生有迁移旧知识解决问题的意识，绝大部分都是利用拆分进行计算，这是学生将除数是一位数除法和整数乘法的计算经验进行了迁移。但绝大部分学生对究竟是拆除数还是拆被除数不清晰。这是整数乘法对学生造成的负迁移，因为整数乘法计算时拆哪个因数都可以，所以究竟拆谁进行计算是学生的一个困难点。

前测2：用竖式计算924÷6、964÷18。

42名学生答题情况如下：

表2

学生主要答案如下：

图4

通过前测结果可以看到，42名学生中95.24%对除数是一位数除法掌握扎实，能熟练地讲出除数是一位数笔算除法的算理。学生的前期基础非常扎实。

而面对除数是两位数时，乘法口诀无法再施展了，学生有迁移除数是一位数笔算除法解决问题的意识。但是45.24%的学生表示并没有快速找到初商的方法，尝试的过程很慢，有的甚至需要尝试很多次才能得到，学生的困难主要集中在如何确定商的位置以及商的大小如何快速地确定。试商的方法是将除数看成整十数，利用乘法口诀得到初商。这就是学生需要突破的困难点。让学生经历得到初商由慢到快的过程，才能更好地积累活动经验，能力才得以发展。

三、立足单元结构备课，设计挑战任务

小学数学教材由一个个相对独立的单元构成，同一单元中的新知识又是按照一定的逻辑顺序编写，从而可以在单元学习的过程中让学生形成良好的认知结构。但学生数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜想、推理与交流等数学活动。所以挖掘数学知识的核心内涵需要根据学生的认知发展水平，已有的知识经验、思维方式对教材进行充实和调整，适当整合相关内容，从而使教材展现出生机与活力。

[案例]：“除数是两位数除法”单元设计思路

“除数是两位数除法” 共包含7个例题：

例1：两位数除以两位数，商是一位数的口算除法

例2：三位数除以整十数的笔算除法

例3：两位数除以两位数，可以直接试商的笔算除法

例4：三位数除以两位数，商是一位数，需要试商的笔算除法

例5：三位数除以两位数，商是一位数，需要试商并调商的笔算除法

例6：三位数除以两位数，商是两位数，并安排验算的笔算除法

例7：三位数除以两位数的估算

教材编排的顺序是先讲口算，这对于学生而言并不困难，因为可以借助口诀求商。例2讲解的是除数是整十数的笔算除法，这对于学生而言并不是很困难，因为仍然可以利用口诀进行求商。我们都知道当除数是一般两位数时，需要将除数用“四舍五入”法估成整十数进行求商，于是例2的讲解就为后续学习试商做了铺垫。例3、例4、例5、例6五个例题的学习主要是围绕当被除数是两位数或者三位数，除数是两位数时，学生利用笔算除法求商、试商、调商进行的，其实不管被除数、商是几位数，学生试商、调商的方法都是一样的，可以迁移进行学习。其实通过试得到商对学生而言并不难，难的是为什么要将除数估成整十数，只要弄清楚这一点，无论将来除数变成几位数，学生都可以调用之前除数是两位数除法的经验进行解决。

教材的安排将学生的难点用7个例题进行分散，循序渐进逐一击破。而依据前面对学生的分析，学生最困难的地方就是要将除数是一般两位数的问题纳入能利用乘法口诀的问题中来，而这个过程一定要慢下脚步，让学生亲自经历猜想、尝试、推理等一系列的活动，才可能积累起解决问题的经验，真正具备解决除数是多位数的能力。

基于以上分析，本单元共设计三节核心课，每一节课上都给学生富有挑战性的任务，在这样的过程中培养学生的能力。

第一课时：多种方法解决除数是两位数除法，让学生利用分与合的经验进行拆分解决，转化为学过的知识。同时利用直观学具进行自主研究，理解拆分被除数而不能拆分除数的道理。

【挑战性任务】利用点子图研究：被除数和除数究竟该拆谁呢？

【设计意图】此环节让学生自主计算336÷14，让学生充分经历算法多样化的过程，体会分与合思想在计算中的应用。同时点子图清楚明白地解释拆除数不可行、拆被除数可行的道理，让学生真正理解了其中的道理，做到知其然更知其所以然。

图5

第二课时是在第一课时的基础上学习除数是两位数除法的笔算。学生在第一课时已经明确不能将除数进行拆分的道理，那如何确定商的大小以及位置就是本节课的重点。学生会经历想办法得到商到快速得到的商的过程，这种由慢到快的转变便是将除数估成整十数试商的道理。

【挑战性任务】如何确定商是几？有没有快速得到商的方法呢？

【设计意图】利用旧知解决商是几的问题，学生自己感觉这样计算太慢，太麻烦，为寻求简单的做法激发探究的兴趣。学生经历将除数看成接近的整十数试商的过程，突破学生难点，对接儿童利用口诀求商的经验。

第三课时在前两课时的基础上，让学生经历调商的过程，明确商往大调还是往小调的道理。

【挑战性任务】判断商偏大还是偏小，如何进行调整？

【设计意图】学生在自主尝试解决问题的过程中，理解初商偏大或偏小的原因，掌握调商的方法。

当然三个课时对这个单元来讲是远远不够的，节省出来的课时可以加入适当的练习课以及关于整数计算的复习课，帮助学生建立完整的、系统的知识体系。

叶圣陶先生指出：“教材只是一个例子。”在整体视角下进行单元备课时，教师要整体把握教材，把脉学情，对数学教学进行创造性实践，才能真正将数学的教与学落实到培养学生素养上来。