数学悖论与数学发展关系分析

王锦瑞，张亚娣

数学悖论与数学发展关系分析

王锦瑞，张亚娣

（1. 陕西学前师范学院 数学与统计学院，陕西 西安 710100；2. 商丘市民主路第二小学，河南 商丘 476000）

基于数学悖论的定义，探讨了数学悖论对数系、微积分、概率论、集合论、几何学等方面发展的影响，分析了数学悖论在无理数的产生，欧氏几何与非欧几何的发展、概率论的公理化以及微积分基础的完善等各方面发挥的不可替代作用．并由此表明，数学悖论的提出是数学发展过程中的必然产物，它反映出数学的概念、理论体系在当时历史条件下或存在一定漏洞，从而打破了数学思维的惯性及局限性，不断促进新的数学理论体系的产生，进而推动数学的发展与完善．

数学悖论；贝特朗悖论；罗素悖论；数学发展

公元前６世纪的古希腊，在克里特岛上的哲学家巴门尼德说：“每一个克里特岛人说的每一句话都是假话”．巴门尼德作为克里特岛上的一员，这句话显然是一个矛盾，这就是著名的巴门尼德悖论，是迄今为止发现的最早的逻辑悖论[1]．各种哲学悖论、逻辑悖论、数学悖论的产生在一定程度上为当时的科学发展带来困扰与恐慌，但从更深层面来看更为数学的进一步发展指明了方向．作为指路明灯的数学悖论，其分析与解决的过程促使数学理论体系逐步走向完善．本文通过分析数系、微积分、概率论、集合论、几何学等内容中提出的数学悖论及其解决方法，探讨数学悖论对数学发展史产生的重要影响．

1　数学悖论的定义

悖论的定义可以这样表述：由一个被承认是真的命题为前提，设为B，进行正确的逻辑推理后，得出一个与前提互为矛盾命题的结论非B，反之，以非B为前提，亦可推得B，那么命题B就是一个悖论，当然非B也是一个悖论[2]．我国著名数学家徐利治曾指出产生悖论的根本原因在于旧的认识与新的事实的冲突．也就是说，一切事物总是在不断发展的，而在这一过程中，可能会出现一些旧的认识无法解决的新的现实，从而引起思想认识方面的剧烈冲突，这种冲突发展成为悖论表现出来．

在数学研究过程中，根据严谨的符合既定规则的推理，通常会得出正确的结论．但是在有些情况下，却产生了与现有的数学规范互相冲突的认知矛盾，这就是数学悖论．数学悖论的产生通常是由于人的数学思维在特定历史时期具有局限性，暴露了一定历史阶段下数学基础体系的不足．与一些超越客观事实的哲学悖论不同，数学悖论基于人类对于客观事实的认识而产生，是人类依据客观事实不断追寻真理的产物．研究数学悖论，有助于了解数学内部矛盾的产生、解决及发展进程．

2　数学悖论与数学发展的关系分析

2.1　数学悖论与数系发展

数系发展经过了一个从模糊到清晰不断扩充完善的过程．其中，无理数的发现对整个数系的发展起着不可忽视的作用．公元前600—500年，作为历史上第一个数学共同体的毕达哥拉斯学派，在当时的古希腊数学界占据绝对的领导地位．他们所推崇的“唯数论”也被看作是绝对权威，不可撼动的真理．他们认为数的和谐即为宇宙的本质，崇尚“万物皆数”[3]．在其理论中，数被分为整数和分数（整数之比）２种，并认为万物皆是可公度的．

但是，毕达哥拉斯学派的一个学生希帕索斯（Hippasus）在对正方形对角线长度的求解过程中得出其是一个不可公约量，可公度原理是不正确的．并且在此过程中证明了其作为一个量存在的合理性．毕达哥拉斯悖论的出现使“一切量皆可公度”这一理念不再被人信服．毕达哥拉斯学派陷入两难的尴尬境地．

在之后的很长一段时间里不可通约量都被视为一种“怪数”而令人难以接受．直到19世纪也没有学者能够给予无理数一个明确的定义．随着分析学的发展，人们不得不重视无理数的研究．19世纪下半叶，哈密顿、威尔斯特拉斯、戴德金和康托尔等著名的数学家认真地研究了无理数，给出了无理数的严格定义，提出了一个同时含有理数和无理数的新的数类——实数，并建立了完整的实数理论[4]51．至此，无理数终于被充分理解且有了合法的地位，人类对数的认识也自此扩充到完备的实数理论，之后，数系不断扩大和发展，复数、四元数等多种数系逐渐被定义出来，数域的分类不断细化．

2.2　数学悖论与微积分的发展

17世纪后期，微积分学快速发展起来并以其运算完整且应用范围广泛的优势在自然科学的理论研究和实际应用中发挥着重要作用，引起了人们广泛重视．但是，刚刚建立起来的微积分在基础问题中还存在许多缺陷，不能科学合理地给出无穷小量的概念，因此受到了来自不同方向的批判和攻击．其中最有力的攻击便来自英国大主教乔治·贝克莱（George Berkeley） 的评判，后人称其为贝克莱悖论．

无穷小概念的混乱与不规范导致微分、积分等理论的基础并不稳固，存在缺陷．但由于许多实际问题都可以通过微积分方法快速地解决，使得一些数学家对微积分基础问题的研究不再感兴趣．直到19世纪20年代，为了满足分析学的发展需要，微积分基础完善工作迫在眉睫．法国数学家奥古斯丁·路易斯·柯西（Augustin Louis Cauchy）在这一研究过程中做出了突出贡献．但由于缺少严格的实数理论作为支撑，柯西的理论依旧存在缺陷．之后，经过卡尔·特奥多尔·威廉·魏尔斯特拉斯（Karl Theodor Wilhelm Weierstrass）的不懈努力，完备的实数理论才得以建立起来．由此，经过众多数学家一个多世纪的共同研究，微积分理论的逻辑基础工作基本进入了尾声．微积分严密基础的实现解决了“无穷小量是否为零”的矛盾，分析学得到进一步发展．

2.3　数学悖论与概率论的发展

19世纪一门新的学科——几何概率学兴起，使得许多概率问题的计算更加快捷，而不用像以往一样仅仅局限于运用微积分的知识解决问题．但是贝特朗（Bertrand ）在探讨圆内有关弦长的概率时发现的贝特朗悖论却引发了争论．

运用3种不同的解决思路得出了3个不同的结论，这严重违背了数学的准确性，令人产生困惑．其实3种解法都有其合理性，产生这一结果根本原因，是因为在“取弦”时没有做具体的规定，通过给定相应“等可能假设”，我们可以得出与之对应的样本空间．如果在解题前列出所求弦在圆内分布3种情况，便可以得出3个相应的样本空间．针对不同的样本空间，产生了3种不同的答案．如果在题目中给出具体的样本空间，便可以得出唯一正确的答案．贝特朗悖论的提出明确了概率问题的基础，那就是首先应该确定样本空间的范围．

当时虽然借助分析法这一工具使得概率论得以进一步发展，但由于19世纪的分析学发展本身就不完善，导致概率论体系也存在一些缺陷．贝特朗悖论便是在这种背景中提出的．贝特朗悖论的提出引起了数学家们对概率论尤其是概率这一基本概念的深入思考，由此展开了关于概率论基础的一系列研究．1900年希尔伯特就曾呼吁要把概率论公理化的工作提上日程．著名数学家伯恩斯坦最早对概率严格化进行尝试，并在1927年出版的《概率论》中引进了3个公理：（1）概率的可比较性公理；（2）不相容事件公理；（3）事件组合公理[7]，并在之后给出了第一个系统的概率论公理化体系．但在他的体系中没有对概率的数值定义一个基本概念，没有从根本上解决问题．20世纪20年代起，数学家们通过不断探索分析，逐渐将概率基础问题的研究和集合论与函数论的思想联系起来，找到了正确发展方向，建立起以测度论为基础的概率论的公理化体系．至此，由贝特朗悖论引发的对概率论基础问题的疑惑得以圆满解决．

2.4　数学悖论与集合论的完善

其实，在罗素之前，一些数学家就已经相继给出关于集合论的一些其他悖论．但与罗素悖论相比这些悖论都相对繁琐，难以理解，因此仅出现了一些小波动而并未引起较大影响．罗素悖论因为谈论的是最基础的问题而显得通俗易懂，使其刚发现便被各界广泛讨论．众多数学家为了解决以罗素悖论为代表的集合论中的各种悖论很快行动起来．罗素提出了恶性循环原则，虽然遵循该原则是消除集合论中已知悖论的一种方法，但并未从根本上解决问题．德国数学家恩斯特·策梅洛（Ernst Zermelo）认为集合论中的一些悖论和矛盾是由它的根本原理导出来的．为此他提出９条公理并建立了Z公理．Z公理规定该公理系统只承认在其允许的范围内所构造的集合，罗素悖论由此排除．之后，经弗兰克尔（Abraham Fraenkel）等一批数学家对Z公理作了进一步完善和改进，形成了今天著名的ZFC系统．由于ZFC系统本身的相容性并没有解决，尽管如今现有的悖论都已解决，但依旧无法保证之后可能出现的情况．受到说谎者悖论的启发，奥地利伟大的数量逻辑学家库尔特·哥德尔（Kurt Godel）提出了不完备性定理，不完备性定理指出：“如果形式算术系统是无矛盾的，则存在着这样一个命题，该命题及其否定命题在该系统中都不能证明，也就是说它是不完备的”[4]52，这是关于数理逻辑研究的一个突破性成果．为数学家关于数学基础问题的不休争论画上休止符，第三次数学危机基本结束．

2.5　数学悖论与几何学的发展

第一次数学危机之前，古希腊人对几何学具有绝对的研究优势．他们依据原子论为基础，把几何与算数联系起来，获得了巨大成就．由于希帕索斯发现了不可公约量，证明并非所有线段都可公度，可公度原理随之被推翻．毕达哥拉斯学派的几何学也随之产生巨大漏洞．为了避开这一悖论，数学家工作的重点逐渐转移到几何上来．欧多克索斯（Eudoxus） 引入了“量”的概念，以“量”来表示线段、角等不是固定不变的东西，并以此与离散的数区别开来． 欧多克索斯用“量”表示不连续的数与几何图形联系起来，重新给出了两者间的对称关系．虽然欧多克索斯的这种方法为不可公度比给出合理的解释，促使当时的几何学的研究不断深入，但同时也将其与代数分裂开来，导致仅仅在几何学中才能进行相关计算．同时使得希腊人意识到应该用更加严谨的态度对待几何研究问题，不能仅仅依靠直觉想法或生活经验给出结论．由此希腊人在几何研究中加入推理和证明，不断消除矛盾和解除危机，希腊数学进入巅峰时期．

公元前3世纪，欧几里德通过对当时的几何学研究成果进行详细归类和分析，编写出《几何原本》．《几何原本》的出版标志着几何学由此进入欧氏几何时代 ．但随着研究的不断深入，该书中的第五条公设引起了质疑．为了证明这一公设的合理性，数学家们进行了各种尝试，但都以失败告终．并且在这一过程中发现了许多“直观悖论”，非欧几何也由此逐渐发展起来．由于欧氏几何其直观与逻辑推理结果完全一致，而非欧几何则是彼此对立的，因此由于非欧几何中出现了“直观悖论”，致使那些以直观作为真理标准的数学家不承认非欧几何的存在[10]．直至后来通过数学家克莱因等人的努力，非欧几何才慢慢地得到认可．

3　数学悖论与数学发展的关系评价

数学悖论带来的影响并不是负面消极的，更多的是为数学的进一步发展指引方向．在数系、几何、概率等多个数学领域的发展过程中，数学悖论均发挥着不可忽视的作用．数学悖论作为源头引发了３次重大数学危机，但每一次危机的解决又促使数学体系更加完备．经过第一次危机，数系因无理数的加入得以扩充．同时使古希腊数学家认识到，对事物的判断不能仅依靠直观感觉和生活经验，严格的推理证明更加可靠．以致后来他们对待几何知识更加严谨，欧氏几何正是由此逐渐发展起来．第二次数学危机引发数学家对实数论的浓厚兴趣，实数理论由此建立，为微积分的进一步完善奠定了更加稳固的基础．第三次数学危机发起了关于数学基础问题检查和巩固的工作，修补了数学大厦根基的裂缝．经过发现悖论——解决悖论这样一个循环往复螺旋向上的过程．面对数学悖论带来的恐慌与危机，人类逐渐从否认、逃避转变为接受并积极寻找解决的方案．如今，数学悖论带给我们的不仅仅是困惑，更多的是思维的开拓、数学的发展与完善，期待新的数学悖论的出现，并由此推动数学的进一步发展．

[1] 黄斌．破解说谎者悖论[J]．西南大学学报（社会科学版），2009，35（2）：59-65．

[2] 束永祥，卢蕊．数学悖论研究[J]．镇江高专学报，2009，22（1）：53-58．

[3] 兰林世．三次数学危机与悖论[J]．集宁师专学报，2003，25（4）：47-49．

[4] 李文铭．数学史简明教程[M]．西安：陕西师范大学出版总社，2008：51-52．

[5] 王昭辉．数学文化之数学悖论[J]．教育教学论坛，2016（49）：93-94．

[6] 黄晶晶，黄世同．关于贝特朗悖论的新思考[J]．昆明师范高等专科学报，2004，26（4）：10-12．

[7] 程小红，杨静．概率论公理化源头初探[J]．西北大学学报（自然科学版），2007，37（6）：1026-1028．

[8] 陶理．关于数学悖论的认识问题[J]．东北师大学报（哲学社会科学版），1993，6（17）：80-84．

[9] 凌晓牧．小议数学悖论[J]．江苏教育学院学报（自然科学学报），2010，26（12）：28-30．

[10] 李春泰．悖论在几何发展中的作用[J]．哈尔滨师范大学自然科学学报，1992，8（2）：27-32．

Analysis on the relationship between mathematical paradox and mathematical development

WANG Jinrui，ZHANG Yadi

（1. School of Mathematics and Statics，Shaanxi Xueqian Normal University，Xi′an 710100，China；2. Shangqiu Minzhu Road No.2 Primary School，Shangqiu 476000，China）

Based on the definition of mathematical paradox，the influence of mathematical paradox on the development of logarithm system，geometry，probability，calculus was discussed．The irreplaceable role of the mathematical paradox was specifically analyzed in the generation of irrational numbers，the development of Euclidean geometry and non Euclidean geometry，the axiomatization of probability theory，and the improvement of the foundation of calculus．it showed that emergence of mathematical paradox is the inevitable outcome in the process of mathematical development，it reflected that the concept and theoretical system of mathematics may have some loopholes under the historical conditions at that time，thus broken the inertia and limitations of mathematical thinking，constantly promoted the emergence of new mathematical theoretical system, and further promoted the development and improvement of mathematics.

mathematical paradox；Bertrand′s paradox；Russell′s paradox；mathematics development

1007-9831（2022）09-0022-04

N91

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2022.09.006

2022-01-05

国家社会科学基金项目（18BTJ014）

王锦瑞（1985-），女，陕西咸阳人，副教授，博士，从事数学史研究．E-mail：dreams1985@126.com