高中数学“函数的概念与性质”主题内容教学探究*

张晓斌 米新生 陈昌浩 余业兵

（1.重庆市教育科学研究院，重庆，400015；2.重庆市潼南中学校，重庆，402660；3.重庆市第18 中学校，重庆，400023；4.西南大学附属中学校，重庆，400700）

《普通高中数学课程标准（2017 年版）》（以下简称新课标）提出“落实立德树人根本任务，发展素质教育”“着力提升课程思想性、科学性、时代性、系统性、指导性”[1]的大背景，课程设置的重大变化是抛弃了模块设置，回归到数学内容本身，在基于数学知识“系统性、关联性和连续性”的前提下一改旧课程“知识领域—知识单元—知识点”的呈现方式，而是以“主线—主题—核心内容”的基本结构展开。人教A 版普通高中数学教科书（以下简称新教材）主编章建跃博士说：“核心素养下的高中数学教材变革，充分体现了整体性、过程性、联系性、选择性、融合性、实践性的特点。”[2]我们在研读了“函数的概念与性质”主题内容后，发现新教材在整体布局与细节处理上弥补了旧教材的很多不足，亮点很多，并就新教材“函数主线”内容的使用提出建议。

一、新教材“函数的概念与性质”主题内容简介

在旧课程中，函数是作为代数的内容呈现在数学课程中的。新课程基于菲力克斯·克莱因关于“函数的灵魂，应该成为中学数学的基石，应该把算术、代数和几何方面的内容，通过几何的形式用函数为中心的观念综合起来”[3]的理念，将核心素养的重要载体函数作为一个主线内容贯穿于整个必修课程和选择性必修课程，并围绕以下几个主题展开：“整体理解一般的函数概念，学会函数的基本性质；掌握一批具体的函数类型，学会运用函数研究数学问题和解决实际问题；感悟和运用函数内容中蕴含的数学思想与方法；以函数为载体促进学生核心素养的发展。”[4]“函数的概念与性质”是指函数的第一个主题“整体理解一般的函数概念，学会函数的基本性质”。其与新教材第一册第三章“函数的概念与性质”是有区别的，它分阶段连续地贯穿在整个“函数主线”内容始终，它是一个基于新课程整体单元化理念下的主题单元，在必修课程与选择性必修课程中（如图1，见下页）。

图1 “函数的概念与性质”主题的内容

二、新教材“函数及其性质”主题内容分析

1.主题内容整合优化，凸显知识内在联系

新教材通过“铺垫、整合、增删”优化主题内容，从知识系统的高度整体架构主题教学内容，一改旧人教版逻辑结构不好和衔接连续性不好的弊端，体现了数学知识系统的内部逻辑体系，使内容的逻辑顺序更加合理，凸显了函数主线下主题内容知识之间、主题内容知识与其他知识之间的内在联系。

（1）铺垫必要预备知识，使主题内容衔接

新教材的一个显著变化是设置了“预备知识”这一主题。这与旧教材在函数学习前只学习了集合比较有两个变化：一是改变旧教材中将“常用逻辑用语”安排在选修1-1 中的做法，把它放到预备知识的第一章，共同作为基础而进行集中教学，为函数相关概念、性质的学习积累必要的逻辑基础；二是将旧教材必修5 第三章中的“不等关系与不等式”“一元二次不等式的解法”和“基本不等式”设置到“预备知识”的第二章，为函数相关概念、性质的学习积累必要的结构分析和运算基础；三是优化设置了“二次函数与一元二次方程、不等式”，凸显三者之间的相互关系，为函数的学习积累必要的图象与解析式的关系认知基础。这样的变化一改旧教材高初中衔接脱节的问题，为“函数主线”的学习积累了认知基础，更好地促进学生数学素养的发展。

（2）整合重组主线内容，主题内容逻辑结构清晰

新教材的另一个显著变化是对“函数主线内容”的整合重组，通过更符合数学知识的逻辑结构和学生认知规律的整合重组，更有利于函数知识的系统建构，更有利于形成稳固的函数知识结构，更有利于促进学生的数学认知理解。具体有三处整合和一处顺序调整：将原教材必修一、四的函数三角部分的内容重组形成了第三章的“函数的概念与性质”、第四章的“指数函数与对数函数”和第五章的“三角函数”；将旧教材必修5 第二章数列调整为与“一元函数的导数及其应用”共同构成选择性必修二。这样整合和顺序调整后让学生在学习了“函数的概念与性质”后紧接着研究基本函数的概念与性质，然后在特殊函数“数列”的学习中继续巩固函数的概念与性质，最后利用“一元函数的导数及其应用”研究函数的概念与性质，更有利于学生“阶段性、连续性”的整体建构“函数的概念与性质”，形成更为稳固的知识结构。

（3）增删部分教学内容，凸显核心内容

新教材的再一个显著变化是增加和删除了部分教学内容，以达到进一步凝练教学各主线、各主题、各章节内容的目的，使之更符合各主线、各主题、各章节内容的逻辑结构，更有利于整体有序地建构数学知识。就“函数主线”来说，一是在必修第一册第四章第4.4 节对数函数部分增加了4.4.3 不同函数增长的差异，这样的增加不仅可以更深刻地理解指对函数的单调性，还有利于深刻理解一般函数的单调性；二是在三角函数部分删除了三角函数线这个内容，由于三角函数线和三角函数定义都是单位圆周期模型的应用，掌握了三角函数单位圆定义就可以了，删除三角函数线避免了知识的简单重复。

2.教学内容过程优化，利于知识有序建构

新教材在继承旧教材优点的基础上，通过设置“节首导语”、增加“归纳栏目”、改进“问题引导”、调整“习题编排”、优化“回顾与思考”等改进，使知识建构的过程更加符合学生的认知规律，有效促进学生更高质量地建构数学知识，促进数学素养的阶段性、连续性发展。

（1）设置节首导语，引导新旧知识起承传接

新教材继承了旧教材设置章首语的成功做法，每一节均以节首导语开始，意在明了本课的学习内容及与已经学过的相关知识之间的联系，这样的设置对于学生的学习具有很好的引导作用，引导学生主动思考新旧知识的联系，以激发学生主动将新知纳入旧知并同化、顺应。“函数的概念与性质”主题中的3.1 节的节首语“在初中我们已经接触过函数的概念，知道函数是刻画变量之间对应关系的模型工具……”[5]在回顾初中所学函数的基础上，通过设置悬疑的方式谈了进一步学习的必要性，起到了很好的起承传接的作用。

（2）增加归纳栏目，引导感性知识共性概括

新教材在知识建构过程中在继承了原教材“观察”“思考”和“探究”栏目的基础上，新增了“归纳”栏目，这样的设置可以有效促进学生主动对感知进行归纳概括，培养学生归纳概括、数学表述的能力，落实“三会”，尤其是在对函数的概念与性质的归纳过程中，发展数学抽象、逻辑推理等核心素养。例如3.1.1 函数的概念中设置的“上述问题1—问题4 中的函数有哪些共同特征？由此你能概括出函数概念的本质特征吗？”就可以有效促进学生主动概括函数概念、分析共性、找到本质。

（3）改进问题引导，落实四种能力形成发展

新课标将提高学生“发现和提出问题、分析和解决问题的能力”[7]作为课程目标，新教材在“观察”“思考”和“探究”栏目中相比旧教材而言，进一步改进了引导问题的设置，更加突出了发现和提出问题能力的课堂落实。学生在学习的过程中可以感知问题的生成逻辑和提出机理，这样的过程多次重复后可以有效积累学生发现和提出问题的经验。例如在3.2.1 单调性与最大（小）值中讲单调性的概念时，通过正文旁的问题框和思考栏目提出的问题：“函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，你能举出在整个定义域内是单调递增的函数例子吗？你能举出在定义域内的某些区间上单调递增但在另一区间上是单调递减的例子吗？”[8]直击单调性概念的核心关键，指向性更明确，逐步引导学生思维走向深入，让学生在学习过程中积累了提出与发现问题的活动经验，落实了“四能”的培养。

（4）调整习题编排，利于课堂知识高效巩固

新教材在习题编排上下了很大的功夫，一方面把习题分成了“复习巩固”“综合运用”与“拓广探索”，使习题更具针对性、选择性和层次性。“复习巩固”是基础性作业，强调对必备知识的掌握；“综合运用”是能力性作业，强调知识间的综合性与关联性，强调对关键能力的培养；“拓广探索”是视野拓广性作业，强调知识的迁移和灵活应用。另一方面通过设置“拓广探索”部分以体现习题的应用性、交汇性、开放性与探索性。例如在复习参考题3 的拓广探索第11 题设置了经济学里的供应曲线与需求曲线，体现了数学在经济学中的应用；又如在习题4.5 中第14 题中设置了三种函数模型，供学生选择最符合题目中汽车耗油函数关系的函数模型，题目的开放性和实际应用性可以有效提升学生的数学建模素养。

（5）优化回顾思考，理清全章内容知识脉络

从“函数的概念与性质”这一主题内容来看，虽然新教材的每章还是由章引言、正文、小结、复习参考题四个板块构成。但是在“回顾与思考”栏目，改变了原教材直接呈现问题的做法，先对整章内容进行归纳整理，形成知识网络结构后，再通过问题引导学生对重点关键知识进行复习整理。通观“函数的概念与性质”主题内容涉及的各章，这些问题的设置体现了“阶段性、连续性”，建构函数概念与性质知识的特点。例如，第三章的“3.函数的性质一般包括哪些方面？为什么要研究这些性质？你能总结一下研究函数性质的一般过程与方法吗？”[9]第四章“4.回忆指数函数、对数函数的研究过程，你能由此说说如何研究一类函数吗？例如研究的内容、过程和方法。”[10]

3.旁注例题精细雕琢，彰显教材指导作用

（1）增加旁注，提升教材的严谨性与可读性

从“函数的概念与性质”这一主题内容来看，新教材对旁注可谓精雕细琢，具体表现出两个方面的提升：一是提升了教材的严谨度，表述更规范、更精练、更严谨，例如函数的基本性质旁注相比旧教材“在事物变化过程中，保持不变的特征就是事物的性质”增加了“变化中的规律性就是性质”显然更为严谨明白，彰显了教材指导作用；二是拓宽了旁注的功能，旁注作为教材正文中的补充说明使教材更具可读性，既有对教材中知识的解读，也有对教材中未加解释的内容的补充，还有对于为什么要这样的说明，相比旧教材显得更为灵活和丰富，例如函数单调性练习题4 的旁注就是对于题目为什么要这样的说明，在指导学生学习的同时，提升了教材的可读性。

（2）精选例题，提升例题的示范性与导向性

从“函数的概念与性质”这一主题内容来看，新教材例题素材关注时代特色，体现“五育融合”，例题强调了分析的示范性作用。一方面，新教材例题编排关注新时代社会主义建设的新成果，反映了时代变化过程中数学在解决实际问题中的作用，充分利用新时代产生的新素材、新情景的育人功能。例如第一册3.1 节的例8 是关于依法纳税的一个题目，第一册3.2 节例4 是关于烟花曲线的问题，这些题目的设置充分体现了时代特色，反映了社会生活的方方面面，发挥了例题的育人导向功能。另一方面，新教材例题在知识、方法、表述上都起着引领示范的作用，在例题的处理上，新教材的部分复杂例题在“解”之前增加了“分析”，一些较为复杂的例题增加了思路分析，帮助学生理解题意、示范思路分析，充分发挥了例题在解题中的示范作用。

三、“函数及其性质”主题内容使用建议

1.从整体单元主题的视角理解“函数及其性质”

函数这个主线内容是根据函数这个重要数学概念及其衍生出来的知识群所组成的数学核心知识模块，“函数的概念与性质”这个主题教学内容是根据函数主线内容各知识之间内在关联性统筹重组和优化后的相对独立的数学整体教学内容。在新课标提出“整体把握教学内容”[11]的大背景下，它区别于传统意义上的章节模块“函数的概念与性质”，而是分阶段蕴含于整个“函数主线”内容的各个主题板块，贯穿新教材的必修部分第一册和选择性必修部分的第二册中。教学中，学生对“函数的概念与性质”理解是分阶段连续螺旋上升的（见表1）。

表1 “函数的概念与性质”的阶段性理解

2.从学生学习过程的视角理解“教材逻辑架构”

新课标指出：“高中数学课程体现现代社会发展的需求、数学学科的特征和学生的认知规律，发展学生数学学科核心素养。”[12]新教材在处理好数学的逻辑序和学生的心理发展序上下足了功夫，增加了“归纳”栏目，在“观察”“思考”“探究”栏目和正文旁的问题框的设置上，特别注意通过问题引导学生，特别注意过程的合理性，使学生的思维在有序的学习过程中不断触及问题的关键。这就需要教师使用新教材时，从学生学习过程的视角理解“教材逻辑架构”，关注学生获取数学知识过程的合理揭示，设计具体可感知的概念学习的环节和方法，促进学生有序地建构稳固的高质量的数学知识结构，提高学习的效率和质量。

3.从核心素养落地的视角理解“教材编写变化”

新教材在基于体现新课程理念的前提下，编排呈现方式上发生了很多的新变化，这些变化对于落地核心素养培养具有非常重要的指导作用，作为教材的使用者，教师应该深刻理解这样的变化。使用新教材整体设计“函数的概念与性质”教学时要关注以下几点：一是要关注函数主线下主题内容、课时内容在主线内容中的逻辑结构以及在这种结构中对于落实核心素养的作用，具体操作时做到聚焦宏观、把握中观、落实微观的教学目标；二是要关注新教材在包括“旁注”在内的各个栏目的细节设置新变化对于核心素养发展的作用，具体操作时要在理解的前提下关注其中的用意、思想与方法；三是要关注新教材正文过程呈现和表述上的新变化，从核心素养的视角搞清楚为什么？具体操作时设计出可行的过程，将具体的核心素养培育落实在过程中，如新教材在过程微观呈现中常常蕴含了显性和隐性两个不同层面的教学目标，在使用教材时，教师需要根据课堂学习的内容、环境和对象等特点，全盘考虑、统筹安排，既要把知识、技能这种可以在反馈检测中较为明显清楚地反映其掌握水平的显性目标落实，又要把过程、思想、素养、三观等这些具有抽象性、内隐性、潜在性的隐性目标落实到具体可操作的教学过程中。

总之，新教材更是学生学的“学材”，而不仅是过去教师讲的“教材”，因此，广大中学数学教师如何利用好教材引领学生学好数学，搞好数学课堂教学，全面提高数学教育教学质量是摆在我们面前的重大研究课题。