最近发展区理念下的解题教学探究

王 浩

(安徽省蒙城县第二中学，233500)

维果斯基的“最近发展区理论”指出,学生有两种发展水平：第一种是当下已有的水平,就是学生在独立解题的情况下具备的水平;第二种是学生未来能具备的水平,即学生通过努力学习和老师的教育所能达到的水平与发掘出的潜力．这两种水平之间存在的差异就是所谓的最近发展区.数学课堂教学应基于最近发展区展开,通过教师的教学引导、学生的模仿思考,使学生的思维能力获得最大限度的提高．

解题教学是数学课的重要课型之一,其重要理念是在课堂上通过有限的例题分析讲解,传授解题思路的探究、解题方案的完善、解题过程的实施等,使学生通过理解吸收、模仿作业,使解题能力获得较大的提高．那么，如何提升学生的独立思考的能力？本文基于最近发展区理念对此进行探究．

一、题设条件的最近发展区

对一道题目的认识也是有最近发展区的.拿到题目后,通过读题审题,首先注意到的是题目的已知条件和待求结论,所以从已知条件出发,往什么方向思考非常重要.当然是从最近的、最容易想到的地方出发,然后进一步向周边扩展,向目标方向去逐步靠近,这是一种习惯思维．这种思考方法是基于对题目条件的清晰理解,对常规解题思路的熟练掌握,对解题方向的有效把控．

评析上面的求解思路就是紧紧抓住所给条件中的递推公式,从它可能的最近发展区去分析探索,寻找一条可以解题的路径．

二、待求结论的最近发展区

审题的一般过程是从条件到结论,但如果题目的待求结论比较复杂,或者似乎熟悉,也可以优先从结论的最近发展区去理解思考、分析探究．此时的思考方向应该是朝着题目中的主要条件去的,虽然是反向的,但必须时刻注意,其中的每一步推理都是可逆的,否则,整个推理过程不能成立．

例2设a，b，c为任意三角形的三边长,I=a+b+c,S=ab+bc+ca,试证:3S≤I2<4S．

本题中待证的结论是一个不等关系,所以需要从结论中的特殊结构来证明.先考虑I2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=a2+b2+c2+2S，欲证3S≤I2<4S,即证ab+bc+ca≤a2+b2+c2≤2ab+2bc+2ca,先证明ab+bc+ca≤a2+b2+c2,只需证2a2+2b2+2c2≥2ab+2bc+2ca,即(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2≥0,是显然成立的;再证明a2+b2+c2<2ab+2bc+2ca,只需证a2-ab-ac+b2-ab-bc+c2-bc-ca<0,即a(a-b-c)+b(b-c-a)+c(c-b-a)<0,只需证a

评析上面的分析过程是从结论出发,探索前进,化不熟悉为熟悉,揭露其问题的实质,然后再围绕目标,解决各部分问题,充分体现逆向分析证题的长足之处．

三、重要概念的最近发展区

一些数学问题可能是某一个重要概念的应用.解题时,应该围绕这个概念的最近发展区进行探索和挖掘,充分暴露这个概念告诉我们的信息,寻找满足此概念的相关条件,然后再结合题中其它条件,瞄准待求的结论进行分析推理.这样就可能会比较快地找到破题之路径,使解题少走弯路,避免考试时的隐性失分．

(1)求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长(用a,k表示);

(2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点,求椭圆离心率的取值范围．

评析此处抓住至多有3个公共点这个重要概念,进行多方面的探索,获得破题信息,即排除圆与椭圆有4个公共点的情况,这就明确了解题方向．

四、特别技法的最近发展区

在数学解题过程中,需要用到许多解题技巧.这些解题技巧是有特定条件限制的,故而运用这些解题技巧时,首先要了解这个解题方法的条件是否满足？如何才能满足?这个方法使用后能够得到什么结果？对解题有没有帮助？等等.这就是围绕使用技巧的最近发展区进行研究,从而使解题过程更加合理、有序．

例4已知函数f(x)=xlnx,g(x)=-x2+ax-3.

(1)对一切x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围;

评析解答与曲线交点个数多少或与方程的根相关的问题时,可采用构造函数的方法,把问题转化为函数零点的个数多少的问题,进而可应用导数研究函数最值、极值、变化趋势等,解答出所要解决的问题．这些都是重要的解题技巧,必须完整把握．

在解题过程中,考虑从最近发展区分析问题是一个基本技能,如何把握好关键环节非常重要．通过典型例题的分析探求,帮助学生归纳出解题规律和常备技能,是课堂教学的主要任务．