杯子翻转中的数学道理

文／张海燕

如图1，桌上放着8 只杯子，杯口全部朝上。每次翻转其中的4 只，只要翻转两次，就能把它们全都翻成杯口朝下。

图1

如果将图1 中的8 只杯子换成6 只杯子，每次仍然翻转其中的4 只，经过几次翻转能把它们全部翻成杯口朝下？

同学们可以动手试验一下哦！

你会发现，经过3 次翻转，就能达到目的。如果没有杯子可以试验，我们能用数学方法算出来吗？

当然可以。我们用+1 表示杯口朝上，-1表示杯口朝下，翻转过程可以简单地表示如下：

初始状态：+1，+1，+1，+1，+1，+1；

第一次翻转：-1，-1，-1，-1，+1，+1；

第二次翻转：+1，+1，+1，-1，+1，-1；

第三次翻转：-1，-1，-1，-1，-1，-1。

如果再将问题中的8只改为7只，经过多少次翻转（每次翻4 只），能把它们全部翻成杯口朝下？

经过试验，你将发现，无法按规定把它们全部翻成杯口朝下。

是你的“翻转”能力差，还是根本无法完成？

“±1”将告诉你答案：不管你翻转多少次，总是无法使这7只杯口朝下。

仍然用+1 表示杯口朝上，-1 表示杯口朝下，问题就变成：有7 个+1，每次改变其中4个数字的符号，若干次后，能否把它们都变成-1？我们来考虑这7 个数的乘积，由于每次都改变4 个数的符号，所以它们的乘积永远不变（即恒为+1），而全部杯口朝下时7 个数的乘积等于-1，所以这是不可能的。

道理竟如此简单，证明也很巧妙，这些还要归功于“±1”语言哦。