例谈基本不等式在高考中的应用

谢文龙

(云南省下关第一中学)

基本不等式的应用是近几年高考考查的热点,基本不等式主要用于判断数值的大小、求解取值范围以及最值,这类问题题型较多,重点考查学生利用所学知识解决问题的能力.

1 利用基本不等式比较大小

综上,a＞b＞c,故选A.

点评本题主要考查了学生利用基本不等式比较大小,考查学生分析问题和解决问题能力,解题的关键在于基本不等式的应用.

变式已知a＝log75,b＝log97,c＝1.110.1,则a,b,c的大小为( ).

A.c＜a＜bB.a＜b＜c

C.b＜a＜cD.c＜b＜a

解析先分析得到c＞1,0＜a＜1,0＜b＜1,再利用作差法结合基本不等式判断a,b的大小.c＝1.110.1＞1.110＝1,a＝log75＜log77＝1,

2 利用基本不等式求范围

例2(2022 年新高考Ⅱ卷12,多选题)若实数x,y满足x2＋y2－xy＝1,则( ).

A.x＋y≤1 B.x＋y≥－2

C.x2＋y2≤2 D.x2＋y2≥1

解析因为,而x2＋y2－xy＝1可变形为(x＋y)2－1＝3xy≤3)2,解得－2≤x＋y≤2,当且仅当x＝y＝－1 时,x＋y＝－2,当且仅当x＝y＝1时,x＋y＝2,所以A 错误,B正确.

对x2＋y2－xy＝1变形可得

所以C正确,D 错误.

综上,选BC.

点评本题考查了利用基本不等式求范围,考查学生对于基本不等式和重要不等式的应用以及转化能力.

变式1若a＞0,b＞0,且a＋b＝2,则下列不等式恒成立的是( ).

综上,选D.

变式2(多选题)已知a,b∈(0,1),且a＋b＝1,则( ).

A.a2＋b2≥

B.lna＋lnb≤－2ln2

C.lnalnb≥(ln2)2

D.a＋lnb＜0

解析利用基本不等式可判断选项A;利用基本不等式结合对数函数的单调性可判断选项B;利用特殊值法可判断选项C;构造函数f(x)＝1－x＋lnx,利用函数f(x)在(0,1)上的单调性可判断选项D.

对于选项A,因为1＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≤2(a2＋b2),所以a2＋b2≥,当且仅当a＝b＝时,等号成立,故A 正确.

对于选项D,令f(x)＝1－x＋lnx(0＜x＜1),则f′(x)＝＞0,所以f(x)在(0,1)上为增函数,因为0＜b＜1,则f(b)＝1－b＋lnb＝a＋lnb＜f(1)＝0,故D 正确.

综上,选ABD.

3 利用基本不等式求最值

例3(2022年全国甲卷理16)已知△ABC中,点D在边BC上,∠ADB＝120°,AD＝2,CD＝2BD.当取得最小值时,BD＝_________.

例4(2022年新高考Ⅰ卷18)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知

变式3在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC＝120°,∠ABC的平分线交AC于点D,且BD＝1,则4a＋c的最小值为________.

当且仅当c＝2a＝3时,等号成立,则4a＋c的最小值为9.

(完)