“超回归”数学理解模型下的知识结构研究*——以“椭圆”为例

陈娜婷 刘达卓

(闽南师范大学数学与统计学院,363000) (闽南师范大学教育科学学院,363000)

全美数学教师理事会(NCTM)明确建议:“教育研究者和教学设计者要以促进学生实现理解性学习为目标,以‘数学概念和理解’作为数学教学的首要重点”[1]．不同学派的心理学家对“理解”有不一样的看法,完形学派认为，理解就是“顿悟”,是头脑中知觉“完形”的出现,是对事物间关系的突然贯通和领悟;认知心理学家奥苏贝尔认为，理解就是将新信息纳入原有的认知结构,新旧知识发生意义同化的过程;而行为主义学派则认为,理解是某种刺激与反应的联系过程,是行为的变化过程[2]．人对知识的理解是对概念、规则和方法的记忆过程,可以在大脑里快速搜索然后提取出来并应用到实际问题的解决当中．数学学习中“理解”是学习数学的关键环节之一．

“数学理解”已成为继问题解决之后当今数学教育界所关注的又一中心话题.马复认为，“数学理解”是从数学的角度去理解现实和对数学对象的理解[3]．数学理解是数学课程和教学的一个重要目标,也对学习者培养数学学习能力、渗透数学思想方法、发展数学核心素养等有重要作用．

一、“超回归”数学模型

如何将理解这种内在的、不易表现的复杂心理现象呈现出来,构建数学理解的模型提供了间接了解理解过程的一种方法,即利用模型间接、直观地描述学生数学理解的动态过程．在当今数学教育研究潮流中,1991年,Pirie和Kieren 基于“数学理解是一个根植于学习者内部并且与学科内容及特殊环境有关的过程”的信念[3，4]提出的“超回归”数学理解模型[5](Transcendent Recursive Model)，引起大家的关注．

1.模型介绍

“超回归”模型理论的提出是建立在认知结构的观点之上,数学理解是一个正在进行的、分水平的、非线性的动态过程．此过程被划分为八种水平,依次分别是:原始认识、产生表象、形成表象、性质认知、形式化、观察评述、构造化、发明创造[6]．

这八种水平之间的关系如图1所示．

在这八个圆上有一个公切点,这个切点是建立新知识和学习的一个起点．每一个圈都没有特定的意义,但它生动地描绘了学习者理解的深度和广度,圆圈越大,表示学习者理解知识的程度越广、越深入和越深刻[7]．

2.模型特点

(1)超越性.该模型是非线性,层层递进,外侧的理解水平包含内侧的理解水平,而且在内侧水平的基础上有一定的统一和提升,也即内侧理解水平为外侧理解水平打下基础,外侧理解水平是内侧理解水平的升华,所以具有发展和超越性是模型的第一个特点．

(2)回归性.该模型揭示了理解过程的非线性.当在学习过程中的某一阶段遇到不能理解或难以解决的问题时,个体需折回到上一个水平或阶段,重新组织和整理对原有知识的理解,逐渐向外侧理解过渡[8]．此时所进行的内侧理解水平不是一开始的理解水平,而是带有外侧理解水平的特点．另外,“回归”并不一定是到相邻内侧的理解水平,有可能是更内层或多个内层的理解水平．

(3)不必要边界.该模型的各个理解水平之间是相互连接的,有时候各阶段的界限并不明确,可能还会融为一体．Pirie和Kieren认为，在水平2与水平3、水平4与水平5、水平6与水平7,这三组之间划分边界是不必要的．例如,当学习者根据原始知识和经验生成概念表征时,他们不需要重新进行回忆表征的活动,也不需要具体例子的支持．相反,他们可以直接操作和应用这些表示,以进一步理解和理解当前的进展．

以上就是“超回归”理解模型的八个水平和三个特点[9],也有些学者将该模型称为“洋葱模型”．

二、“超回归”数学模型下椭圆教学知识结构研究

解析几何是数学中的一个重要分支,它是数与形结合的典范,衔接了代数与几何等最基本对象之间的联系．“圆锥曲线”作为解析几何中的核心组成部分,同时也是高考的重要考点．

本文以普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)[10]的选择性必修中的第三章“圆锥曲线的方程”中椭圆知识为基础,以“超回归”理解水平模型为依据,分析椭圆的教学设计结构(见表1).

表1

(续表)

三、启迪

理解是数学学习过程的重要环节,也是掌握、运用数学知识,提高数学能力的关键之一．数学中很多知识点均可应用该“超回归”数学模型进行分析．“超回归”数学模型给我们的启迪是:

1.使用“螺旋式”的教学策略

从该模型中可知,数学理解并非是线性的动态过程,有些数学知识的理解并不是一蹴而就,只有重新返回内侧水平,多次理解才能够更好地认识问题、解决问题．在数学教学过程中,为了加深和拓展学生对数学基本概念和原理的理解,应以基本概念和原理为核心,将知识“螺旋”排列,便于学生能够反复接触重要的基本概念和原理,直到学生掌握这些基本概念的知识体系[6]．

2.减少“灌输”知识,增加理解性教学

《普通高中数学课程标准》指出:“教师应该帮助学生理解和掌握数学基础知识和基本技能,注重对数学本质的理解和思想方法的把握”[10]．传统的教学方式是只希望学生会解题,通过题海战术,让学生熟悉解题套路,并没有重视学生是否真的理解．新课标要求更新以往观念,改变旧的教学方式,采用理解性教学,让学生真正地了解数学,掌握数学．

3.常用思维导图,学会反思

数学的知识点较多,学生要学会用思维导图形式将知识(点)系统而富有逻辑地呈现，以便揭示其内在联系、形成认知结构．在解题过程中,如有疑惑,回头反思知识点,也即返回内侧理解水平,以新的外侧水平视角看问题,这样更易于解决问题．

4.养成探究性学习,学会举一反三

高中阶段的数学学习更加注重学生自主学习能力的培养,只有彻底掌握数学知识点,将数学知识体系熟记于心,才能融会贯通,实现自主性、探究性学习．高中学习任务重,要在有限的时间内完成繁重的课业,这将要求学生学会将理论知识内化为能力与素养，并能灵活运用,学会举一反三,提高学习效率．