基于单目偏折术的半球谐振子面域振型测量*

朱 睿，张祥朝，李绍良，赵万良，陈雨诺，郎 威，徐 敏

（1. 复旦大学 上海超精密光学制造工程技术研究中心·上海·200438；2.上海航天控制技术研究所·上海·201109；3.上海惯性工程技术研究中心·上海·201109）

0 引 言

半球谐振陀螺仪是惯性导航制导、姿态稳定控制、惯性测量等单元中的关键部件，具有高精度、长寿命、高可靠性的特点，广泛应用于航天、航空、舰船等武器装备系统中[1]。半球谐振陀螺主要由激励罩、内基座、外基座以及核心器件—半球谐振子构成，其工作原理是基于半球谐振子绕中心轴转动时产生的哥氏效应，使其二阶振型即四波腹驻波振动沿环向相对壳体进动。当壳体绕中心轴转过ψ角时，振型相对球壳反向转过α角，且有α=Kψ，K为振型的进动因子[2]。因此,只要精确测量出振型相对壳体转过的角度α，就可得出壳体绕中心轴转过的角度ψ[3]。

由于半球谐振子在加工过程中的内部缺陷、质量分布不均匀、残余应力、几何尺寸偏差等引起的零位偏置以及自身的能量损耗，易使得通过探测振幅恢复谐振子振型进而测量得到的壳体绕中心轴转过角度ψ的过程出现偏差，影响惯性导航器件的定位精度。当前主要采用电容传感器[4]、激光多普勒测振仪[5-6]等方式探测单点振幅，但是无法分离周向进动、振幅衰减等因素，导致探测误差。因此，研究者不断探索振动的面域测量方法，包括数字全息干涉技术、数字散斑干涉技术[7]、像点移动法[8]和条纹投影法[9-10]等。但这些方法或依赖于严苛的物理假设，或者只适用于粗糙表面，均不适合镀膜前低反射率谐振子的振型测量。为此，本文提出了一种基于偏折术的振型测量技术，并发展了误差分离与参数拟合算法，实现了半球谐振子振型的高精度面域测量。

1 振动偏折测量原理与光路设计

单目偏折测量的基本原理[11]如图1所示，屏幕和相机同时面对被测镜面且屏幕投影条纹图案，经过被测镜面反射后由相机拍摄成像。通过求解相机像素所拍摄到的屏幕条纹的相位，并与屏幕预设的相位进行比对，以获得相机像素与屏幕像素的对应关系，即相机中Q点对应屏幕上的S点。基于针孔相机模型，可确定经过相机O点的光线QO，即反射光线r所在直线。在给定被测面的理想面形方程和其在空间中位置的条件下，反射点G可由直线QO与被测面方程的交点确定，因此，即可获得相机点Q、屏幕点S、被测工件的反射点G的对应关系，进而确定入射光线i和反射光线r的方向。根据反射定律，入射角等于反射角，故角平分线v可由入射光线i和反射光线r计算得到。在测量过程中，角平分线同时也当作被测点G处的法向量n，再计算出被测点梯度[11-12]，进而根据梯度积分可获得被测面的三维面形[13-14]。

图1 单目偏折测量原理示意图Fig.1 Diagram of deflectometric measurement

半球谐振子的二阶振型为四波腹驻波，在球坐标系下可表示为

r（φ,θ）=R+Amaxsin（ωT）cos（2φ+δ）sinθ

（1）

式中：r、θ、φ分别为径向距离、方位角以及天顶角；R、Amax、ω分别为半球谐振子的半径、最大振幅和振动频率；T和δ代表时间和波腹所在位置的相位。将式（1）转换至笛卡尔坐标系下，中间变量F表示为

F=（X2+Y2）（X2+Y2+Z2）-

（2）

式中：（X,Y,Z）表示球面上点的坐标，A=Amaxsin（ωT）。在驻波振动过程中，谐振子面形发生变化，进而引起被测点的法向量发生摆动。因此，从物方平面上圆斑发出的光束经振动过程中的谐振子反射，在像平面上形成振动拉长模糊斑，且其对应的运动轨迹与谐振子振型之间有着定量关系，所以位于谐振子振型不同位置处的法向摆动矢量不同，如图2所示。但在实际中，法向摆动矢量难以直接量化使用，可将其进一步转换为法向在经纬方向上的摆动角度，其中在以唇缘为赤道、以半球壳和中心轴交点为极点的球坐标系下定义经线与纬线方向，由此推导出与振型相关的数学模型。

图2 波节波腹处法向摆动矢量示意图Fig.2 The swing vectors at the node and antinode

由于半球谐振子为凸球面且曲率大，反射光线所形成的发散角大，使得相机只能探测到谐振子的小部分区域。于是在系统中增加一个凹面反射镜，并通过遍历选择最优系统中的元件几何参数和位置。为了避免像平面上不同的振动拉长模糊斑之间发生混叠，以及系统中的像差引起像平面上的圆斑发生严重变形，在物方平面上设计相应的二值化圆斑分布图样，使得像平面上的圆斑几乎呈行列规则分布。测量系统示意图如图3所示。

图3 振型偏折测量系统示意图Fig.3 The deflectometric measurement system of vibration modes

2 半球谐振子振型的定量表征

2.1 运动轨迹提取

半球谐振子面形重构以及半径拟合的方法如下所述。基于半球谐振子的名义面形，通过光线追迹求得谐振子上被测点的坐标、初始法向量和梯度，再以物方平面上光线追迹的交点与实际物点的重投影误差作为目标函数，由Levenberg-Marquardt （L-M）法最小化目标函数。通过优化后的被测点法向量计算梯度，由Modal法重建面形[15]并拟合谐振子半径，再重新求得谐振子上的被测点，重复上述过程直到收敛。

像面上的振动拉长模糊斑可通过维纳滤波解卷积提取运动轨迹。维纳滤波解卷积的方法在频率域f中[16]描述如下

（3）

式中，H、F、G分别表示静止图像圆斑、振动拉长模糊斑和运动轨迹的傅里叶变换；上标*表示复共轭；λ是与信噪比S相关的阻尼系数。

2.2 局部转换关系及缩放比例求解

图4 转换矩阵计算示意图Fig.4 Calculation of conversion matrices

当通过维纳滤波解卷积提取得到运动轨迹矢量[ΔU, ΔV]时，可由式（4）分解

（4）

式中，γ和η是法向分别在纬度和经度方向的摆动角度。

2.3 驻波振型参数拟合

在谐振子镀金属膜层之前仍为熔融石英材料，无法通过电极激励产生驻波振动，可将激励方式替代为在某点处进行机械敲击，进而产生驻波振动。但此种方式可能导致谐振子在驻波振动的同时还存在以夹持点为固定点的悬臂摆动，因此需要将两种运动分离。

谐振子振型拟合过程如下。谐振子表面有M个被测点。首先计算各被测点在纬线和经线方向上的法向摆动角度γ和η，被测点的坐标（Xj，Yj，Zj）由面形重构计算得到。将最大振幅Amax，位姿角β、δ和被测点坐标（Xj，Yj，Zj）代入式（2），分别在sin（ωT） = 1和0的情况下，推出法向量表达式如下

（5）

式中，上标E和S分别表示极端情况sin（ωT） = 1和静态情况sin（ωT） = 0。再将上述法向量归一化后，表示为N。因此，由归一化的法向量推出的法向摆动矢量的解析表达式为

（6）

式中，ΔN即为法向摆动矢量。然后，定义目标函数如下，并通过L-M法求解参数。

（yj·ΔNj-ηj）2]

（7）

式中，x和y是沿经线和纬线切向方向的单位向量。驻波拟合过程如图5所示。

图5 振型参数拟合流程图Fig.5 Parameter fitting of vibration modes

3 半球谐振子振型测量实验验证

为了验证所提出的振型测量方法的可行性，搭建了偏折测量实验系统，如图6所示。其中，采用工业相机MV-CA016-10UM，相机上安装了定焦镜头Computar M7528-MP。凹面反射镜的口径和曲率半径分别为140mm和110mm。

图6 实际测量系统图Fig.6 The actual measurement setup

通过三坐标测量机获得各元件在世界坐标系下的位姿。相机的外参由Perspective-n-Point算法得到[18]，相机帧率设置为60帧/s，曝光时间为10ms。最终用于分析的图像如图7所示，迭代收敛结果如表1所示。

（a） 静止图像

（b） 振动图像

表1 迭代收敛结果

将图7中的振动拉长模糊斑与其对应的静止图像逐一分离并提取运动轨迹，部分运动轨迹如图8所示。为了减小解卷积时振铃效应的影响，对两侧边缘区域的灰度分布进行二次函数拟合，由此获得灰度峰值处的亚像素坐标，进而提高振型拟合的准确性。由提取出的运动轨迹矢量可计算出其平均模长为11.14像素，运动轨迹矢量的均方根值（Root Mean Square, RMS）为7.895像素。然后，计算出被测点的法向在纬线和经线方向上的摆动角度γ和η。再拟合半球谐振子的驻波振型参数，Amax、β和δ的值分别为4.2μm、48.9°和93.4°。基于式（2）恢复振型，结果如图9所示。

（a） 静止圆斑

（b） 拉长模糊斑

（c） 运动轨迹

图9 半球谐振子恢复振型Fig.9 The reconstructed vibration mode of hemispherical shell resonator

通过2.3节中描述的方法拟合谐振子以夹持点为固定点的悬臂摆动，垂直于Y轴和Z轴平面内摆动角度分别为0.12°和-0.27°。在拟合驻波振型和悬臂摆动后的残差如图10所示，剩余残差控制在1.5像素以内，残差的RMS为0.729像素，小于运动轨迹矢量RMS的10%。经分析认为，存在剩余残差主要有两个原因：一个是机械敲击导致固定点的坐标发生微小位移，使得悬臂摆动时的固定支点坐标存在误差，影响悬臂摆动角度值的拟合精度；另一个是电荷耦合器件（Charge-Coupled Device, CCD）像素离散化效应,使得难以准确提取出运动轨迹两端灰度值最大的像素坐标，影响运动轨迹矢量计算的准确性，进而影响法向摆动角度计算的准确性及驻波拟合精度。

（a） 列方向残差

（b） 行方向残差图10 拟合残差图Fig.10 Residuals after fitting

4 结 论

本文提出了一种基于单目偏折测量技术的半球谐振子振型测量方法，将局部振幅探测转换为法向摆动角度的检测。该方法具有效率高、抗噪能力强的优点。此方法优于单点振幅检测，可有效测量谐振子振型的面域分布，从而将零位漂移和振幅衰减引起的振型变化与驻波进动引起的振型变化分离。实验结果表明，所提出的方法可提取出运动轨迹，并精确拟合出驻波振型。该方法对半球谐振陀螺的动力学特性和惯性系统性能的进一步研究具有重要意义。由于对比测量条件限制，现阶段无法提供可用于比对的参考数据，所以将进一步探究与现有方法的验证和比较。