用数学思想解决“翻转茶杯”问题

徐怡

《苏科版数学七年级下册》有这样一道题：桌上有3只杯口都朝上的茶杯，每次翻转2只，能否经过若干次翻转使3只杯子的杯口全部朝下？7只杯口都朝上的茶杯每次翻转3只呢？如果用“+1”或“-1”分别表示杯口“朝上”或“朝下”，你能用有理数的运算说明其中的道理吗？

下面我们通过操作探究来解决这一问题.

一、 动手操作 获得结论

探究一：取3只茶杯，杯口全部朝上，每次翻转其中1只，经过若干次翻转，能否使杯口全部朝下？

过程：

①将3只茶杯依次编号1、2、3

②第1次：翻转1号杯

③第2次：翻转2号杯

④第3次：翻转3号杯

此时，杯口全部朝下.

结论：能.

探究二：取3只茶杯，杯口全部朝上，每次翻转其中2只，经过若干次翻转，能否使杯口全部朝下？

过程：

①第1次：翻转1、2号杯

②第2次：翻转1、3号杯

③……（任意翻转其中的2只茶杯）

想一想：

1. 第1次翻转后已有2只茶杯的杯口朝下，后面的每次操作总会出现几只杯口朝上？（1只或3只）

2. 把“每次翻转2只茶杯”看作“将1只茶杯连续翻转2次”，结果怎样？（杯口始终朝上）

结论：3只杯口全部朝上的茶杯，每次翻转其中2只不能使杯口全部朝下.

探究三：取4只茶杯，杯口全部朝上，每次翻转其中2只，经过若干次翻转，能否使杯口全部朝下？（先想一想，再试一试.）

过程：

①将4只茶杯依次编号1、2、3、4

②第1次：翻转1、2号杯

③第2次：翻转3、4号杯

此时，杯口全部朝下.

结论：能.

探究四：取4只茶杯，杯口全部朝上，每次翻转其中3只，经过若干次翻转，能否使杯口全部朝下？（先想一想，再试一试.）

过程：

①第1次：翻转1、2、3号杯

②第2次：翻转1、2、4号杯

③第3次：翻转2、3、4号杯

④第4次：翻转1、3、4号杯

此时，杯口全部朝下.

结论：4只杯口全部朝上的茶杯，每次翻转其中3只，能使杯口全部朝下.

二、 思考延伸 解释结论

事实上，如果把杯口朝上记作“+1”，杯口朝下记作“-1”，那么3只杯口都朝上的茶杯记为“+1”“+1”“+1”，这3个数的乘积为“+1”，3只杯口都朝下的茶杯记为“-1”“-1”“-1”，这3个数的乘积为“-1”，每次翻转2只，即改变其中两个数的符号，这3个数的积仍为“+1”，所以每次翻转2只，不能使杯口全部朝下.4只杯口都朝上的茶杯记为“+1”“+1”“+1”“+1”，这4个数的乘积为“+1”，4只杯口都朝下的茶杯记为“-1”“-1”“-1”“-1”，这4个数的乘积为“+1”，每次翻转2只，4个数的乘积为“+1”，杯口可全部朝下；每次翻转3只，即改变其中3个数的符号，这4个数的积为“-1”，再进行一次翻转这4个数的乘积为“+1”，所以每次翻转3只，经过若干次翻转，杯口全部朝下.这样，利用有理数运算的符号法则就可以解决翻转茶杯的问题了.

三、 思维拓展 应用结论

聪明的同学，你来试一试：

利用有理数运算的符号法则解释：7只杯口都朝上的茶杯，①每次翻转3只，能否经过若干次翻转使这7只杯子的杯口全部朝下？②每次翻转4只，能否经过若干次翻转使这7只杯子的杯口全部朝下？（答案：①能.②不能）

有兴趣的同学还可以进一步探究发现：

“翻转茶杯”问题与茶杯总数和每次翻转的个数有关：如果茶杯的总数是偶数，不论每次翻转的个数是奇数还是偶数，经过若干次操作，都能使杯口全部朝下；如果茶杯的总数是奇数，翻转的个数是奇数，经过若干次操作，都能使杯口全部朝下，但翻转的个数是偶数时，无论经过多少次操作，都不能使杯口全部朝下.

（作者单位：江苏省连云港市赣榆外国语学校）