城市轨道交通差异化票价和补贴优化

汪晴，邓连波，许景

(1.南京邮电大学，现代邮政学院，南京 210003；2.中南大学，交通运输工程学院，长沙 410075）

0 引言

交通群体包括一般群体和特殊群体，其中，特殊群体主要包括老年人、残疾人及学生等群体。根据2020年开展的第七次全国人口普查数据显示，我国交通特殊群体占全国总人口的30%～40%，规模非常庞大[1]，表明交通特殊群体是城市公共交通系统客流的重要组成部分，也意味着这类群体在城市公共交通出行需求中不容忽视。因此，国内外大、中城市对特殊群体乘坐城市公共交通出行给予了一定的福利政策支持。

政策制定者在制定票价政策时，对年龄和经济条件等方面的区别对待是普遍存在的，而不同的交通群体对票价的敏感程度具有一定的差异，本文研究中主要体现为不同群体享受的票价折扣率不同。在不同群体研究方面，国内外各城市针对不同群体出行需求、票价及补贴等问题进行了大量研究。一方面，一些学者研究相关政策为支付能力较弱群体提供补贴。例如，LEGRAIN等[2]研究低收入人群出行的补贴政策；JUN 等[3]探讨老年人免费乘坐地铁政策对出行模式转换与消费者剩余的影响；MATAS等[4]研究表明，优惠票价方案在一定程度上可以释放特定群体因经济因素而被抑制的客流需求；姚恩建等[5]分析了错峰优惠和阶梯式津贴等补贴政策对多方式分担率的影响，寻求能提升老年群体出行满意度的补贴政策。另一方面，一些学者针对特定群体出行的公平性问题进行研究。例如，为了维护交通特定群体的出行权益，国内外依据自身城市公共交通运营的特点，针对特殊群体执行了不同程度的福利策略[6-7]，尤其是老年人乘车优惠政策实施和保障老年人出行交通有序运行问题的研究[8]；张钦亚等[9]通过调查分析上海“敬老卡”的实施情况，根据相关群体的不同反映和意见，结果表明，现行老年人免费乘车政策的实施极大地方便了老年人出行。此外，运营补贴作为城市轨道交通企业运营收益的重要补充，需要基于实际运营情况，结合票价策略，合理确定补贴额度。因此，国内外学者针对票价和补贴综合优化问题进行了研究。例如，WANG 等[10]从乘客的角度出发，结合城市轨道交通政府补贴的效率原则，构造客流人均补贴效益最大化模型，综合优化确定城市轨道交通列车开行数量、票价及补贴额度。在此基础上，WANG 等[11]扩展了这项工作，从运营企业角度出发，结合不同的票价策略和运营计划测算城市轨道交通系统补贴。吴珂琪[12]研究了定价与补贴联动机制，构建城市轨道交通定价与补贴策略优化模型。

综上所述，一方面，涉及公共交通系统为不同交通群体提供优惠政策的研究，多数是在其他相关研究中简要概括，没有建立具体的优化模型进行优化求解。另一方面，国内外的研究主要是针对某一类交通群体进行研究，以多群体为对象研究票价和补贴差异性问题比较缺乏。为了保障交通特殊群体的出行率，考虑到不同出行群体的票款承受能力，应针对不同出行群体制定不同的票价水平，通过价格杠杆，释放部分群体受抑制的出行需求，尤其是提高交通特定群体的出行率。

因此，本文基于交通特定群体是公共交通实施优惠政策或补贴政策的主要对象，以折扣票价、列车开行间隔及补贴额度为决策变量，构建基于不同群体的福利票价和补贴优化模型，综合优化不同群体的票价折扣率、运营企业的服务频率及政府的补贴额度，确保不同群体获得合适的补贴。

1 问题描述

本文研究的主要假设条件如下：

(1)交通群体包括一般群体和特殊群体，在模型中，i表示第i类群体，其中，i={1,2,3,4} 分别代表一般群体、残疾人、老年人及学生这4类群体。其中，特殊群体是福利票价实施和补贴的主要对象。

(2)研究范围限定为城市轨道交通线路某单一起讫点(Origin-Destination,OD)间，线路上各列车具有相同的车底编组和运输能力，且单一OD之间所有乘客的初始票价是相同的，研究时段为1 h。

(3)福利票价是针对不同交通群体实施不同的票价折扣率r，参考国内外城市轨道交通现行福利票价政策，对各类群体票价折扣率的限制区间进行假设，分别为：一般群体r≡0；残疾人0.5≤r≤1；老年人0.5≤r≤1；学生0.3≤r≤0.5。

1.1 弹性需求函数分析

不同群体打折前的票价为定值，用P0表示。第i类群体折扣后票价为

式中：Pi为第i类群体折扣后票价；ri为第i类群体的票价折扣率。

客流出行广义费用包含不同群体实际支付的票价、乘车时间费用及候车时间费用等。在乘客出行中，出行的总时间包括在车站等待时间和在途时间。根据假设2，当起讫点、列车运行速度及列车停站时间确定后，乘客的在车时间可以直接计算得到，即可表示为1个固定参数。客流按照一定时间分布规律到达情况下，乘客的候车时间Wtime与列车发车间隔H有关，即

式中：α为候车时间参数，客流按照一定时间分布规律到达情况下，α=0.5。

根据以上分析，乘客的在车时间相同(为固定值)且与决策变量无关，可以忽略对客流出行广义费用的影响。假设所有群体的时间成本是相同的[13]，综合票价费用和乘客候车时间费用，第i类群体的出行广义费用为

式中：为第i类群体的广义出行费用；λ为所有1群体的时间成本(元·h-1)。

城市轨道交通客流需求会受到客流出行广义费用的影响，表现为客流的需求弹性。城市轨道交通第i类群体客流量与第i类群体的票价折扣率ri和列车发车间隔H有关，将其记为Qi(ri,H)。因此，第i类群体客流量Qi(ri,H)可以定义为开行时段T内第i类群体潜在客流和广义出行费用的弹性需求函数，即

式中：Qi(ri,H)为第i类群体的实际客流量；为第i类群体的客流出行广义费用系数。

1.2 运营成本分析

城市轨道交通运营效益从运营收入和运营成本两方面进行分析。运营收入R和运营成本C分别表示为

运营成本C由3 部分构成，即车辆维护成本CY、线路设施设备综合维护成本CW及运营服务成本CS。车辆维护成本CY由固定成本μ0和车辆运行时间成本μ1组成，tz为列车全周转时间；线路设施设备综合维护成本CW由线路固定维护成本γ0和与列车开行频率相关的可变成本γ1组成；运营服务成本CS由固定运营成本Λ0和车站中服务的客流量相关的可变成本Λ1组成。分别表示为

1.3 运营补贴分析

政府部门作为优惠政策实施者，因实施福利票价而给运营企业造成的票额收入损失部分由政府提供补贴。因此，第i类群体所获取的补贴实质为票价折扣部分，即

政府补贴总量S等于各类群体补贴Si之和，即

式中：S为补贴总量；Si为第i类交通群体补贴量。

1.4 运营企业和乘客效益分析

综合运营成本、运营收入及补贴，城市轨道交通运营企业剩余Osurplus(r,H)为

消费者剩余函数Psurplus(r,H)可以通过需求关于票价的积分计算得到，即

2 优化模型

城市轨道交通票价和票价优化需要在满足各种运输组织和政府政策约束条件下，以社会福利最大化为优化目标，确定各类群体对应票价折扣区间，实现不同交通群体福利票价方案和列车运行计划的综合优化。需要考虑的约束条件主要有以下几个方面：

(1)列车开行间隔约束。列车开行间隔应满足客流需求，即列车在线路上的输送能力应满足各区间断面客流量。同时，列车发车间隔不小于列车开行间隔下限，且不大于列车发车间隔上限。

(2)政府补贴约束。政府补贴约束确保对不同交通群体的补贴总额不超过政府补贴上限-S；并确保运营企业在得到补贴之后运营利润非负性。

(3)票价折扣约束。票价约束确保各交通群体的票价折扣率在合理的范围内，票价折扣率不小于折扣下限，且不大于折扣上限。

考虑上述约束条件，以列车开行间隔和各群体票价折扣率为决策变量，构建以社会福利最大为优化目标的基于不同群体的福利票价和补贴优化模型为

式中：V为车辆载客定员；λ为列车最大满载率。

式(15)为列车在线路上的输送能力约束；式(16)为列车开行间隔约束；式(17)和式(18)为补贴约束；式(19)为各交通群体的票价折扣率约束。

3 求解算法设计思路

本文采用基于模拟退火算法的求解算法，将票价折扣率ri和列车发车间隔H作为求解变量。首先，以某给定的客流需求、列车开行间隔及票价初始值为基础，通过设计给定票价和开行间隔下的客流量和票价折扣率算法，综合确定各类群体福利票价和客流需求，再获得对应的运营补贴值。算法1为列车开行间隔和客流需求确定方法，算法2为福利票价方案求解算法，通过调用算法1 直至由当前计算得出的客流需求能满足约束条件式(15)～式(19)为止。依据上述思想，设计优化算法如下。

算法1 列车开行间隔和客流需求确定方法

Step 5 若H＜，根据弹性需求函数式(4)关于票价折扣率的一阶泰勒展开式估算流量需要变化值并在满足式(20)的范围内，随机选取。若H＞，则流量需要变化值，并在满足式(20)的范围内，随机选取。然后，进入Step 1。

算法2 福利票价模型求解算法

Step 1 初始化。置客流Q(im)=(0,0,…,0)，随机选择初始可行任意一组可行解(ri,H)，对应的目标函数值为Ψ(ri,H)，令初始补贴额度S=0，初始迭代次数n=0。

Step 2 票价折扣率的选取。根据式(19)，置ri≡0 和ri≡1 客流群体的折扣率为0 或1，其他客流群体的票价折扣率取下限值-ri，作为当前票价折扣率方案ri(m)。

Step 3 更新客流。根据当前票价折扣率方案ri(m)和列车发车间隔方案H，更新客流调用算法1计算列车开行间隔H和客流量Q(im)。

Step 4 更新补贴。将ri(m)及其对应的Q(im)代入式(11)，计算各群体的补贴量S(im)，并根据式(11)得到补贴额度S(m)，根据式(12)计算得到目标函数值

Step 5 目标函数Ψ(ri,H) 对ri进行求导，得。将一般折扣率代入中，计算出每个群体ri

(m)的。根据式(17)，判断S(m)与政府给定的补贴总额的大小关系：

Step 6 Metropolis 抽样，检验结果的可行性。计算对应的目标函数值和更新后的目标函数值，当两次目标函数值与温度Γ满足时，Erand为(0,1)之间的随机数，则令(ri,H)=(,H*)，算法结束；否则，转Step 2。

算法流程如图1所示。

图1 算法流程Fig.1 Flow chart of solution algorithm

4 案例分析

本文选取长沙地铁2号线为算例，验证所建基于不同群体的福利票价和补贴优化模型的可行性和算法的有效性。假设所有交通群体均从初始站乘车到终点站，单程票价为5 元，乘客全程旅行时间为0.54 h。每列列车载客定员V=1260 人，最大载客系数β=1.2，列车全周转时间为1.2 h，其他参数取值如表1所示。不同出行广义费用系数和不同群体潜在出行需求的取值关系如表2所示。

表1 模型参数定义及取值Table 1 Parameters definition and baseline values

表2 不同出行广义费用系数和不同群体潜在出行需求的关系Table 2 Relationship of and potential demand of different groups

表2 不同出行广义费用系数和不同群体潜在出行需求的关系Table 2 Relationship of and potential demand of different groups

e(i)不同群体出行需求p 学生6803 6969 7153 7356 7584 7840 8130 8460 8842 9285 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10一般群体30671 30532 30378 30208 30017 29803 29561 29285 28966 28595残疾人2171 2230 2294 2366 2446 2536 2638 2754 2888 3044老年人4014 4162 4326 4507 4710 4937 5194 5485 5818 6204

合理的福利票价方案是政府实施补贴政策的衡量标准之一，本文构建的基于不同群体的福利票价和补贴优化模型的优化结果如表3所示。在政府补贴额度约束下，得到的不同群体票价折扣率的优化幅度不同，各群体的票价折扣率ri=(0.0,0.6,0.8,0.4)，福利票价的实用策略为：一般群体不享受折扣，残疾人4折优惠，老年人2折优惠及学生6折优惠；研究时段内对应的不同群体补贴策略为：一般群体不享受补贴，残疾人总补贴为5274 元，老年人总补贴为14001 元及学生总补贴为10974 元。实际列车发车间隔按照最优发车间隔求得的列车开行对数确定，实用列车开行间隔为3.8 min。

表3 优化结果Table 3 Optimized results

4.1 票价方案对社会福利的影响分析

为研究不同决策变量与目标函数的关系，即社会福利(目标函数)与不同群体的票价折扣方案和列车开行间隔的关系。根据票价折扣率约束式(19)，分别设置不同群体的折扣区间和列车开行间隔区间。根据假设条件，不同交通群体的出行和原始票价相同，但随着不同群体票价折扣率和列车开行间隔的变化，社会福利变化趋势存在一定的差异性。当票价折扣率保持在相同水平时，社会福利随列车开行间隔的减少而增加；当列车开行间隔保持在相同水平时，社会福利随票价折扣率的增加而增加。结果表明，列车开行间隔与社会福利之间呈负相关性，票价折扣率与社会福利呈正相关性。值得关注的是，群体1 的票价折扣率衡为0，因此，不存在变化趋势对社会福利的影响。群体2～群体4 的票价折扣率和列车开行间隔对社会福利的影响如图2所示。

群体2～群体4 社会福利与各群体的决策变量组合(票价折扣率和列车开行间隔)呈负相关性，整体变化趋势相似。图2(a)展示群体2 有两个峰值，图2(b)和图2(c)分别展示群体3 和群体4 有一系列峰值。从图2中可知，不同的群体具有相同的峰值，表明不同票价折扣率和列车开行间隔的组合可以得到相同的社会福利，即有多组可行解。对于存在相同的可行解，可以根据补贴约束筛选最终解。

图2 社会福利vs.福利票价和列车开行间隔Fig.2 Social welfare vs.preferential fare scheme and headways

4.2 票价方案对客流影响分析

各城市公共交通面对老年人、残疾人及学生等交通特殊群体都有一定程度的福利票价政策，旨在提高交通特殊群体交通出行比，增加城市公共交通对特殊群体的吸引力。优化前后各交通群体客流需求如表4所示。

由表4优化前后各交通群体客流需求数据可知，不同群体客流需求产生了不同程度的变化，对比分析可知实施福利方案前后不同交通群体的客流需求变化。在实施福利票价方案之前，所有交通群体的票价水平相同，群体1～群体4的客流需求占比分别为：69.36%，4.91%，9.03%，16.70%；实施福利票价方案后，群体1～群体4的客流需求占比分别为：63.50%，5.97%，11.89%，18.64%。交通特殊群体(群体2～群体4)客流需求优化前后的变化表明，在福利票价政策实施之后，一般群体的出行需求基本不受影响，交通特殊群体的出行比分别提升了1.06%、2.86%及1.94%，意味着城市公共交通出行对特殊群体的吸引力提高了。

表4 优化前后客流需求组成对比Table 4 Comparison of passenger demand composition before and after optimization

4.3 灵敏度分析

(1)时间价值系数对不同群体客流出行的影响

时间价值系数λ1是计算客流出行广义费用的重要参数，对客流需求产生影响。因此，客流需求是衡量运营企业运营状态的指标之一，可以侧面反应运营企业的服务水平。

在本文模型研究中，假设所有乘客的时间价值都相同。当时间价值系数λ1的变化范围是[1,15]时，时间价值λ1对不同交通群体客流需求影响的变化趋势如图3所示。时间价值λ1与不同群体客流需求之间均呈负相关性。(2)弹性需求系数对不同群体客流出行的影响根据城市轨道交通不同群体的潜在需求，探讨不同群体出行广义费用系数对不同交通群体的客流需求和票价折扣率之间的关系，分析不同出行广义费用系数下不同群体实际需求和票价折扣率的变化。基于求解算法，不同出行广义费用下的客流需求和票价折扣率的优化结果如表5所示。值得关注的是，群体1(一般群体)的票价折扣率衡为0，因此，在表5中不进行统计。

图3 时间价值vs.客流需求Fig.3 Value of time λ1 vs.passenger demand

由表5可知，不同群体的出行广义费用系数变化对不同群体出行需求和票价折扣率具有一定的影响。不同群体的出行广义费用系数与不同群体的客流需求之间均呈负相关性，即随着的增加，各群体的客流强度呈现下降趋势；不同群体的广义费用系数与不同群体的客流需求之间均呈正相关性，即随着的增加，各群体的票价折扣率在约束范围内呈现上升趋势。

表5 不同出行广义费用系数对不同群体出行需求和票价折扣率影响Table 5 Influence of on demand and fare discount rates of different groups

表5 不同出行广义费用系数对不同群体出行需求和票价折扣率影响Table 5 Influence of on demand and fare discount rates of different groups

e()i p不同群体出行需求不同群体票价折扣率学生0.30 0.32 0.35 0.37 0.38 0.40 0.40 0.40 0.41 0.41 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10一般群体29284 27771 26258 24745 23232 21719 20206 18693 17180 15667残疾人2028 1983 1938 1893 1848 1803 1758 1713 1668 1623老年人3786 3739 3692 3645 3598 3550 3501 3451 3399 3346学生6269 6113 5957 5800 5644 5487 5331 5174 5018 4861残疾人0.50 0.52 0.53 0.55 0.57 0.58 0.60 0.64 0.68 0.70老年人0.50 0.56 0.62 0.68 0.74 0.78 0.80 0.80 0.80 0.80

值得关注的是，随着出行广义费用系数的增加，对一般群体的出行需求影响较为明显。因此，在保持其他群体出行广义费用系数和票价折扣率在优化解的前提下，进一步探讨一般群体出行广义费用系数对不同交通群体的客流需求和列车开行间隔之间的关系。一般群体的客流出行广义费用系数的变化范围分别是[0.01,0.10]时，不同交通群体的客流需求和列车开行间隔的影响如图4所示。

图4 客流出行广义费用系数vs.客流需求和开行间隔Fig.4 Generalized travel cost coefficient vs.passenger demand and headway

由图4可知，一般群体的客流出行广义费用系数与不同群体的客流需求之间均呈负相关性，即随着一般群体的客流出行广义费用系数的增加，各群体的客流强度呈现下降趋势，但对其他群体的影响较小；一般群体的客流出行广义费用系数与列车开行间隔呈正相关性，随着一般群体的客流出行广义费用系数增加，列车开行间隔也随之增加，且影响较为显著，这是由于一般群体约占总群体需求的60%，对企业运营计划影响较大。

(3)补贴水平对运营系统效益影响分析

运营企业系统表现的高低是反映运营企业服务水平高低的主要指标。通过运营企业剩余、乘客剩余和社会福利等指标衡量运营系统表现。政府补贴水平对运营系统表现的影响，系统效益和客流需求随着补贴水平的变化趋势如图5所示。

由图5可知，城市轨道交通系统效益与补贴水平呈正相关性，运营企业剩余、乘客剩余和社会福利的变化率均大于0，表明运营企业剩余、乘客剩余和社会福利指标随着补贴水平的增加而增加。随着补贴水平的增加，运营企业剩余、乘客剩余和社会福利指标的变化率逐渐下降，最终趋于0，表明政府继续提高补贴水平不会为运营系统带来更高的效益。这是因为，在政府补贴约束下，各交通群体的票价折扣率受政府补贴约束影响，因而，不会盲目的上升。当各交通群体的票价折扣率达到相应的边界时，所需的总补贴将固定不变，此时，再增加补贴不会影响各群体的需求。

图5 系统表现vs.补贴水平Fig.5 System performance vs.subsidy level

5 结论

本文研究考虑了城市轨道交通系统中交通群体对票价敏感度的差异性。综合考虑政府、运营企业及不同群体之间的相互作用，构建了以社会福利最大化为目标的基于不同群体的运营补贴优化模型，同时考虑了运营企业的服务水平、政府的财政水平及不同交通群体的票价折扣区间。依据模型的特点，设计了相应算法求解。最后，通过实际算例分析，检验优化模型及算法的正确性和有效性。本文得到的主要结论如下：

(1)通过灵敏度分析方法对比不同交通群体各项指标之间的差异性。时间价值系数与不同群体客流需求之间均呈负相关性；城市轨道交通系统效益与补贴水平呈正相关性。在政府补贴约束下，各交通群体的票价折扣率受政府补贴约束影响，因而，不会盲目的上升。当各交通群体的票价折扣率达到相应的边界时，所需的总补贴将固定不变，此时，再增加补贴不会影响各群体的需求。

(2)在政府补贴额度约束下，得到的不同群体票价折扣率的优化幅度不同。各群体的票价折扣率的实用策略为：一般群体不享受折扣，残疾人4折优惠，老年人2折优惠及学生6折优惠。相应地，不同群体出行所获得的补贴额度也不同。

(3)福利票价方案实施前后，不同交通群体客流需求产生了显著的变化。在福利票价政策实施之后，一般群体的出行需求基本不受影响的前提下，交通特殊群体的出行比明显提升，意味着城市公共交通出行提高了特殊群体的吸引力。