含间隙非线性的惯容橡胶复合隔振系统可靠性分析

孟非凡，郭秀秀,2，史庆轩,2,3

(1. 西安建筑科技大学土木工程学院，陕西，西安 710055；2. 西安建筑科技大学结构工程与抗震教育部重点实验室，陕西，西安 710055；3. 西安建筑科技大学西部绿色建筑国家重点实验室，陕西，西安 710055)

2002 年，SMITH[1]根据机电相似理论，提出了惯容器(Inerter)的概念，并设计了齿轮齿条式与滚珠丝杠式两种惯容器，由此开启了惯容器理论与应用的相关研究。惯容器的原理即施加在该元件两个端点的力等大反向，且与两自由端的相对加速度成正比，其比值b为惯质系数。基于质量更轻、性能更优的设计思想，近年来很多学者设计和研究了各种不同类型的惯容器并不断优化[2-4]。由于惯容器优异的减振效果，它被广泛应用到工程实践中，如车辆悬架[5]，目前在该领域的研究与应用逐渐成熟。除此之外，惯容器还应用于飞机起落架[6]及涡轮机[7]等机械装置中，近年来在建筑[8-9]中也得到了一些应用。

在实际使用过程中，由于预紧力的丧失、多次装卸磨损、丝杠滑丝等，惯容器将产生间隙，系统表现出非线性特征。尽管一般情况下可以忽略间隙的影响，但仍有研究表明，强间隙非线性对系统响应会产生较大的影响[10]。目前对间隙非线性的研究不足，大多数文献都是忽略间隙对系统的影响，或者通过参数辨识将间隙的影响附加至其他系统参数中[11]，或者直接通过试验研究[12]。李阳等[13]建立了含间隙非线性的隔振系统模型并研究了在简谐激励下系统的响应特征。然而，系统在自然界中通常受到随机激励的作用，如汽车在不平坦的公路上行驶受到竖向随机激励的作用，建筑在地震激励下产生水平位移等等，确定性的动力分析有可能偏离系统实际的受力情况，因此，还应当分析系统在随机激励下的响应统计特征。

系统在随机激励下将产生随机响应。这些响应样本无法用一个确定性的函数描述，但是由这些样本组成的集合具有一定统计规律，因此，很多国内外学者提出了各种求解随机激励下系统响应统计特征的方法。采用时域分析法[14]与频域分析法[15-16]可以得到线性系统响应的统计矩。潘超等基于频域分析法研究了地震激励下惯容系统响应的统计特征[17]，但是并未考虑间隙非线性对系统响应的影响。随机等价线性方法[18-22]是一种将非线性系统通过等效系统与其误差的期望最小原则等效成一个线性系统近似求解系统响应的一种方法。由于该方法不仅适用于弱非线性体系，还适用于强非线性体系，因此，它是目前在工程中使用最为广泛的一种方法。

本文首先建立了含间隙的滚珠丝杠惯容橡胶复合隔振系统的随机微分方程，然后，基于随机非线性分析方法，推导了系统在随机激励下响应的统计矩，计算了响应的概率密度函数(PDF)，基于首超破坏准则求解了系统的动力可靠性及失效概率，并与模拟解对比验证结果的适用性，最后，通过一些算例分析间隙对系统响应统计特征及可靠性的影响。

1 含间隙非线性的并联式ISD 隔振系统的随机微分方程

本文参考了文献[23]中设计的一种惯容-橡胶复合隔振器，如图1 所示。其中，主要组件有：1-丝杠；2-飞轮及丝杠螺母；3-顶盖；4-金属橡胶组件；5-底座；6-轴承；7-限位块。其中，金属橡胶组件提供刚度和阻尼，丝杠与金属橡胶组件的协同工作可以抽象成惯容元件与弹簧元件和阻尼元件并联的ISD 系统。惯容器在实际服役中，可能由于预紧力丧失、丝杠发生扭转变形、磨损等现象，将直接导致间隙产生。当位移处于间隙内时，丝杠不能带动飞轮旋转，惯容器“失效”，仅金属橡胶组件工作，体系退化成普通的质量-刚度-阻尼线性系统。文献[13]将间隙从惯容器中独立出来，忽略其他因素的影响，将间隙看作一个元件与惯容器串联研究，结果表明，由于间隙的存在，高频率激励下惯容器内部撞击剧烈，这种撞击会破坏惯容器的内部结构，影响系统的隔振性能。

为了便于分析，将间隙模型考虑为对称模型，如图2 所示。该间隙元件与惯容器串联，然后与金属橡胶组件提供的弹簧元件和阻尼元件并联，组成含间隙的非线性并联式Ⅱ型ISD 隔振系统，如图3 所示。其中：I为惯容元件；S为弹簧元件；D为阻尼元件；P为间隙元件； ξ 为 1/2的间隙值。

如图2 和图3 所示，系统受到外部随机激励作用，产生的位移响应若大于 ξ，该间隙元件P闭合，系统与惯容器协同工作，反之，若响应小于 ξ，该间隙元件P开合，惯容器暂时“失效”。因此，可分析该对称间隙的惯容器惯性力表达公式为：

式中：m、c、k分别为系统的质量、阻尼和刚度；W(t) 为 均值为零、激励强度为D0=πS0的平稳高斯白噪声，S0为其功率谱密度；h(t)为一个时间调制函数。 ε(y)为阶跃函数，定义：

2 系统响应的统计特性及可靠性分析

系统响应的统计特性对结构动力可靠性分析有着重要的作用，首先基于随机非线性分析方法推导了系统响应的统计矩与概率密度函数，然后利用概率密度函数计算了系统响应的动力可靠性和失效概率。

随机等价线性化方法的基本思想是将非线性系统用近似的线性系统替代，通过等效系统与原非线性系统的误差过程期望最小原则以确定等效系统的参数。

将式(2)整理，有：

式(13)是一个常微分方程组，通过数值微分可以求得系统瞬态响应统计矩。

系统响应的概率密度函数可由下式近似求解：

目前首超破坏准则下系统的动力可靠性的计算仍然较为困难，仅能在一些假设下得到相应的近似解。当系统反应的安全界限较大时，反应大于界限的概率很小，一般认为反应与界限交差是独立发生的，即假设这些交差的次数近似服从Poisson 过程。本文基于Poisson 假定，推导了惯容橡胶复合隔振系统的动力可靠性近似解。

首超破坏准则假定结构动力响应首次超越安全界限时就发生破坏。基于该假定准则的结构动力可靠性，称为首超可靠性。系统动力响应具有双侧安全界限，假定安全范围是 (-b0,b0)，则认为系统位移响应在时段T=[t0,te]内不超过这个安全范围，系统就是安全的。该安全准则可以写成：

首超可靠性用概率度量满足上述安全准则的程度，记为：

3 数值计算与分析

3.1 平稳激励下系统响应的近似解

为了研究间隙对系统响应的影响，以文献[13]设计的惯容-橡胶隔振器样品为例，其惯质系数b=780 kg ， 试验中被隔振对象质量m=1000 kg，该复合隔振器的动刚度是k=3.8×106N/m，阻尼比 0.03。考虑外部激励为平稳高斯白噪声，参考相关文献，激励强度的取值范围较大，本文取S0=0.5/π t2·m2/s3，其中 1 t=103kg，平稳激励的均匀调制函数为：

间隙由试验样品人为设计，滚珠与滚道之间预留较大空隙，通过测量连续两次发生碰撞前后丝杠的位移，得 ξ=0.11 mm。经计算，系统响应统计矩随时间的演化曲线如图4 所示，其中EQL是本文采用的方法计算的结果，MCS 是蒙特卡洛模拟方法得到的结果。其中，响应的单位采用：位移/m，速度/(m/s)。

由图4 可知，计算结果与模拟解吻合很好。随着时间演化，位移和速度响应的二阶统计矩逐渐增大，并在t=2.0 s左右达到平稳状态，选取3 个瞬态时刻t=0.5 s、t=1.0 s和t=2.0 s计算系统位移响应的概率密度函数，结果如图5 所示。从图可知，运用该非线性分析方法计算得到的瞬态解无论是在概率密度函数曲线尾部还是在响应均值附近均与模拟解吻合良好，表明该分析方法得到的结果精度较高。另外，从图5(e)～图5(f)可知，随着时间演化，系统响应的概率密度函数曲线逐渐发散，在达至稳态时的概率密度函数发散程度最大。

在求得系统响应的概率密度函数后，系统动力可靠性可由首超可靠性分析理论计算得到。隔振系统的安全界限取决于多个因素，如滚珠丝杠、金属橡胶组件、被隔振对象等，任意部件发生破坏就认为系统失效。通常失效时系统位移较大，为方便研究，考察在不同的安全界限b0=27 mm和b0=31 mm下系统的失效概率，结果如图6 所示。由图可知，随时间演化系统的失效概率增大，在t=2.0 s时系统响应达至稳态，且计算结果表明随后失效概率呈线性增大。另外，由图可知安全界限越大，系统的失效概率越小。

就不同间隙值系统位移响应的统计特征进行分 析，分 别 取 ξ=0.0 mm 、 ξ=0.11 mm 、 ξ=0.5 mm、ξ=1.0 mm 和ξ=2.5 mm，不同时刻的间隙值对系统响应矩和概率密度函数的影响分别如图7 和图8所示。由图7 可知，系统产生的间隙值较小时，位移与速度响应的二阶矩接近于无间隙非线性的结果，表明轻微的间隙产生不影响隔振系统的位移响应。然而，随着间隙值的增大，该系统位移与速度响应的二阶统计矩迅速增加。当ξ=0.5 mm时，稳态位移响应的方差与无间隙的情况相差达到了9.1%，而在 ξ=1.0 mm时二者相差达到了16.6%。稳态位移响应的概率密度函数尾部与无间隙隔振系统的差异也随着间隙的增大而增加，如当ξ=0.5 mm 和ξ=1.0 mm 时，概率密度在 10-5处截断，二者在尾部的数值解相差分别达到4.2%和7.5%。更直观地，在响应达至平稳状态时(取T=2.0 s)系统的失效概率与间隙的关系如图9 所示。从图可知，随间隙的增大，系统的失效概率增加，如当 ξ=1.0 mm 时 ，在超越界限b0=27 mm和b0=31 mm下系统失效概率分别由原来无间隙情况下 10-3.5和 10-5增加至 10-2.7和 10-4左右，增加幅度明显。当间隙增大时，相同激励强度下被隔振对象的位移在间隙内的概率增大，此时丝杠“失效”，仅金属橡胶组件参与工作，系统退化成普通的质量-刚度-阻尼线性系统，也就是说，系统隔振的效果降低了。因此，样本中较大位移的样本数量变多，从而导致响应的方差变大，响应的概率密度函数在尾部发散。系统响应样本中接近安全界限的样本数量变多，因此系统的失效概率增加。与以上随机振动分析结果不同，在确定性分析中，当 ξ=2.59 mm时位移响应幅值仅相差5%。以上结果表明，系统间隙对动力可靠性的影响较大。

3.2 非平稳激励下系统响应的近似解

通常一个完整的地面运动包含激励强度的上升段、峰值段与下降段，如果峰值段持时较短，则随机激励不能用平稳激励模型表示。由于可利用平稳激励模型的诸多定性结论及计算处理上的便利，强度非平稳地震模型受到了广泛应用。本文采用该模型即均匀调制函数与平稳激励模型相乘的形式来模拟地面运动。地面运动的均匀调制函数采用IYENGAR 等[24]提出的指数型函数：

其中，参数取值参考了文献[25]中的数值并在其附近取值。

系统响应的统计矩计算结果如图10 所示，由图可知数值结果与模拟结果吻合很好，位移和速度的二阶统计矩都是随着时间的演化呈现先增加后减小的趋势，并且在第 3 s达到峰值。位移响应在不同时刻的概率密度函数如图11 所示，数值方法得到的概率密度函数与模拟解吻合很好，尤其是尾部部分相差较小。另外，概率密度函数曲线随时间演化先出现发散，且在t=3 s时发散程度最大，随后迅速收缩。

系统的失效概率如图12 所示。由图可知，系统的失效概率随时间演化逐渐增加，并在t=4.0 s时达到平稳状态。另外，随着超越界限的增大，系统的失效概率变大。

不同间隙值对系统响应的影响如图13 和图14所示。其中图14 表示的是系统响应的统计矩达到最大值时的位移对数概率密度函数。从图13 和图14 可知，随着间隙值的增大，系统位移响应的统计矩变大，概率密度函数曲线呈发散趋势，表明隔振器随着间隙的增大其隔振效果逐渐降低。在ξ=0.5 mm和ξ=1.0 mm，位移统计矩在达到幅值时与无间隙情况下的统计矩相差分别达到了8.9%和16.4%，概率密度函数尾部相差分别达到4.1%和7.6%。间隙值对系统动力可靠性(取T=4 s)的影响如图15 所示。从图可知，随着间隙增大，系统的失效概率增加，如在超越界限b0=27 mm和b0=31 mm下，在 ξ=1.0 mm时系统的失效概率分别由原来无间 隙 情 况 的 10-3.0和 10-4.4增 大 至 10-2.4和 10-3.6左右，增加幅度明显。另外，与模拟解相比，该方法得到的失效概率趋于保守，且间隙非线性越大，趋势越明显。上述结果表明，无论是在平稳还是非平稳随机激励下，间隙对系统的动力可靠性影响较大，在设计惯容器时应予以考虑间隙非线性对系统的影响。

4 结论

本文研究了含有间隙非线性的惯容橡胶复合隔振器在随机激励下响应的统计特性及系统的可靠性分析。首先，建立了含间隙非线性惯容橡胶复合隔振系统的随机动力学模型，通过随机非线性分析方法推导了含间隙非线性的隔振系统响应的统计矩和概率密度函数，利用双侧Poisson 假定理论求解了系统的失效概率，并进一步研究了平稳激励和非平稳激励下间隙非线性对系统统计特性与动力可靠性的影响。

通过以上算例，可知：

(1)本文采用的计算方法得到的系统响应统计矩和概率密度函数与模拟解吻合很好。

(2)轻微的间隙(半间隙值在0 mm～0.11mm)产生对系统响应的统计特征影响较小，可以按照之前惯容器间隙的简化建模。

(3)当半间隙值大于 0.5 mm 时，系统位移响应的统计矩和概率密度函数与无间隙的结果相比差异较大，系统失效概率大幅度增大。这与在确定性系统分析中的结论有所不同，因此，在设计隔振器时应当予以考虑间隙对动力可靠性的影响。