爱尔特希点集

文／于弢整理

数学小故事

匈牙利数学家爱尔特希（P．Erdos，1913-1996）提出过这样一个问题：在平面内有n个点，任意三个点都能构成等腰三角形，这样的点集存在吗？

数学家们的研究成果如下：

当n=3时，是显然存在的。

当n=4时，有且仅有三种结构：任一等腰三角形的三个顶点及它的外心（注：“外心”是指三角形三边垂直平分线的交点）；任一菱形（注：“菱形”是四边相等的四边形）的四个顶点；正五边形的任意四个顶点。

我们来简单解释一下。第一种结构如图1，在△ABC中，AB=AC，D为△ABC的外心。因为D为△ABC的外心，所以BD=AD=CD。取A、B、C、D四点中的任意三点可构成4个三角形，分别为△ABC、△ABD、△ACD、△BDC，均为等腰三角形。第二种结构如图2，易于理解，不再赘述。第三种结构如图3，A、B、C、D、E是正五边形的5个顶点，取其中任意4个顶点，如点A、B、C、D，可证明△ABC、△ABD、△ACD、△BDC均为等腰三角形。

图1

图2

图3

当n=5和n=6时，也可以找到满足条件的点集。但当n≥7时，这样的点集便不存在了。人们将具有这样性质的n个点构成的点集称为爱尔特希点集。

同学们，你能画出n=5时的爱尔特希点集吗？试一试吧。