带有谐波减速器的框架系统速度波动抑制

陈祥文，李海涛

（1.北京航空航天大学 仪器科学与光电工程学院，北京 100191；2.北京航空航天大学 宁波创新研究院，浙江 宁波 315800；3.北京航空航天大学 前沿科学技术创新研究院，北京 100191）

1 引言

控制力矩陀螺以其输出力矩大、动态响应快、控制精度高等优点成为超敏捷卫星和大型航天器的理想执行机构［1-3］。控制力矩陀螺主要由高速转子系统和框架系统两部分组成。其中高速转子系统产生角动量H，框架系统通过提供转速ω来改变角动量H的方向，从而对外输出力矩，陀螺输出力矩为二者的矢量积。在控制力矩陀螺正常工作的状态下，高速转子系统处在稳速状态，为陀螺提供恒定的角动量H。此时，陀螺输出力矩的精度取决于框架系统转速ω的精度［4］。因此，实现框架系统输出转速的高精度控制对于提高控制力矩陀螺输出力矩精度具有十分重要的意义。

在航天应用当中，为满足航天器对于体积和重量的要求，控制力矩陀螺需要在保证输出大力矩的同时，尽可能减小其自身尺寸。因此，需要在框架系统中增加减速机构以实现这一需求。相较于其它减速机构，谐波减速器具有体积小、传动比大、传动精度高、结构和安装简单等优势，成为控制力矩陀螺理想的减速机构。但是由于运动误差、迟滞特性和非线性摩擦等因素，谐波减速器的输出转矩表现出非线性特性，使得输出角速率存在较大波动［5］，而由于谐波减速器各组件的加工和装配误差导致的运动误差是框架系统产生速率波动的主要因素［6］。Miyazaki等人认为谐波减速器运动误差是电机端角位置偶数倍频的正弦叠加，呈现出位置域周期性［7］。

为抑制运动误差造成的框架系统速率波动，文献［8］通过非线性微分跟踪器获取角加速度信号，实现了加速度反馈控制。Godler等人将加速度反馈与重复控制相结合以抑制负载端角速度的周期性波动［9］。但是重复控制需要一定的收敛时间，虽然在匀速状态下可以获得良好的控制效果，但当系统处于变速状态时，由于收敛时间的存在，其动态响应性能较差。

为更好地抑制谐波减速器的非线性传输力矩，提高转速的控制精度，一般采取前馈控制对干扰进行抑制。相较于反馈控制，前馈控制将干扰量直接引入调节装置，按照干扰的作用对被控量进行调节，对于干扰的抑制要比反馈控制及时。在谐波减速器的相关研究中，目前常用的前馈控制方式有两类：（1）以非线性传输力矩建模为基础，基于模型的前馈；（2）将非线性传输力矩视为扰动，使用干扰观测器对其观测并在控制器中进行补偿。

对于第一类方式，文献［10］提出了一种基于Preisach模型的建模方法，通过建立柔轮输出力矩与扭转角之间的关系，得到谐波减速器迟滞特性模型。党选举等人用非线性函数代替Prandtl-Ishlinskii模型框架下Play算子的线性部分，并在此基础上建立了神经网络迟滞模型，提高了建模精度［11］。针对非线性摩擦，有研究人员利用采样电流和估计的角加速度建立了库伦+粘滞+Stribeck摩擦模型，并设计了基于该模型的前馈补偿控制算法用以提高框架系统的速度控制精度［12］。文献［13］提出了一种基于拉格朗日方程的在线建模方法，通过对谐波减速器非线性传输转矩建模补偿以实现对负载端转速波动的抑制。但是建模过程中存在参数辨识困难，前期工作量大等问题。另一方面，由于谐波减速器的非线性传输力矩成因复杂，在建模过程中需要对一些因素进行取舍，难以实现精确建模，所以基于模型的控制方法的补偿精度受到一定限制。

对于第二类利用干扰观测器观测非线性传输转矩并补偿的方式，文献［14］提出一种基于干扰观测器和自适应方法相结合的前馈补偿方法，用以补偿谐波减速器转矩波动导致的速度波动。在此基础上，王冲冲等人在内外回路中分别采用干扰观测器对非线性摩擦和周期性扰动进行观测和补偿［15］。但基于传统状态干扰观测器的补偿方法，其观测器增益矩阵选取困难，同时，传统的状态干扰观测器设计通常集中于保证控制器与观测器相结合之后的系统稳定性，很少关注扰动观测精度。为简化观测器增益参数选取，提高观测精度，文献［16］使用级联扩张状态观测器来替换传统的状态干扰观测器，但是带有谐波减速器的框架系统的动力学方程不满足积分串联形式，需要通过李导数对其进行坐标变换，增加了系统的计算复杂度。

除上述两类方式之外，从跟踪性能的角度出发，迭代学习控制也是一种很有效的前馈控制方式［17-19］。迭代学习控制最初由日本学者有本卓在1984年首次提出，由于其结构设计简单、不依赖于被控对象的模型、对周期性扰动信号具有很好的抑制作用，因此得到了广泛的应用［20］。文献［21］通过对输入、输出信号的迭代学习来获取定位系统复杂动力学的等效逆模型，实现了音圈电机电磁驱动平台的高精度控制。Bolder等人使用迭代学习控制来调节参数化前馈控制器的自由参数，以实现系统的无静差跟踪［22］。同样是针对参数化前馈控制器设计，Dai等人通过基于逆模型的迭代学习控制方法在匀速状态下获取前馈补偿信号，以实现系统对参考信号的无静差跟踪，然后通过多项式对前馈补偿信号进行拟合，获取参数化的前馈控制器，从而达到在变参考状态下的无静差跟踪［23］。

传统的迭代学习控制是在时间域内进行迭代，但是运动误差导致的速度波动是在电机端的位置域内呈周期性的，所以不能直接应用。为解决这一问题本文将位置域与迭代学习控制相结合，利用运动误差导致的速度波动在位置域内的相位不变性［24］，在位置域内对调节误差进行迭代学习在线建立前馈补偿表，实现了变速情况下的快速响应和精确补偿，提高了间驱式框架系统负载端的速度跟踪精度。

2 间驱式框架系统速率波动分析

带有谐波减速器的框架系统动力学方程可以表示为：

其中：ωm和ωl分别是电机端和负载端的转速，Jm和Jl分别是电机端和负载端的转动惯量，Bm和Bl分别是电机端和负载端的阻尼系数，Kh是谐波减速器的扭转刚度，N是谐波减速器的传动比；表示谐波减速器折算到负载端的扭转角，θm和θl分别是电机端和负载端的角位置；Te表示电磁力矩，Td表示负载端的扰动力矩。

间驱式框架控制系统采用速度环和电流环双闭环结构，负载端角速率和运动误差θe之间的关系为：

其中：a0=N[B2B3+B2B7Bl]+KhGω(s)KmGi(s)；a1=N[B2B6+B3L+B7(JlR+BlL)+KmBlCe]；a2=N[B2B5+B6L+B7JlL+KmJlCe]；a3=N[JmJlB2+B5L]；a4=NJmJlL；B0=NKhJm；B1=B1B2+NB3L+B4Jl；B2=R+Gi(s)；B3=KhBm；B4=KhCeKm；B5=JmBl+分别是速度环和电流环PI（Proportional Integral）控制器的传递函数，分别是速度环和电流环的比例项系数和分别是速度环和电流环的积分项系数；分别是电机数学模型，电机端负载数学模型和负载端负载数学模型，L为定子电感，R是定子电阻，Km=1.5pψf是电机的力矩系数，ψf是电机的磁链系数；Ce是电机的反电势系数。

文献［6］给出了谐波减速器运动误差的一般表现形式：

其中：Ai（i=1，2，3，…，n）表示各倍频的正弦幅值。根据运动误差表达式（3）可以知道其引起的负载端角速率波动具有位置域周期性，将位置域频率f͂定义为：

其中，f为时间域内的频率。对框架系统不同转速下的速率曲线进行FFT分析，得到运动误差在位置域中的频谱图，如图1所示。

图1 运动误差在位置域频谱图Fig.1 Spectrum of motion error in position domain

由图可知，运动误差在不同速度下都是电机端角位置的偶数倍频，而且集中在低频段，其主要 频 率 分 量 为

3 迭代学习前馈补偿控制

为抑制运动误差导致的负载端转速波动，在传统双闭环控制结构中引入基于位置域迭代学习控制的前馈补偿方法，通过对速度环调节误差进行迭代获取补偿表。

传统的迭代学习控制所解决的周期性扰动问题，通常是指在时间域内的周期性，而谐波减速器运动误差导致的负载端速率波动在电机端的位置域内呈现周期性。针对此类问题，文献［25］提出一种“域转换”方法，通过该方法可以将位置域内的周期性扰动转换为时间域的周期性扰动。本文首先在位置域内建立了迭代学习控制算法用以抑制谐波减速器负载端角速率波动，然后通过“域转换”方法将其转换到时间域内讨论其收敛性问题。所提出的迭代学习控制方法框图如图2所示，其中ej为第j个位置周期内的速度调节误差。

图2 迭代学习控制框图Fig.2 Block diagram of iterative learning control

根据图2可以得到位置域中迭代学习控制表达式为：

其中：s͂表示位置域中的拉普拉斯算子；Γ表示反馈增益；Φ是学习增益；α∈(0，1)为遗忘因子，用于抑制非周期性信号的影响，其大小与收敛速度负相关，为保证系统动态响应速度，α应在条件允许范围内尽可能的小。该表达式是以位置域中的拉普拉斯算子为自变量得到的，相较于传统的时间域中的拉普拉斯算子，二者之间只是选取变量的表达形式有所不同，其所代表的实际物理意义是一样的。二者之间可以通过“域转换”原理进行变换，具体变换形式为：

其中：f(t)是时间域中的函数是位置域中的函数，对求导可得：在框架系统中因 此s͂和s之间的关系可以化简为：

根据（8），可以将（5）在时间域中表示为：

使用双线性变换法将（9）离散化为：

由于迭代学习控制律中不包含具体的拉普拉斯算子，因此（9）和（10）只需要更换自变量即可。结合迭代学习控制之后，完整的框架系统控制框图如图3所示，其中红框部分可以等效为被控对象Gp（s）：

其中：Q1(s)=1+Gi(s)Gm(s)，Q2(s)=s+KhGl(s)，Q3(s)=KmCeGm(s)Gml(s)。使 用 双 线性变换法，将Gp(s)和Gω(s)离散化为：

收敛性是迭代学习控制的主要指标之一，只有当迭代学习控制算法收敛，才能够确保控制系统的整体稳定性，根据图3可以得到此时系统的状态：

图3 基于迭代学习控制前馈的框架系统控制框图Fig.3 Block diagram of gimbal system based on iterative learning feedforward control

其中：uj(z)、uc，j(z)和us，j(z)分别是第j个时刻 迭代学习前馈的输出、速度环控制器的输出和Gp(z)的参考。根据（14），可以得到：

将（14）中第5式与（15）相结合，通过递推的方式可以得到第j个时刻的速度调节误差表达式：

为了尽可能减少阻尼等与速度相关的扰动的影响，使得速率波动的位置域周期性更加明显，从而获取准确的补偿表，系统需要运行于匀速状态。因此（16）式的右侧第二项为一恒值常量，系统的收敛条件可以表示为：

在参数选取时，首先根据噪声抑制效果与迭代次数之间的关系确定遗忘因子，然后通过极点配置和收敛条件获取参数选取范围，最后通过仿真和试验效果确定参数取值。

在实际系统中，补偿信号会在迭代过程中引入遗忘因子难以完全抑制的非周期性噪声。多次迭代后，当调节误差中周期性波动的幅值小于噪声的幅值时，继续迭代会放大噪声，使得补偿效果变差。为此，本文通过如下停止条件来确定迭代停止时刻。

当条件（18）成立时，迭代学习控制算法停止迭代，前馈补偿表建立。前馈补偿量根据当前电机端角位置查表获取，不受参考指令变化的影响，确保了框架系统在变速条件下的动态性能。

4 仿真验证

为验证所提方法的有效性和可行性，利用Matlab/Simulink对该方法进行了仿真验证，仿真中框架系统的主要参数如表1所示。

表1 间驱式框架系统的主要参数Tab.1 Main parameters of intermediate drive gimbal system

考虑到运动误差导致的负载端转速波动主要集中在低频段，仿真中施加的扰动模型如下：

图4给出了不同迭代次数下的补偿信号。通过该图可以发现，随着迭代次数的增加，补偿信号逐渐趋于稳定。这是由于迭代学习控制输出补偿信号是对同一角位置下的速度调节误差不断累积得到的，随着迭代次数增加，速度调节误差逐渐减小，补偿信号的变化逐渐趋于平缓。

图4 不同迭代次数下的补偿信号Fig.4 Compensation signal under different iteration times

在系统中不存在非周期性噪声的情况下，随着迭代次数的增加，在补偿信号的作用下，负载端速率波动逐渐趋于零，不同迭代次数下的负载端速率波动如图5所示。

当系统中存在非周期性噪声时，补偿效果与迭代次数之间不再是正相关，通过在仿真中增加高斯白噪声模拟系统噪声，补偿信号仿真结果如图6所示。

通过图6中的结果可以发现，在噪声存在的情况下，补偿效果在第15次迭代时最佳，之后随迭代次数的增加补偿效果变差。这是由于随着迭代次数的增加，负载端转速中噪声的幅值逐渐增大并最终超过周期性的转速波动，使得噪声对补偿信号的作用远高于周期性扰动的作用。换言之，补偿信号中噪声的含量随着迭代次数的增加而升高，最终淹没周期性补偿信号。仿真结果表明，当系统中存在噪声时，为保证补偿信号的准确性，迭代的次数必然是有限的，而且有限次的迭代在一定程度上节省了系统资源，提高了系统的运行效率。

图6 含有噪声时不同迭代次数下的补偿信号Fig.6 Compensation signal under different iteration times with noise

5 试验结果

本研究的试验平台是基于单框架磁悬浮控制力矩陀螺工程样机的试验系统，如图7所示。框架控制系统是基于DSP芯片TMS320F28377D实现的数字控制系统。永磁同步电机用于输入力矩，谐波减速器将输入力矩放大。负载端的角位置通过23位精度的双通道旋转变压器检测，并对该角位置进行后向差分获取转速用于速度闭环控制。电机端的角位置通过编码器来检测，用于电流坐标变换。系统的主要参数与仿真中的参数一致。

图7 基于单框架磁悬浮控制力矩陀螺的试验平台Fig.7 Experimental platform based on single gimbal magnetic levitation control moment gyro

为检验误差补偿表对速度波动的抑制效果，将在10°/s匀速条件下建立的补偿表加入到系统中，试验结果如图8所示。可以发现，加入补偿表之后，在各自转速条件下，速度波动被分别抑制掉了31.8%（5°/s）和40.9%（10°/s）。试验结果表明，所提方法获取的补偿表可以有效地补偿谐波减速器运动误差导致的转速波动，提高转速控制精度。

图8 匀速状态下补偿前后速度Fig.8 Speed before and after compensation at constant speed

图9给出了基于所提方法的正弦跟踪曲线及跟踪误差，正弦参考速度曲线为3sin（6πt）（°）·s-1。从图中可以发现，补偿后的跟踪误差被抑制了30.5%（从4.07°/s下降到2.83°/s）。同时，跟踪误差中的二倍频（图9中红框内）被有效补偿。试验结果表明基于位置域迭代学习控制建立的补偿表在动态条件下依然具有良好的转速波动抑制效果，这是由于所提方法在补偿表建立完成之后，迭代停止，补偿值根据电机端角位置查表获取，即使参考指令变化也无需重新学习，极大地提高了系统的动态响应性能。另一方面，从图8和图9的补偿效果可以看出在噪声特性不变的情况下，所建立的误差补偿表具有一定的普适性。

图9 正弦跟踪速度曲线及跟踪误差Fig.9 Sinusoidal tracking speed curve and tracking error

6 结论

本文在分析了谐波减速器运动误差的基础上，提出了基于位置域迭代学习控制的前馈补偿算法，用于对谐波减速器运动误差造成的负载端角速率波动进行抑制。同时对位置域迭代学习控制算法进行了分析，给出了算法的收敛条件和迭代停止条件。最后，通过仿真和试验验证了所提方法的有效性和可行性。试验结果表明，在施加了基于位置域迭代学习控制方法建立的补偿表之后，框架系统负载端速度波动量被抑制了30 %以上，所提方法为进一步提高带有谐波减速器的框架系统的速度控制精度提供了良好的基础。