基于马里奥特装置的恒流特性验证伯努利定理

袁朝圣,李海宁

(郑州轻工业大学 物理与电子工程学院，河南 郑州 450002)

伯努利原理是在流体力学的连续介质理论方程建立之前，水力学所采用的基本原理，其实质是流体的机械能守恒，在航天工程、水利工程、建筑工程、土木工程等专业均有广泛的应用[1,2]。本设计性实验在马里奥特装置恒流特性的基础上，对伯努利方程进行验证。首先，设计和自制了马里奥特装置，探索了实验多种因素对马里奥特装置中流体的流速影响，验证了流体的流速与潜水位之间的关系。在马里奥特装置的基础上，设计不同的链接方案，测量流管中不同位置处流体的压强和流速，对伯努利方程进行了验证。本次探索性实验的创新点在于巧妙利用马里奥特瓶的恒流特性，通过测量流管中水的压力和流速对伯努利方程进行验证。该设计性实验的实验装置设计巧妙、实验操作简单、实验结果可靠，对伯努利方程进行了较好的验证。

通过本设计性实验，能够使学生更好地理解马里奥特瓶原理，通过马里奥特容器中影响液体流速的影响因素的讨论，更加直观地感受马里奥特的恒流特性；基于马里奥特的恒流特性，分析同一流线下流体的压力和流速的关系，验证流体伯努利定理；引导学生对伯努利定理进行拓展实验，探索和认识其新的形式和应用，培养学生的创新思维和动手能力。

1 实验原理

1.1 马里奥特瓶实验原理

马里奥特瓶是一种能控制水位且能自动连续补水的测量装置，利用导管在液体中的深度可调控液体的流量和流速[3,4]。图1是马里奥特瓶的示意图，保持导管与外界气压隔离。

图1 马里奥特瓶示意图

当打开流水管开关时，液体在重力的作用下流出，同时在装置的顶端留下真空，所以在负压的作用下达到平衡，液体不再流出。此时如将导管与大气联通，则将瓶中的液体分成了两部分。对于导管底部以上的液体，由于大气压和顶端负压的作用，与重力平衡。对于导管底部以下液体，则是在自身重力作用下由出水管流出。同时由于整体液面的下降，对端的负压增加，空气由导管进入顶端，保持受力平衡。因此，该动态过程的结果为恒压作用下的恒流过程。马里奥特瓶的流量和流速与导管底端和出水管之间的高度差(Δh)密切相关[5]。

1.2 伯努利定理

伯努利定理是指理想流体沿流管作定常流动时，流动速度增加，流体的静压将减小；反之，流动速度减小，流体的静压将增加。其中，最著名的推论是：等高流动时，流速大，压力就小[6]。伯努利定理是无粘性正压流体在有势外力作用下，沿流线作定常运动时总能量守恒的一个定理。定常流动时，运动方程的第一积分可写成如下形式：

(1)

(2)

其中P和ρ分别为流体的压力和密度；C为积分常数，它沿同一条流线取同一常数值，不同流线可取不同的值，因此C是流线号码ψ的函数。在不可压缩均质重流体情形，方程(1)变为

(3)

(4)

式中g为重力加速度，z为垂直高度。

C1(ψ)和C(ψ)之间的关系为

C1(ψ)=C(ψ)/g

(5)

因此，伯努利原理常被表述为

(6)

该式被称为流体伯努利方程。式中P为流体中某点的压强，ν为流体该点的流速，ρ为流体密度，g为重力加速度，h为该点所在高度，C是一个常量。对于不同的情况(如图2所示)，伯努利原理也可表述为

图2 伯努利原理模型示意图

(7)

2 实验装置

设计性实验设备主要包括自制的马里奥特装置，验证伯努利方程的流管，用于测量流速和压力的超声波流量计和压力传感器。

2.1 马里奥特装置

马里奥特测量装置(如图3)为定制的亚克力长方体及相关PVC导管组成。长、宽、高分别为30 cm、30 cm、40 cm。装置顶端开有直径(Φ)分别为9 mm、14 mm、29 mm、50 mm的孔，且每个孔上都装有对应尺寸的橡皮塞进行密封，并配备了与孔径尺寸相匹配的导管(长均为50 cm)。导管可上下移动，与孔接触处通过橡胶垫进行密封，导管上端由橡胶塞保持密闭。装置的下端有一水平出水口，出水口内径为14 mm，出水口导管与长约100 cm内径为14 mm的PVC导管连接，PVC导管连接出水端装有开关。超声波流量计探头置于PVC导管相应位置进行测量流速。

图3 马里奥特装置模型示意图

2.2 压力传感器装置

实验中流体压力采用WMB-HX高精度数显LED压力变送器进行测量，量程0～2 KPa、输出4～20 Ma、供电24 V、精度±2.25%。压力变送器的测量端通过与导管同直径的接头接入导管。实验前，压力变送器进行了零点校准。

2.3 手持式超声波流量计

流体的流速测量主要采用超声波流量计。超声波流量计为WSD-2000H手持式超声波流量计(含探头)，该流量计精度为±1%，线性度为0.5%，重复性为0.2%，适用于DN15～DN6000 mm管道流体测量，流速测量范围0.01～32 m/s。安装该流量计的传感器通过接触管道外壁，即可实现对液体流量等进行无接触测量。

2.4 连接导管

对于伯努利方程的验证，本实验通过PVC材质的长导管、直角弯头、三通管等进行设计和连接，验证了两种不同连接方式下的伯努利方程。

3 实验内容与步骤

3.1 验证马里奥特瓶的恒流特性

实验基于马里奥特装置，同时借助超声波流量计进行流速的测量，具体实验步骤如下：

(1)组装马里奥特液体测量装置，检查装置密闭性。

将装置按照图3进行组装，将各导管插入顶端孔中并置于装置中间高度处，安装出水管，放置超声波流量计探头。首先，关闭出水导管，将水注水至h=30 cm。用橡皮塞将顶端各导管塞紧，对接口处做好密封。打开出水管开关，让水自然流出，注意观察液面高度。若液面在短暂下降后保持恒定，且能维持5分钟以上，则说明整个装置密闭性良好；反之，则装置密封性不够，需要查找漏点，重复上述实验，做好密封。将超声波流量计探头安装在出水管上，调节探头方向和位置，并进行调零。同时，为了减小超声波流量计的误差，在探头表面涂上装置配套的耦合剂，确保二者密切接触。

(2)不同高度差(Δh)对马里奥特装置流速的影响。

装置中注入水至h=45 cm，选取Φ=9 mm导气管插入装置中，并调节导气管底端距离出水口的高度差Δh=10 cm。打开出水口开关，采用超声波流量计每间隔5 s记录一次出水管中水的流速。然后调节Δh=15 cm和20 cm进行重复实验，并记录水管中的流速。此外，为了便于比较，实验还设计了装置上端直接开口(Φ=9 mm)条件下的流速测量，测量方法与以上实验相同。

(3)管径Φ尺寸对马里奥特装置恒流特性的影响。

装置中注入水至h=45 cm，选取Φ=9 mm，14 mm和29 mm导管进行装置的流速测量实验。为了便于比较，分别将导管置于高度差Δh=10 cm、15 cm和20 cm进行流速测量。实验步骤和方法与步骤(2)相同。

3.2 伯努利方程的实验验证

利用马里奥特装置的恒流特性，为流体伯努利方程验证提供稳定的压力和流速。这里采用h=45 mm，Φ=14 mm，Δh=20 cm条件为伯努利方程验证提供恒流源。

(1)根据机械能守恒，验证伯努利方程

首先，将导管连接成“π”行(如图4所示)，将压力传感器和超声波流量计安装在对应位置处。以桌面为基准面，则液体在导管中上升的高度为5 cm。缓慢打开出水口开关，排除流水导管中的空气。待空气全部排出后，开始记录压力传感器和超声波流量计的示数，记录步长为5 s。为了消除实验误差，不改变实验条件，重复上述过程，对压力和流速测量2次。

图4 伯努利方程验证组装图

(2)伯努利方程的拓展实验

将主流水管与两个相同直径的支流管连接，分别测量主导管和支流管中的流速和压强，探索主流管与支流管中伯努利常数的关系。导管连接如图5所示，并与马里奥特装置的恒流管连接，然后分别在主流管和支流管上安装压力传感器和超声波流量计。实验中的恒流条件与(1)保持一致。打开导管末端开关，排除导管中的空气，让水自然流出，并间隔5秒记录主流管和两个支流管中的压力和流速。不改变实验条件，重复上述实验步骤，对压力和流速测量2次。

图5 伯努利方程拓展实验组装示意图

4 数据处理

4.1 马里奥特瓶恒流特性验证

恒流特性见图6。

时间/s

(1)马里奥特装置的流速与高度差(Δh)的关系

表1为Φ=9 mm，Δh=10 cm、15 cm、20 cm条件下不同时刻流管中的流速测量结果。为了对比，表1还给出了上端直接开口(孔径为9 mm)时，流管中流速测量结果(对照组)。由表1可做出流速与时间的关系曲线(图6)。由图6可知，当上端直接开口时(对照组)，导管中水的流速迅速下降，这主要是由于装置中水越来越少，流水管的压力随之减小，流速也就降低。但是，相比马里奥特装置测量的结果，二者的流速随时间的变化趋势明显不同。马里奥特装置中水的流速基本不随时间的变化而保持恒定。此外，对比Δh=10 cm、15 cm、20 cm条件下的流速，发现随着Δh的增加，水的流速明显增加。实验结果表明：马里奥特装置能够提供一个恒流状态，且流速v与高度差h有关，h越大，v越大。

表1 Φ=9 mm，Δh=10 cm、15 cm、20 cm条件下马里奥特瓶流管中水的流速

(2)进气管尺寸对马里奥特恒流特性的影响

表2给出了进气管尺寸分别为Φ=9 mm、14 mm和29 mm时不同高度差条件下的流速。

表2 不同进气管管径下Δh=10 cm、15 cm、20 cm时马里奥特瓶流管中水的流速

从结果看，尽管实验条件不同，流速却基本保持稳定恒定。由表2的结果做Φ-v-Δh的柱状图(图7)。由图7可知，在Δh=10 cm时，管径Φ=9 mm、14 mm和29 mm的流速均保持在52.0 cm/s，表明管径尺寸不影响流速的大小。Δh=15 cm和20 cm时，流速大约分别为70 cm/s和81 cm/s，说明改变高度差能够调控流速的大小。因此，马里奥特装置的流速与导气管的管径尺寸Φ无关，与高度差Δh有关。

管径尺寸/cm

从上述实验结果看，基本验证了马里奥特装置的恒流特性，并得到了流速与高度差有关，与管径大小无关的结论。这一实验结论，为在马里奥特装置的基础上开展伯努利方程的实验验证提供了可靠的恒流条件。通过马里奥特装置可为伯努利方程的验证实验提供恒定的流速，保证了实验的稳定性，优化了实验验证条件，降低了实验的难度。

4.2 伯努利方程的验证

表3为马里奥特恒流条件下单流管中两个不同位置处(A处和B处)的压强和流速。

表3 在同一流速下三次测量的压力和流速

其中，导管中A处和B处的高度差h=5 cm，水的密度ρ=1×103kg/m3，重力加速度g=9.8 m/s2。将结果代入式(9)，可得到常数C。

①Ca1=930.41；Cb1=933.22；

②Ca2=928.29；Cb2=930.92；

③Ca3=930.19；Cb3=932.35；

同一流线下，忽略装置密封的影响和超声波测流速法的误差，可认为Ca≈CB，则实验验证了流体的伯努利方程，即流体的机械能守恒。

(2)主流管和支流管中常数C的关系(拓展)

表4为马里奥特恒流条件下主流管(A处)和两个直流管处(B处和C处)的压强和流速。

表4 同一流速下流管中3个特定位置的压力和流速

由于A处、B处和C处在同一水平面，所以高度差为0。将结果代入式(9)，其中，水的密度ρ=1×103kg/m3，重力加速度g=9.8 m/s2。可得到常数C。

得：

①Ca1=2423.64，C1(b+c)=Cb1+Cc1=1199.38+1201.22=2 400.60

②Ca2=2432.24，C2(b+c)=Cb2+Cc2=1190.17+1191.19=2 381.31

③Ca2=2425.75，C3(b+c)=Cb3+Cc3=1221.25+1209.33=2 430.58；

同一流线下，如果忽略装置密封的影响和超声波测流速法的误差，可认为Ca≈Cb+Cc，则说明同一流线下主流管的伯努利常数等于支流管之和，拓展了伯努利方程的形式和应用。

从上述实验结果看，得到的伯努利常数存在误差。分析形成这种结果的原因如下：

(1)流管中存在空气泡，这些气泡流到装载压力传感器的三通管附近时，将明显的影响传感器的测量精度；另外，气泡也将影响超声波流量计的测量结果。因此，实验开始前应尽量排除流管中的气体。

(2)马里奥特装置的密封也是造成误差的一个重要原因，特别是进气管与装置顶端处的漏气，将破坏马里奥特的恒流特性，使流速增加，影响实验的结果。

(3)马里奥特装置的进气管的直径不影响流水管中的流速，但是管径尺寸较大时，进气将有滞后现象，且大的气泡进入装置时也会引起装置中水的振动，这些因素将导致流管中水的流速不稳定，会引起压力和流速的测量误差。

5 结 语

本设计性实验分析了马里奥特装置的恒流特性及其影响因素，并在此基础上验证了流体伯努利方程。通过与对照组流管中水的流速相比，验证了马里奥特装置中液体的恒流特性。不同进气管管径和高度差下流管中水的流速表明：马里奥特装置中液体的流速(v)只与高度差(Δh)有关，与进气管管径无关，且Δh越大，v越大。在马里奥特装置恒流特性的基础上，验证了伯努利方程，即得C1=C2；对马里奥特在支流管中的应用进行了拓展，给出了总流管与支流管之间的关系，即得C总=C支1+C支2。实验所用仪器结构简单，操作方便，数据可靠，实验重复性较好。通过对实验过程的体验，能够加深学生对马里奥特瓶和流体伯努利方程的了解，培养学生的动手能力创新和创新思维。