神奇的黄金三角形

2022-11-02孙杜衡

初中生世界 2022年39期

文／孙杜衡

开普勒曾赞美“黄金分割”是几何学中的“瑰宝”。黄金分割法最初由毕达哥拉斯发现，即整段与较大分段之比等于较大分段与较小分段之比，数学史上称为“中外比分割”。底边与腰的比为黄金数的等腰三角形被人们誉为最美黄金三角形。下面，让我们一起来感受黄金三角形的神奇吧。

黄金三角形分两类，如图1，一类是顶角为36°，两个底角为72°的三角形，其底边与腰之比等于；另一类是顶角为108°，两个底角为36°，其腰与底边之比等于，我们分别称它们为“黄金一号”和“黄金二号”。

图1

我们只要能抓住黄金三角形“角”和“边”的特征，就容易识别它，然后用数学工具作出它，并能运用它解决数学题。

作一作：不用量角器，使用直尺和圆规，你可以作出黄金三角形吗？

没有量角器，我们只能从“边”去思考，比较直接的思路是构造出两条长度之比为的线段，如果能联想到在数轴上可以表示出的点，那么，问题就迎刃而解了，如图2。

图2

其实，解决问题的关键是找出一条线段上的黄金分割点。如图3，设线段AC=1，过点C作CD⊥AC，使CD=AC，连接AD，以点D为圆心，DC的长为半径画弧，交AD于点E，以点A为圆心，AE长为半径画弧，交AC于点B，点B就是线段AC的黄金分割点。

图3

欧几里得曾经介绍过一种作法。如图4，设正方形边长为1，E为AC中点，连接BE，延长CA到F，使EF=EB，以FA为边长做正方形FAHG，点H是线段AB的黄金分割点。只要找到了线段的黄金分割点，就可以轻而易举地画出黄金三角形。

图4

分一分：“黄金一号”的72°角与“黄金二号”的108°角是互补关系，这两个图形可以拼成一个大的黄金三角形，如图5，那么一个黄金三角形是否可以分割成若干个小的黄金三角形？如图6，在△ABC中，∠A=36°，∠ACB=72°，CD是∠ACB的平分线，试找出图中所有的黄金三角形，并说明理由。

图5

图6

图6中有3个明显的黄金三角形，但我们如果作出∠B的平分线BE，连接DE，如图7，这时就能找出5个“黄金一号”：△ADE、△CBD、△BCE、△COE、△BOD；4个“黄金二号”：△DOE、△COB、△CED、△BDE。再作出△ADE两个底角的平分线，重复上述的操作，最上面总有一个黄金三角形等着我们去操作，然后得到无穷个黄金三角形，就像一条黄金链一样，十分神奇。如果我们再把OF、OG连接起来，在出现倒置的黄金三角形△OFG时，还能清晰地发现“五角星”，如图8，每个“五角星”是由5个“黄金一号”和5个重叠的“黄金二号”组成的。