基于三轴强度预测白垩系冻结砂岩的长期强度

魏尧， 彭惠， 邵广军

(中交第一公路勘察设计研究院有限公司, 高寒高海拔地区道路工程安全与健康国家重点实验室， 西安 710065)

长期强度作为岩石蠕变力学特性的一个重要参数，当蠕变应力超过长期强度后，预示随着时间的推移岩石必将发生蠕变破坏，故而确定岩石长期强度对于预防结构安全、预测岩石可能破坏的时间起到至关重要的作用[1]。西部白垩系富水软岩工程可能长达数年的变形都无法趋于稳定状态，无法避免但又必须慎重预防的岩石蠕变现象。尤其是煤矿井筒应用人工冻结法建设时，冻结井壁表现出的蠕变破坏已然成为煤矿工程安全亟须解决的关键科学问题[2-3]。

众所周知，三轴强度与长期强度间必然存在着关联性。在外国，Schmidtke等[4]以花岗岩为试验样本，通过静态疲劳试验，确定了60%的单轴压缩强度作为长期强度。Szczepanik等[5]对花岗岩进行长期受荷，当荷载到达0.7～0.8倍的试验峰值强度时，峰值强度花岗岩发生了体积扩容现象，此时0.7σs～0.8σs(σs为峰值强度)被确定为长期强度。在中国，张龙云等[6]开展了岩石卸荷蠕变试验，依托岩石稳态蠕变阶段的轴向和径向速率交点来获取长期强度。刘新喜等[7]利用泥质砂岩试样开展了三轴蠕变试验，并基于稳态蠕变速率和蠕变应力的关系，确定70.5%的单轴强度作为长期强度。许多等[8]应用等时应力-应变曲线法，对大理岩的长期强度进行了分析，获取同等条件下三轴抗压强度的82%、73%作为长期强度。刘圣等[9]依据蠕变试验公式，拟合得到了长期强度曲线，分析获取了红砂岩峰后长期强度是峰值强度的42.56%。张玉等[10]通过分析侧向体积扩容应力阈值，发现岩石长期强度与三向稳态蠕变速率的交点值与其基本相同，54%～80%的常规强度作为长期强度。张晋勋等[11]通过试验测定的不同围压冻结砂卵石蠕变曲线获取冻结砂卵石的长期强度为瞬时强度的0.23～0.42倍。李祖勇等[12]对比分析，得到裂纹损伤应力法作为确定岩石长期强度更为精确。王空前等[13]以蠕变曲线簇中的拐点确定页岩的长期强度。王振等[14]以等应变速率曲线为分析基础，确定等应变速率曲线拐点法及极限应变法作为确定岩石长期强度的分析手段，同时试验获取长期强度值分别为常规强度值的66.9%(围压σ3=0)、68.0%(σ3=6 MPa)、79.6%(σ3=10 MPa)。通过现有的三轴强度试验设备，力学强度能实现方便、精准和快捷的测定，但长期强度受到多方面因素还无法实现精准确定。假设能通过力学强度来预测长期强度，将为白垩系地下工程的安全稳定性提供至关重要的作用。

大量学者确定岩石长期强度主要应用蠕变特性曲线，崔希海等[15]以蠕变曲线为基础，得出横向稳定蠕变的阈值应力，此拐点作为岩石蠕变长期强度。武东生等[16]应用稳态蠕变速率法、过渡蠕变法和等时曲线法三种方法，对比分析了灰岩的长期强度。陈龙[17]分通过轴向和径向的等时蠕变速率曲线来确定岩石长期强度。王闫超[18]通过对泥岩的三轴蠕变试验，采用体积扩容法，确定了泥岩的长期强度。王贵君等[19]为研究强层理性硅藻岩的蠕变力学特性，得到长期强度远小于瞬时强度的试验结果。宋勇军等[20]认为岩石蠕变过程是硬化和损伤不断发展的动态耦合效应，岩石的长期强度值可以使用损伤软化的应力阈值来确定。目前，确定岩石长期强度的计算理论和方法十分少见，直接法和间接法作为目前研究岩石蠕变长期强度的主要方法，却又存在着一些不足。直接法需要大量的时间并且耗费更多的人力财力，而未能被广泛应用。间接法是以室内试验为基础，被学者认识是确定岩石长期强度的重要手段[21]。

综上所述，学者们在获取长期强度的研究手段上有相近之处，但存在着不同的定义方法，进而计算结果有一定差异性。故而现基于已有的西部白垩系冻结砂岩三轴强度[22]，以三轴压缩蠕变试验为基础，将多级荷载蠕变曲线通过等时曲线法和稳态蠕变速率与应力法进行计算，对比分析两种间接法在确定冻结砂岩长期强度时的优劣，确定能正确反映白垩系冻结砂岩的长期强度的手段。结合力学强度与长期强度的比值，定量分析二者的相关性，将为西部白垩系砂岩预测长期强度及蠕变荷载作用下可能发生破坏的时间提供重要的科学依据。

1 试验准备

1.1 岩样选取

岩石样本依托白垩系富水砂岩，颜色呈暗红，由泥质胶结物组成。岩石经过钻、切、磨工序加工成标准圆柱体作为三轴蠕变压缩试验试样，试样尺寸φ50 mm×100 mm。加工好的标准岩样经过声波测试，筛选出波速相近的样本进行后续试验，其目的是减小岩石样本的离散型对试验结果的造成误差。砂岩样本如图1所示。

图1 砂岩样本Fig.1 Sandstone samples

1.2 蠕变试验设备

试验设备依托高寒高海拔地区道路工程安全与健康国家重点实验室FRTX-500型岩石三轴蠕变压力试验机完成，如图2所示。设备总共包含五个组成部分，轴向、围压和孔压三个加载系统，一个高低温控制系统，一个信息采集和处理系统。设备可提供最大轴压500 kN，最大围压140 MPa，精度为0.1%。加载过程中压力仓内的岩石可进行温度动态调整，包括升温降温幅度值(范围是-30～80 ℃)，升温降温速度值。试验设备可完成低温条件下饱和冻结砂岩的三轴蠕变试验，也可以同步岩石蠕变过程中的轴向应变值、径向应变值等力学参数。

图2 蠕变试验机Fig.2 Creep testing machine

1.3 蠕变时间尺度

岩石蠕变是时间效应下的累积问题，在实际工程中存在着很长一段时间使岩石发生蠕变。但在实验室内，受到试验条件、技术和资源等多个方面条件的制约性，岩石室内蠕变试验只能开展几天，或者几个小时，极少数的蠕变试验可以维持几个月或者几年，与实际工程岩石蠕变过程相比而言，室内蠕变试验的时间少之又少。学者们又不得已要应用室内短时蠕变试验结果来反算实际工程长时蠕变问题，这就使学者们不得不用科学严谨的态度去对待室内蠕变试验的整个过程。依托前人研究成果，综合考虑多因素，慎重分析蠕变时间效应，表明实际工程的蠕变问题可以通过室内短时蠕变试验来说明。

此外，由于试验岩样为结构性岩石，具有高灵敏度，长时间的试验过程可能会引起岩样的扰动，在试验过程中某些性质的改变也可能会影响试验精度，较长时间能否保持持续的实验室的温度和湿度也将影响蠕变特性，由此看来，蠕变试验持续时间并不是越长越好。因此本文试验设计选取室内蠕变时间为12 h，蠕变时间较短但从随后的蠕变试验结果分析，设计的蠕变试验能在较短时间内达到预期的目标。

1.4 蠕变试验条件

蠕变加载方式采用分级加载，加载应力根据常规三轴压缩轴向峰值强度确定，蠕变试验与常规三轴压缩试验的围压相同。针对软岩，其屈服强度较低，岩石裂纹稳定性扩展阶段较长，砂岩的蠕变加载等级从三轴压缩试验峰值的20%开始施加，荷载增量为峰值的10%，即20%、30%、40%、50%、60%、70%、80%、90%来研究砂岩在加载等级小于岩石屈服强度时的蠕变特征和大于岩石屈服强度表现出来的蠕变特征。

应用冻结法施工时，低温盐水的控制温度为-30 ℃左右，平均温度为-10 ℃。综合考虑，选取+20、-10、-20 ℃作为蠕变压缩试验的温度变量。白垩系富水软岩地层埋深为200～450 m，采用经验公式P0=0.013H取值，其中P0为地层水平压力(MPa)，H为埋深(m)，根据典型的白垩系富水软岩矿井地应力测试结果，将三轴压缩试验的围压确定为0、2、4、6 MPa。

1.5 蠕变试验步骤

(1)岩样的安装：将制备的饱和冻结砂岩放置于钢垫块的中心位置，为了有效减小岩石表面和内部水分的蒸发，降温过程岩石表面发生的水分迁移，需要对岩石表面进行凡士林密封处理，以保证试验的准确性，同时使用橡胶密封套进行密封处理。

(2)位移传感器的安装：首先将环向位移传感器放置于试样中部，并保持水平，待环向位移传感器放置完毕后，放置竖向位移传感器，注意两个方向的传感器不能接触，以免在试验加载过程中传感器之间相互接触造成试验失败。

(3)试验温度的设定：在压力仓内注入围压油，开启控温系统，对压力仓进行低温冻结，降温速度为每小时10 ℃。当从室温降至试验设计温度后，进行温度保持，维持至少8 h后方可下一步试验，原因是足够长的冻结时间才能使得饱水岩石内部发生全部冻结。

(4)施加压力：GCTS(geotechnical consulting and testing systems)中编写蠕变加载程序，应用应力控制的方式，同时进行轴压和围压的施加，轴压按照第一级荷载(20%的偏应力)，加载速率为0.6 MPa/min，以防止产生加载速率，并对试验结果造成影响；围压按照设计强度进行施加，加载速率为0.6 MPa/min，到达目标值后恒定12 h；系统会自动进入下一级荷载，此时围压保持不变，增加轴压至30%偏应力，继续加载12 h；依次循环，40%、50%、60%、70%、80%和90%的偏应力，直至冻结砂岩破坏，整个试验压力仓的温度始终需要保持为试验设计温度。

2 冻结砂岩蠕变试验及长期强度确定

2.1 冻结砂岩蠕变试验结果

不同温度、不同围压条件下白垩系砂岩蠕变力学特性的研究是在同条件下砂岩常规力学参数基础之上开展进行的，而长期强度的间接获取又需要通过蠕变特征曲线进行分析。开展了温度+20、-10、-20 ℃，围压0、2、4、6 MPa，共计12种工况的蠕变压缩试验。以+20 ℃和0 MPa，-10 ℃和0 MPa，-20 ℃和0、2、4、6 MPa为例，罗列出蠕变分级加载蠕变曲线，分析说明依托12种工况的试验结果进行。

σ1为偏应力，(0.1～0.8)σ1为轴压，即轴压取10%～80%的偏应力图3 部分分级加载蠕变曲线Fig.3 Partially loaded creep curve

将试验直接获取的蠕变全程曲线通过“陈氏加载法”的处理方法转化为分级加载蠕变曲线，获得了不同围压条件下，轴向蠕变应变与时间关系曲线，如图3所示。

(1)不同加载系数作用后，砂岩均会发生一段明显的瞬时变形，随后衰减至稳态阶段，此时蠕变损伤效应小于岩石硬化效应。

(2)加载系数较小时，砂岩不具备明显的蠕变特性，由衰减进入稳态阶段后，蠕变量变化缓慢。随着加载系数的提高，蠕变特性开始增强，蠕变速率会随着时间的推移越来越大。当加载系数增加到一定值后，出现了非线性加速蠕变阶段，此刻硬化效应远远低于蠕变损伤效应，砂岩出现宏观裂纹，有了实质性损伤，预示着破坏随之而来。

(3)围压相同，当温度越低，所对应的蠕应变值将会越小，需要的蠕变破坏荷载却越大，同时持续加载时间就要越长，表现出的非线性蠕变特性越显著。表明冻结作用影响水变成冰后，增强了砂岩颗粒的力学特性，颗粒之间的结合作用力也同时得到了增强。砂岩的脆性与塑性得到了同时增强，但塑性的增强效果不如脆性，此条件下需要较大的荷载值才能使岩石发生破坏，宏观上表现为应力增强，应变降低。

(4)温度相同，围压越大，所需蠕变破坏的应力就要越大，岩石的韧性会越强。

2.2 应力-应变等时曲线簇法确定冻结砂岩长期强度

将分级加载蠕变曲线每级加载时长12等分，每1 h作为一个时间点ti，在此时间点处沿ε(应变)轴方向延长交于分级荷载曲线上，交点沿横坐标σ(应力)延长与分级荷载的荷载值在横坐标σ中标记的σ1、σ2、σ3延ε轴方向相交，分别获取时间t1的N个交点，绘制等时曲线簇。随后按照同样的方法，绘制t2～t12，获取12条等时曲线簇。

通过图4非线性蠕变曲线簇，可以分别得到轴向应变-应力等时曲线簇、径向应变-应力等时曲线簇、体积应变-应力等时曲线簇。

图4 非线性蠕变曲线簇Fig.4 Nonlinear creep curve cluster

2.2.1 轴向应变-应力等时曲线簇

按照上述原则，得到不同温度，不同围压下砂岩的轴向应变等时曲线簇，以T=-20 ℃，σ3=0为例，图5所示冻结砂岩的轴向应变等时曲线簇。

岩石长期强度以曲线簇拐点所对应的应力值作为确定点[23]，单独的一条应力应变等时曲线，随着施加荷载的增长，曲线具有非线性增强的特点，表现为曲线由线性向非线性过渡。蠕变时间的推移，轴向应变-应力曲线簇同步表现出显著的非线性特征，曲线簇向着应变轴倾斜；以1 h作为时间间隔，应变-应力曲线簇在高应力作用下，轴向应变的增加量会因时间的推移而明显增大，在曲线上表现为曲线簇由密集变疏松。

2.2.2 径向应变-应力等时曲线簇

按照与轴向应变等时曲线簇相同的处理原则，考察径向应力-应变等时曲线簇，按照每1 h绘制等时曲线，工况T=-20 ℃，σ3=0的砂岩径向应变-应力等时曲线簇如图6所示。

施加每级荷载条件下，径向应变-应力等时曲线簇同样具有十分明显的拐点，此特征点可以直接反映蠕变变形受到时间推移的影响。低加载系数对应的低荷载，岩石未能发生显著地变形，应力-径向应变等时曲线簇表现出线性增加；加载系数提高后，应力-径向应变等时曲线簇线性特性减弱，表现出明显的非线性特征，蠕变时间越长，曲线簇的曲率就会越大。总体变形特征与轴向应变-应力等时曲线簇相同。

图5 T=-20 ℃，σ3=0砂岩轴向应变-应力等时曲线簇Fig.5 T=-20 ℃，σ3=0 sandstone axial strain-stress isochronous curve cluster

图6 T=-20 ℃，σ3=0砂岩径向应变-应力等时曲线簇Fig.6 T=-20 ℃，σ3=0 sandstone radial strain-stress isochronous curve cluster

2.2.3 体积应变-应力等时曲线簇

图7所列举的试验条件下体积应变等时曲线簇，在15.453 MPa处最密集，认为曲线簇在该处相交，当所施加荷载值小于上述荷载时，砂岩发生蠕变行为，随时间的推移体积会发生挤压而减小，体积应变却会呈现增加的趋势，直至裂隙被完全压密后进入下一阶段变化；当所施加荷载值大于上述荷载，但同时又小于线性-非线性拐点时，体积应变等时曲线簇一直处于密集状态，此阶段内岩石内部出现稳定的裂纹发展现象，体积应变开始减小，没有明显的加速扩容状态；而当所施加荷载值大于线性-非线性拐点时，在此阶段内岩石体积迅速膨胀，体积应变等时曲线簇变的越来越稀疏，内部产生大量微裂纹且迅速发生裂纹贯穿，直至岩石断裂破坏。

图7 T=-20 ℃，σ3=0砂岩体积应变-应力等时曲线簇Fig.7 T=-20 ℃，σ3=0 sandstone volume strain-stress isochron curve cluster

同时体积应变等时曲线簇中包含着两个蠕变特征点，如图7中所示，一个是应力特征点M，认为是随时间的增长，体积应变没有明显或者很小变化所对应的应力点。当蠕变施加荷载小于应力特征点M时，蠕变历程中岩石体积会缩小，但体积应变会增加；当蠕变施加荷载大于应力特征点M时，蠕变历程中岩石体积有扩容现象，此时体积应变会缩小。另外一个是应力特征点N，该点将作为衡量判定岩石长期强度的一个指标点。基于以上两个特征点，将体积应变等时曲线簇划分三个区段：①起始点→应力特征点M，岩石处于裂纹压密阶段，未闭合的孔隙在荷载的作用下会发生闭合，整个时间段内岩石均处于弹性范围；②应力特征点M→应力特征点N，此时岩石步入塑性范围，蠕变荷载持续增加使其骨架发生断开，颗粒发生错位，新生出少量微裂纹；③应力特征点N→岩石破坏，损伤效应在此阶段内发生明显，微裂纹的扩展、贯穿，岩石发生了实质性累积损伤断裂，在较短的时间内会发生整体破坏。

通过比较轴向应变-应力、径向应变-应力、体积应变三者的等时曲线簇，显而易见体积应变等时曲线簇的特征拐点最为有意义，且表现明显，对于时间和荷载同时也有着强烈的敏感性，说明体积应变等时曲线簇更适合用来确定岩石的长期强度。在等时曲线簇上可见拐点，按线性关系拟合拐点前后段曲线，拟合直线交点处的应力即为长期强度。利用相同的计算方法得到其余各工况下砂岩的长期强度值，见表1所示。

表1 体积应变等时曲线簇法确定的砂岩长期强度值Table 1 Long-term strength value of sandstone determined by volume strain isochronous curve cluster method

2.3 稳态蠕变速率和应力水平的关系确定冻结砂岩长期强度

依据蠕变特征曲线，研究稳态蠕变速率和加载应力的关系。当蠕变荷载小于岩石长期强度时，稳态蠕变速率理论值应该为零，此条件下不会发生蠕变变形；当蠕变应力大于长期强度后，岩石蠕变特征为蠕变三阶段，在历经稳态蠕变阶段后会瞬间存在某一不为零的蠕变速率，此后速率不断变化并进入加速蠕变阶段且逐渐发生蠕变破坏。荷载的增大，会导致稳态蠕变速率越来越大，并且稳态蠕变阶段所能维持的时间就会越来越少。故而，可以确定稳态蠕变速率从零变为非零的那一刻，所对应的最大蠕变荷载值作为岩石的长期强度。

图8 T=-20 ℃，σ3=0砂岩稳态蠕变速率和应力水平Fig.8 T=-20 ℃，σ3=0 sandstone steady-state creep rate and stress level

根据上述分析原理，绘制出不同加载系数下的稳态蠕变速率与相应系数下的蠕变荷载相关曲线，部分稳态蠕变速率和应力水平变化如图8所示。应用稳态蠕变速率-蠕变荷载相关曲线上的特征拐点作为衡量岩石长期强度的指标，为了寻找特征拐点，需要将拐点之前之后的曲线分别进行直线拟合，而拟合的两条直线交点可认为曲线的特征拐点。原因是，蠕变荷载处于低水平下，稳态阶段内的蠕变速率接近为零，所以曲线在此阶段的求导拟合直线应该与横坐标重合。

对于特征拐点之后的曲线进行求导线性拟合时，其必然与横坐标形成一个焦点，此点作为曲线的特征拐点。

使用幂函数、指数函数两种形式来确定拟合稳态蠕变速率和与蠕变荷载的相关曲线。用线性函数来拟合拐点之后的求导曲线，计算拐点之后的线性函数与应力坐标轴的交点值，从而确定岩石长期强度，计算函数见表2所示。同理，相同的计算方法得到其余各工况下砂岩的长期强度值，见表3所示。

表2 稳态蠕变速率和应力水平确定的函数值Table 2 Function values determined by steady-state creep rate and stress level

表3 稳态蠕变速率和应力水平确定的砂岩长期强度值Table 3 Long-term strength values of sandstone determined by steady-state creep rate and stress level

3 三轴强度与长期强度关系

3.1 不同方法确定长期强度对比

对比分析体积应变等时曲线簇和稳态蠕变速率-应力水平的关系二者确定的岩石长期强度，应用表1和表3得到对比，如图9所示。由图9可得：

(1)体积应变等时曲线簇所确定的长期强度基本略大于稳态蠕变速率-应力水平相关曲线所计算的长期强度，这是由于将稳态蠕变速率默认为零进行处理，而真实情况稳态蠕变速率应该是一个很小却不为零的值，特征拐点的前段线性拟合斜率应大于横坐标轴，那么特征拐点后段的线性拟合直线与坐标轴的交点应该在特征拐点后段的线性拟合直线与蠕变速率非零拟合直线交点的左边，导致应力值会偏小。

(2)围压的存在增大了岩石的变形能力，同时低温又能使砂岩脆性增强，当蠕变荷载超过长期强度后，蠕变会进入加速阶段，相同时间间隔试验设备采集的蠕变数据点就会开始减小，在进行特征拐点后段曲线的线性拟合时，就会发生一定的偏差。在温度和围压同时作用时，三种确定方法未能表现出明显的变化规律。稳态蠕变速率-应力水平曲线更加依赖于加速阶段蠕变数据，计算岩石长期强度时才能减小误差，特别是蠕变荷载大于长期强度后的变形特征。

(3)分析由体积应变等时曲线簇、指数函数和幂函数三种方法确定的长期强度关系，以T=+20 ℃、σ3=0为基准。由图10(a)可见当围压增加时，σ体积-σmax在逐步增加；而指数函数与幂函数差的绝对值在逐步减小；图10(b)可见当温度降低时，σ体积-σmax和指数函数与幂函数的绝对值差都在逐步增大。σ体积为体积等时曲线簇法确定的长期强度;σmax为指数函数和幂函数两者中的较大值。

不同温度、不同围压用等时体积应变曲线簇确定的长期强度值依托蠕变全过程计算冻结砂岩的长期强度，依托特征点进行分析确定，并且具备明确的含义；稳态蠕变速率-应力水平主要依托全过程内的稳态速率，且对加速阶段内的稳态速率有着较强的依赖性，使用指数函数与幂函数确定的长期强度值基本相同，二者在计算时存在着接近相同的偏差，进而结果也相近。综上所述，冻结砂岩的长期强度值，以体积应变等时曲线簇确定的值，结果会更接近真实值。

3.2 长期强度与三轴力学强度比较

以体积应变等时曲线簇确定砂岩长期强度，与三轴力学强度进行比较分析，列于表4。

由表4可见，+20 ℃环境下砂岩的蠕变压缩强度为常规三轴压缩强度的45.7%～50.7%；-10 ℃环境下砂岩的蠕变压缩强度为常规三轴压缩强度的41.8%～53.4%；-20 ℃环境下砂岩的蠕变压缩强度为常规三轴压缩强度的51.5%～67.1%。针对西部富水白垩系地层岩土工程设计中，需要充分考虑冻结岩石的时效强度，继而可以减小岩土工程施工设计中的经济成本。对于时间为无穷大所对应的冻结岩石强度设计时，需要特别注意长期强度对于工程安全性的影响。

图9 不同温度、不同围压的砂岩在不同计算方法下的长期强度对比Fig.9 Comparison of long-term strength of sandstones at different temperatures and different confining pressures under different calculation methods

图10 长期强度确定方法对比分析Fig.10 Comparative analysis of long-term strength determination methods

表4 砂岩常规强度与长期强度比较Table 4 Comparison of conventional strength and long-term strength of sandstone

4 结论

以饱和冻结砂岩为例，开展不同围压和不同温度条件下的三轴蠕变压缩，分析了不同条件下冻结砂岩的蠕变特性及破坏形态。对比分析两种间接法在确定冻结砂岩长期强度时的优劣，确定能正确反映白垩系冻结砂岩的长期强度的手段。结合三轴强度与长期强度的比值，给出了合理范围，结果将为西部白垩系砂岩预测长期强度提供重要研究意义。

(1)轴向应力施加瞬间，饱和冻结砂岩产生瞬时应变，不同加载系数、不同温度和不同围压条件下，瞬时应变量都对总应变量贡献最大，蠕变破坏等级下蠕变应变量明显大于其他加载等级下的蠕变应变量。低应力水平下，饱和冻结砂岩表现为衰减蠕变和稳态蠕变的特征，高应力水平下，饱和冻结砂岩将存在加速蠕变阶段，在蠕变破坏荷载下，饱和冻结砂岩能展示出明显的蠕变三阶段特征。

(2)砂岩在+20 ℃环境下，围压的增大，使得饱和砂岩的蠕变破坏宏观形态，从张拉破坏过渡为剪切破坏。但在-10 ℃和-20 ℃低温冻结环境下，围压从0到6 MPa，饱和冻结砂岩破坏形态从剪切破坏向端部塑性硬化失稳形态发生过渡。

(3)比较分析了砂岩轴向应变、径向应变和体积应变等时曲线，其中体积应变等时曲线簇上的拐点更明显，且易于确定。砂岩稳态蠕变速率与应力水平的关系可以用指数函数、幂函数进行描述，通过曲线拐点来确定砂岩的长期强度。曲线拐点确定长期强度时，需要丰富的数据点，且计算值由于假设使计算值小于体积应变等时曲线簇法计算而来的，所以最终确定体积等时曲线簇法作为确定了砂岩的长期强度计算方法。

(4)获取了蠕变长期强度与三轴力学强度之比，得到+20 ℃环境下砂岩的蠕变长期强度为三轴压缩强度的45.7%～50.7%；-10 ℃环境下砂岩的蠕变长期强度为三轴压缩强度的41.8%～53.4%；-20 ℃环境下砂岩的蠕变长期强度为三轴压缩强度的51.5%～67.1%。