时滞反馈控制下忆阻振荡耦合电路稳定性研究

闫德鑫，曾以成

（1.湖南交通工程学院，湖南 衡阳 421001；2.湘潭大学，湖南 湘潭 411105）

0 引 言

在电路中加入能够记忆所通过电荷数量的忆阻器充当电路中的非易失性存储器，可以多方面、多角度地优化电路设计与应用。忆阻器具有非线性特性，将其应用于一些常规的非线性电路中能够根据需要产生振荡信号，提升非线性电路混沌动力学研究时相关参数的可控性。忆阻器加入振荡电路后，会改变原始电路的频谱结构，而利用电路频谱结构的本质特性可以使得在电路元器件参数和忆阻器状态不同的情况下，出现差异较大的电路振荡效果。大部分振荡耦合电路都会表现出一定的振荡与非线性，其稳定性一直是研究热点。利用谐振补偿、建立特征方程等方式探讨电路的稳定性边界，虽然取得了一定成果但计算较为复杂。

时滞反馈控制以具有连续时间特性的物理量激励作为控制反馈量，降低了对控制对象真实参数的依赖性，常用于对非线性系统的振动研究。基于上述忆阻器加入电路后的拓展应用背景展开讨论，为进一步优化忆阻器在耦合电路中的参数可控性，本文将对时滞反馈控制下忆阻振荡耦合电路的稳定性进行研究分析，实现特定条件下的电路稳定性动力学分析，为后续的耦合电路研究提供理论支撑。

1 建立忆阻振荡耦合电路模型方程

其中，为串联忆阻振荡电路的电感；、、分别为第一、第二、第三个串联忆阻振荡电路的节点电压值。在所构成的三忆阻振荡耦合电路中，电路回路中的各个支路电流符合如式（2）所示的关系：

在三忆阻振荡耦合电路模型中，振荡电路电感与电流、电压之间的关系满足式（3）：

对上述公式中的电压、电流进行一定时间段内的积分处理，即可得到忆阻振荡耦合电路中磁通量、电荷与耦合电感之间的关系，经过线性化处理与矩阵形式化简，得到下式：

2 向耦合电路添加时滞反馈控制约束

在忆阻振荡耦合电路中，由于接入忆阻器改变了电路中的电流、电压变化，使得电路处于混沌状态。在耦合电路中加入时滞反馈控制后，可以控制耦合电路中因忆阻器引发的电路状态变化延迟一定时间，并在控制器的控制下，与延时反馈共同作用于电路，从而实现对耦合电路的稳定控制。

根据所构建的忆阻振荡多耦合电路模型，本研究设计一种反馈信号为电流的时滞控制器，将该控制器的输入端和输出端接入端并联至忆阻振荡多耦合电路中，得到结构如图1所示带有时滞反馈控制的耦合电路。

图1 接入时滞反馈控制器的耦合电路结构图

本研究选用的时滞反馈控制器核心为电流运算放大器，在作用于耦合电路时，将电路中各节点的电压、、之和作为控制器输入，将反馈电流输入至最后一个耦合电路的结点上。时滞控制器的状态方程为：

其中，为控制器的时滞；为控制变量；、分别为控制器的输出与输入。控制器的延迟时间只与控制器内部的电阻、电容有关，控制反馈的强度仅与控制器内部的电阻R有关。将上述状态方程作用于耦合电路，对电路的稳定性进行分析。

3 时滞控制下的耦合电路稳定分析

将控制器的状态方程与所构建的耦合电路方程联立，得到如下条件控制约束的电路状态方程。

其中，C为控制器的电容；R为控制器的内部电阻。以三忆阻振荡耦合电路为基础，忽略在线性变化时交叉耦合项，可以判定上述方程在达到稳定解时，稳定解的振幅、相位、位移与时间存在明显的相关关系。在时滞反馈控制下，时间的二阶变化幅度较小可以忽略，在将上式转变为微分形式后，构建等式得到耦合电路处于稳定状态时各个节点状态量的振幅值A。对于各个节点状态量振幅，按照下式计算得到电路稳定性判据矩阵：

时滞反馈控制器的延迟时间从0 开始逐渐增大时，对应的控制器电容、电阻会发生变化，导致如式（6）所示的耦合电路状态方程的特征根数量出现变化。在电路处于不同模式的振荡状态时，耦合电路状态变量的振幅不同，令式（7）中等式右侧为0，进行等式求解。根据线性代数的理论，若矩阵求解得到的特征根中，所有特征根的实部均小于0，则确定的耦合电路稳定点为真实的稳定点，实际电路运行过程中各项参数与稳定点对应的耦合电路状态方程一致时，则该电路处于稳定状态。若经过求解，矩阵的特征根实部不全部为负数，则表明上文求得的稳定点不是真实的稳定点，其对应的振荡电路未处于稳定状态。

4 数值模拟仿真实验

上文从理论层面分析了时滞反馈控制下忆阻振荡耦合电路稳定性，本节将以数值模拟的形式来验证时滞反馈控制对耦合电路稳定性是否有积极作用。

4.1 实验准备与设计

在Multisim 12.0 中，根据如上所述的理论研究内容建立一个忆阻振荡耦合电路模型，搭建模拟电路，用于本次模拟实验分析。设定该模拟振荡耦合电路的时滞反馈控制参数，在电路的输出端、忆阻器两端接入示波器、电流表、万用表等设备，以测量模拟电路中的实验参量。

为使本次数值模拟仿真实验的结果更加直观、可信，采用对比实验模拟电路在时滞反馈控制下是否具有稳定性表现的方式来完成仿真实验研究。因此，在两次电路稳定性相关实验过程中，除电路有无时滞反馈控制的差异之外，其余对模拟耦合电路的振荡影响因素均保持一致，从而保证数据采集过程中变量变化的唯一性与实验过程的可控性。根据上文的研究内容，模拟电路处于稳定状态下的具体参数均已知，通过接入控制器与否来改变电路状态方程参数。以模拟电路采集的电荷、磁通量为实验数据，验证分析时滞反馈控制对耦合电路稳定性的影响。

4.2 实验数据与分析

在模拟实验时间内，是否应用时滞反馈控制条件下，模拟电路中忆阻器两端的电荷量、变化情况的统计数据如表1所示。

表1 模拟电路中忆阻器两端的电荷量变化统计（×10-3C）

由表1中的数据可知，在不同情况下，忆阻器两端的电荷量随时间的变化而发生变化。无时滞控制下，电路中忆阻器两端的电荷量差异要明显大于接入控制器。不接入控制器时，同一电荷量在不同时间点的数值波动较为剧烈，而接入控制器后，模拟电路中同一电荷量的电荷数据波动程度减弱。这说明接入控制器后，电路的振荡程度减少了，电荷的无用消耗减少了。由电荷与电流之间的关系可以看出，未接入控制器时电路处于不稳定的状态，接入控制器的电路在达到稳定点时，电路处于稳定状态。

为使实验数据的展示形式更直观，在MATLAB 2014 软件中绘制如图2、图3所示的不同模拟条件下忆阻器两端的电荷量波动图。

对图2和图3中的波形进行对比可知，模拟电路中加入时滞反馈控制器后，其接入的忆阻器两端电荷量的波动曲线更加稳定，电路电源接通状态下，电荷量波动呈现一定的周期性，并且在电路停电后随着时间的变化而出现稳定的衰减最后收敛的情况。而在未加入控制器的模拟电路中，忆阻器两端的电荷量表现出明显的波动，且不具有明显的规律，其电荷量曲线不出现收敛。

图2 无时滞反馈控制的电荷量波动

图3 时滞反馈控制下的电荷量波动

在控制器是否接入模拟电路的两种情况下，电路中的磁通量随时间的变化波形对比图如图4所示。

图4 模拟电路中磁通量与时间的变化关系图

由以上仿真电路磁通量测量值可知，在接入时滞反馈控制器的电路中，电路中经过节点电压的磁通量幅值变化更稳定，磁通量随时间的变化呈现出一定的规律性。在未接入时滞控制器的电路中，节点磁通量在不同时间点的变化程度不同。从磁通量的变化曲线来看，在反馈控制下，模拟耦合电路节点的磁通量变化整体上处于一个稳定的状态。

综合上述分析可知，对于忆阻振荡耦合电路来说，加入时滞反馈控制器后，可以形成具有一定规律的振荡波形。从忆阻器的电荷量、电路的磁通量两个参量与时间的变化关系来看，两个参量存在较为明显的周期性特点，这说明时滞反馈控制对忆阻振荡耦合电路的稳定性具有积极的调控作用。

5 结 论

全文通过搭建模型与分析的方式，总结得出在时滞反馈控制下，接入忆阻器的振荡耦合电路稳定性明显提升，并以数值模拟仿真实验的形式对相关的理论内容进行了真实性验证。仿真实验验证结果表明，在含有忆阻器的振荡耦合电路中加入时滞反馈控制环节，确实可以减少耦合振荡对电路稳定性的干扰，降低各电路参量的波动幅度，提升耦合电路的稳定性。经过上述的研究分析，为今后拓展忆阻器的应用范围与开展耦合电路的研究提供了理论参考。