沿绳方向加速度问题的深入思考

邓 伟

(重庆市开州中学 405499)

高中阶段与绳连接有关的速度、加速度问题极为常见.处理绳牵连模型中速度分解问题时，教师经常用到的结论：沿绳方向的速度大小相等.但又引出另外一个值得我们深思的问题：沿绳方向的加速度大小是否相等？

1 一道联考题的思考

在一次区域联考中，笔者遇到一个很有争议的题目，题目如下：

例1如图1所示，将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m的环，环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑定滑轮与直杆的距离为d.现将环从与定滑轮等高的A处由静止释放，当环沿直杆下滑距离也为d时(图中B处)，下列说法正确的是(重力加速度为g)( ).

A．环刚释放时轻绳中的张力等于2mg

D．环减少的机械能大于重物增加的机械能

图1

原参考答案：B.

解析环刚开始释放后，重物由静止开始加速上升，故重物有向上的加速度，根据牛顿第二定律有F-2mg=2ma,得F>2mg，故A项错误；

有教师认为：环刚开始释放时，环的加速度为g，通过沿绳方向加速度相等，得到重物在环释放瞬间加速度为0，则绳的张力F=2mg，故A正确.那究竟哪种说法是正确的呢？

2 沿绳方向加速度关系与速度关系是否相同

假设沿绳方向加速度与速度的关系是一致的，以例1为例，设环到B点的加速度向下为aB，此时绳与杆的夹角为θ，若我们类比速度之间的关系，可以得到重物加速度a物=aBcosθ.再用特例进行反证：如果环下落到B点前，在外力作用下已保持匀速下落，在B点对环分析，有aB=0，从加速度关系可得，重物上升加速度a物=aB=0，说明重物也是匀速上升.但从速度关联的角度，当环匀速下落时，因为两者速度满足v物=vBcosθ，当环下落过程中，角度θ越来越小，利用余弦函数得出重物上升速度是越来越大的，说明重物的加速度竖直向上不为0.两个结论产生了矛盾，说明假设不成立：沿着绳方向加速度关系与沿绳方向速度关系不一定相同.

3 沿绳方向加速度关系的推导

同样借助例1，用数学方法来推导：

图2

[f(g(t))]′=f′(g(t))·g′(t)得：

①

②

③

④

将②③④式代入①式得：

⑤

⑥

综上分析，我们可以得出结论：环的加速度沿绳的分量等于重物上升加速度(左端绳子伸长的加速度)与环绕点转动的向心加速度矢量和.

4 高中范围内，哪些情况物体沿绳方向加速度相等

4.1 绳两侧的物体速度方向与连接的绳平行，都做直线运动，不存在绕点转动.

例2如图3所示，A、B两小球由绕过轻质定滑轮的轻绳相连，A放在固定的光滑斜面上，B、C两小球在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，C球放在水平地面上.现用手控制住A，并使轻绳刚刚拉直但无拉力作用，并保证滑轮左侧轻绳竖直、右侧轻绳与斜面平行.已知A的质量为4m，B、C的质量均为m，重力加速度为g，轻绳与滑轮之间的摩擦不计.开始时整个系统处于静止状态；释放A后，A沿斜面下滑至速度最大时，C恰好离开地面.求：斜面的倾角α；

图3

解析:由题意可知，当A沿斜面下滑至速度最大时，C恰好离开地面，C的加速度为0；AB加速度时刻相等，此时为零.将ABC作为一个整体：

由牛顿第二定律得4mgsinα-2mg=0，

4.2 物体做圆周运动存在绕点转动的情况，但速度为0

物体即使存在绕点转动的情况，如果速度为0，向心加速度也为0，所以沿绳方向的加速度仍然相同，这些情况一般出现在开始运动时或运动结束时.

例3(2018江苏卷)如图4所示，钉子A、B相距5l，处于同一高度．细线的一端系有质量为M的小物块，另一端绕过A固定于B．质量为m的小球固定在细线上C点，B、C间的线长为3l．用手竖直向下拉住小球，使小球和物块都静止，此时BC与水平方向的夹角为53°.松手后，小球运动到与A、B相同高度时的速度恰好为零，然后向下运动．忽略一切摩擦，重力加速度为g，取sin53°=0.8，cos53°=0.6.求：

图4

(3)小球向下运动到最低点时，物块M所受的拉力大小T.

对例1分析，也属于第二类情况，由于初速度为0，所以沿绳方向加速度相同，由于初始位置的绳子与环的加速度方向垂直，故重物上升加速度为0，此时绳子的拉力等于物体受到的重力，故A选项为正确答案.

5 综述

通过对沿绳方向加速度问题的深入思考，可以得如下结论：连接体沿绳方向加速度的关系与速度间的关系不一定相同.我们既要考虑平动的加速度，也要考虑转动时的向心加速度.在高中物理绳牵连模型中，下列两种情况的加速度与速度关系是相同的：第一，绳两侧的物体速度方向与连接的绳子平行，都做直线运动，不存在绕点转动的情况；第二，物体做圆周运动存在绕点转动时，但速度为0的情况.