合理创设结构不良试题——以解三角形问题为例

⦿安徽省绩溪中学 樊 荣

结构不良试题是新高考数学2020年开始出现的一类开放性创新题型，创设没有明确的结构或者解决途径的“另类”数学试题，契合现实生活中的问题形式，具有很好的开放性与创新性.结构不良数学试题，条件或结论等存在变数，是否有解也不确定，变化多端，形式各样.

而解三角形问题，比较吻合结构不良数学试题的基本特征，是考查此类题型的常见形式.通过解三角形知识的综合、交汇与应用，结合选择条件型与探索条件型这两种比较常见类型来展示，具有很好的开放性与创新性，能有效考查学生分析问题、解决问题的能力，对理解能力、探究能力、创新能力与应用意识等的考查也是积极和深刻的.

1 选择条件型结构不良试题

(1)求角B；

(2)求△ABC的面积.

分析：(1)从已知三个条件中选取一个，若选①，由余弦定理即可得解；若选②，利用正弦定理将相应关系式中的边化为角，可求得tanB的值，从而得解；若选③，结合辅助角公式的转化与应用，从而得以求解；(2)由正弦定理求出a的值，由两角和的正弦公式求出sinC，再利用三角形的面积公式即可求解.

何良诸回过神儿，说：“我走进你的办公室时，进进出出还有人，你说：‘何良诸同志，来了。’咱们俩素昧平生，你怎么认识我？”

点评：此类解三角形问题中选择条件型结构不良试题，可以从三角形的角、边、关系式等不同情境构建相应的条件，从给出的多个条件(一般三个)中选一或选二，结合其他已知条件来分析与处理.不同的选择，破解过程与对应的知识点有时可能不相同，结论有时也不尽相同.

2 探索条件型结构不良试题

解三角形中的探索条件型结构不良试题，属于题干条件不充分或不完整，需要根据相应的一些条件来探索原题目中的某些条件，通过逻辑推理、代数运算等加以补充完整；或者通过补充一些相关的条件，结合运算与推理，并根据补充条件的题目进行合理探究与分析，形成相应的判断或决策等.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

分析：结合已知可选的条件，选①时通过正弦定理、诱导公式以及两角和的正弦公式等确定角A的值；选②时通过正弦定理、余弦定理等，确定角A的值；选③时通过诱导公式、余弦定理等确定角A的值.在角A确定后，利用三角函数关系式的变形以及辅助角公式的应用，结合条件确定三角函数关系式的最值问题，进而探究关系式是否成立.

解析：选①，问题中的C不存在.理由如下：

选②，问题中的C不存在.理由如下：

选③，问题中的C不存在.理由如下：

点评：解三角形问题中探索条件型结构不良试题，根据题目条件的选择并结合已知条件通过探究与判断来确定一些相关结论的成立性与存在性.破解的关键在于合理化归与转化，巧妙借助逆向思维等，对条件与答案之间的相互关系进行合理探究与分析，进而得以判断与决策.

涉及解三角形问题中结构不良试题的命制与创设，是对解三角形知识的进一步深入与拓展，也是知识与思维密切联系与交汇的一个典范.通过解三角形，将三角函数、平面几何、不等式等相关知识加以融合与交汇，同时渗透开放性思想与创新性思想，巧妙创设，创新应用，引导学生从数学知识的习得与记忆转向问题的分析与解决、策略的选择与应用，使数学应用、创新应用在思维层面得以真正地发酵、发生.