指数O-U过程下具有不确定执行价格的乘积期权保险精算定价

魏天颖,刘会利

(河北师范大学 数学科学学院，河北 石家庄 050024 )

0 引言

期权作为金融衍生品的一种，赋予了持有者在未来的某个时间以事先约定好的价格买入或者卖出标的资产的权利。在很多情况下，交易期权比交易标的资产要更加方便。近年来，期权定价的问题成为研究的热点。为了适应金融市场的发展，很多新式期权应运而生。乘积期权是以两资产的乘积作为标的物执行的期权，乘积期权在金融市场中应用广泛，如外股本币期权和公司收入期权等。但目前对于乘积期权的研究较少。2017- 2018年，刘佳玥等[1-3]利用测度变换的方法分别研究了在时变参数、跳扩散模型以及Vasicek利率模型下乘积期权的定价及应用。 这些研究工作都假设市场是无套利、均衡、完备的，然而当市场是不完备的，该如何进行期权定价呢? 1998年，Bladt等[4]首次提出期权定价的保险精算方法，之后更多的学者利用该方法对期权进行定价研究。 2012年，何永红等[5]研究了分数布朗运动环境下再装期权的保险精算定价；2018年，李浩然等[6]研究了跳扩散模型随机利率下期权的保险精算定价；2010年，胡攀[7]研究了分数型几何平均亚式期权的保险精算定价； 2020年，张晓倩等[8]研究了随机利率下基于O-U过程的再装期权保险精算定价。保险精算方法不仅对无套利、均衡、完备的市场有效，对有套利、非均衡、不完备的市场也有效。

在现实的金融市场中，利率在较短时间内往往表现出一定的随机性，从长远来看，利率的变化有向其均衡水平靠拢的趋势，资产的价格也常在上升到一定高度后有下降的趋势，这种均值回复行为在金融市场是十分普遍的。2019年，王向荣等[9]研究了Hull-White利率下基于O-U过程的复合期权定价。综合上述分析，我们考虑用Hull-White模型和指数O-U 过程来对利率和标的资产的上述价格变化规律进行刻画。此外为了尽量降低风险，假定执行价格是随机的。基于此，文章首先给出了乘积期权的保险精算价格定义，然后利用测度变换和哥萨诺夫定理，推导出乘积期权的定价公式，拓展了已有文献的研究结果。

1 市场模型和基本引理

设(Ω,F,{Ft}t≥0,Q)为带有域流{Ft}的完备概率空间，{Wi(t),t≥0},i=1,2,3,4，是四个标准布朗运动，且

dWi(t)dWj(t)=ρijdt(i≠j,|ρij|<1)

市场上存在两种标的资产，其价格为Si(t),i=1,2,均服从指数O-U过程:

dSi(t)=[μi(t)-αilnSi(t)]Si(t)dt

+σi(t)Si(t)dWi(t)

(1)

其中σi(t)为标的资产的波动率，μi(t)为标的资产的期望回报率，αi为非负常数。随机利率满足Hull-White利率模型:

dr(t)=[μ3(t)-α3r(t)]dt+σ3(t)dW3(t)

(2)

其中α3为常数，μ3(t)和σ3(t)为时间的确定性函数，分别表示利率的长期均衡水平和波动率。 当μ3(t)为常数时，上式即为Vasicek模型。设K(t)为时刻t的执行价格，满足如下随机微分方程:

dK(t)=K(t)[μ4(t)dt+σ4(t)dW4(t)]

(3)

其中μ4(t),σ4(t)是时间的确定性函数。

引理1 标的资产价格Si(t)，i=1,2，满足的随机微分方程(1)的解为

(4)

证明由(1)可得

-αilnSi(t)]dt+σi(t)dWi(t)

令lnSi(t)=Yi(t)，则

+σi(t)dWi(t)

于是

+σi(t)dWi(t)]

对上式两边由0到t积分整理得

引理2 随机利率r(t)满足的Hull-White利率模型(2)的解为

并且

证明根据(2)式可得

d(eα3tr(t))=eα3t(μ3(t)dt+σ3(t)dW3(t))

那么

则

引理3 随机执行价格K(t)满足的随机微分方程(3)的解为

(5)

证明由伊藤公式可知

+σ4(t)dW4(t)

则

所以有

引理4[6]设(W1(t),…,Wn(t))为测度Q下相互独立的布朗运动，若{Hi(t),t≥0},i=1,2,…,n，是平方可积的Ft-可料过程，设

为测度P下n维标准布朗运动。

其中βi(u)为u(0

2 指数O-U过程下具有不确定执行价格的乘积期权保险精算定价

乘积期权是一种新型的奇异期权，它是以两资产价格的乘积作为标的物执行的期权。 假设标的资产价格Si(t),i=1,2满足(1)，随机利率r(t)满足(2)，不确定执行价格K(t)满足(3)，则到期日为T的看涨、看跌乘积期权在到期日的收益分别为

C(T,S1(T),S2(T))

=max(S1(T)S2(T)-K(T),0)

P(T,S1(T),S2(T))

=max(K(T)-S1(T)S2(T),0)

定义2 到期日为T的具有不确定执行价格的看涨、看跌乘积期权的保险精算价格定义为

其中1B是事件B的示性函数，且

定理1 设标的资产价格Si(t),i=1,2，满足(1)，随机利率r(t)满足(2)，不确定执行价格K(t)满足(3)，则到期日为T的看涨乘积期权的保险精算价格为

C(0,S1(0),S2(0))

-K(0)exp{g(T)

证明由(4)式和定义1可知，对任意的i=1,2,有

于是

(6)

由引理2和引理3可得

-σ3(s)σr(s,T))ds-Λr(T)

(7)

那么

由多维正态分布性质可知，存在相互独立的标准布朗运动{Bi(t),t≥0},i=1,2,3,4,使得

(W1(t),W2(t),W3(t),W4(t))

=(B1(t),B2(t),B3(t),B4(t))CT

C(0,S1(0),S2(0))

:=I1-I2

下面计算I1和I2。由(6)式可得,

是相互独立的标准布朗运动。且

因为

+g(T) }

其中

于是

(8)

另一方面，由(7)式可得

dBj(s)}1A]

dBj(s)}1A]

是相互独立的标准布朗运动，且

I2=K(0)exp{g(T)

又因为

其中

于是

I2=K(0)exp{g(T)

(9)

综合(8)和(9)，定理得证。

定理2 设标的资产价格Si(t),i=1,2，满足(1)，随机利率r(t)满足(2)，不确定执行价格K(t)满足(3)，则到期日为T的看跌乘积期权的保险精算价格为

P(0,S1(0),S2(0))

+K(0)exp{g(T)

其中fi(T,s),cij,g(T),d1和d2的定义与定理1中相同。

证明过程与定理1完全类似。

4 结语

假定利率服从Hull-White模型，标的资产服从指数O-U过程，文章研究了具有随机执行价格的乘积期权保险精算定价。 该方法不仅对无套利、均衡、完备的市场有效，对有套利、非均衡、不完备的市场也有效，拓展了期权定价的应用范围。 此外，该模型考虑到了标的资产价格和利率的波动，以及随机执行价格对期权价格产生的影响，比以往的模型更加具有实际意义。