经典风险模型下带有指数罚金函数的最优分红策略

李 娜，王 伟

（天津师范大学数学科学学院，天津 300387）

最优分红问题是保险精算领域中的重要研究课题之一.在风险理论中，文献[1]最早考虑了最优分红问题，其重点研究了离散过程下的最优分红问题，提出保险公司应该寻求最大化累计分红的期望贴现值，并指出了最优分红策略是一个壁垒分红策略.文献[2]得到了有界分红和无界分红情况下的值函数的古典解，并给出了对应的最优分红策略.当公司盈余为负时，以往的相关研究通常考虑注资或破产.而在实际中，当公司盈余变为负值时并不会立即破产，所以允许负盈余的情况更加贴近实际. 文献[3]对经典的de Finetti 最优分红问题进行了改进，在值函数中加入了额外项来重新考虑破产时间，从概率的角度分析了谱负的Lévy 风险过程.文献[4]在讨论最优分红问题时加入线性罚金函数，旨在使破产时服从仿射罚函数的分红支付最大化.文献[5]研究了带有破产惩罚的比例再保险和分红策略问题，并且同时考虑了正惩罚和负惩罚.文献[6]研究了有界分红和无界分红情况下的带罚金函数的最优分红和注资问题，该问题产生的解为黏性解而非古典解.文献[7]研究了扩散模型下的最优分红问题，将罚金视为负资产的优先措施或成本，并指出壁垒分红策略是最优的.文献[8]在文献[7]的基础上考虑了对偶模型的最优分红问题，并加入了分红的比例交易费用.文献[9]研究了经典模型和对偶模型的带有仿射罚金的最优分红问题，其罚金函数采用线性函数的形式.

受文献[7，9]的启发，本文在经典风险模型中加入指数罚金函数，并设索赔额服从指数分布，考虑最优分红策略，针对参数的不同范围，得到了值函数的表达式，且给出了验证定理.最后通过数值算例讨论罚金函数参数对值函数和分红策略的影响.

1 模型建立和问题的提出

2 值函数的解和最优分红策略

由文献[10]可得如下引理1.

引理1 值函数V（x）是一个递增的凹函数，对于y ≥x，有V（y）-V（x）≥y-x，且

3 数值算例

表1 最优壁垒分红策略边界值Tab.1 Values of optimal barrier dividend policy boundary

根据定理3 的情况（1），固定β=0.08，图1 给出α分别取0.1、1.0 和10.0 时值函数的图像.

图1 当α=0.1、1.0 和10.0 时值函数的图像Fig.1 Images of value functions when α=0.1，1.0 and 10.0

4 结语

本文在允许负盈余的情况下，考虑在盈余为负时加入指数罚金函数Φ（x）=αe-βx.值函数仅当β ≤r1时存在，r1为cr2-（λ+δ-cγ）r-δγ=0 的正根.对于0 ＜β ≤r1，且索赔额服从指数分布时，推导出最优分红策略是边界分红策略，并确定了最优分红边界的表达式及相应的最优策略.此外，在本文基础上还可以考虑对偶模型的情况，这是将来可以继续研究的工作.