应用联想，助力思维能力的发展

张志华

江苏省南通市海门区证大中学 226100

巴甫洛夫提出：“一切教学都是联想的表达形式.”联想是指由一种心理过程引出另一种与之有所联系的心理过程的现象，这一心理现象是沟通新知与旧知的桥梁，是实现知识迁移的纽带，它对促进学生思维能力的发展具有举足轻重的影响［1］.

长期以来，受传统教育习惯的影响，部分教师认为：数学是一门严谨的学科，应以培养学生的逻辑思维能力为主，切忌将非逻辑性思维带给学生.这种观念，从很大程度上限制了学生联想能力的发展，成了学生思维发展道路上的绊脚石.鉴于此，笔者从自身多年的高中数学执教经验出发，谈谈如何在教学中以联想助力学生思维能力的发展.

相近联想，助力观察与分析问题能力的发展

相近联想是指一些在时间或空间上相似或相近的事物，容易在学习者的认知系统内形成一定的联系，由此事物联想到彼事物.教学中，遇到一些新颖的、学生比较陌生的问题时，可鼓励学生根据命题提供的条件与结论，联想一些与其结构、意义、形式上相似或有所关联的知识，通过相近联想的方式，实现知识的正迁移.这种解决问题的方式，不仅能培养学生观察、分析与解决问题的能力，还能有效地培养学生由此及彼的迁移能力.

例1已知函数f（x）=于［-c，c］（c＞0）上的最小值为m，最大值为M，求M+m的值.

本题题干虽简单，却是一道复杂的分式函数问题，主要涉及最值的知识，学生在课堂中提出了以下几种解题思路：

思路1：从导数的角度来解决问题.本题涉及含绝对值的分式函数，求导过程实非易事，因过程繁杂、操作不易，故放弃.

思路2：用特殊值进行猜想解题.观察本题提供的条件，定义域［-c，c］是一个对称的区间，从这个结构特征出发，可将x=0，x=±，x=±π分别代入原式进行计算，从而推测出M+m=2，但这只是特殊值代入得到的结论，该结论是否准确，有待论证.

思路3：考虑到函数最值与其奇偶性、单调性等接近，分离函数f（x）=；根据y=sinx为奇函数，可知也是奇函数.根据奇函数的性质g（-x）=-g（x），得g（x）于［-c，c］（c＞0）上的最大值和最小值的和为0，因为f（x）=1-g（x），故本题的结论为M+m=2.

从学生的解题思路来看，思路3是根据函数的最值与奇偶性、单调性之间存在的相似性引发的联想，再结合函数的对称性，很快就获得了答案.这种解题思路完美地避开了单独求最值M，m的过程，实属解决本题的上上策.

作为教师，应充分肯定学生“不断尝试—思维受阻—调整策略”的思维历程.在学生顺利解题后，可引导学生对此探索过程进行总结，让学生感知相近联想独有的魅力，以完善学生对函数性质的认知.

相近联想在本教学片段展现出了化难为易、化生为熟、化繁为简、化抽象为直观的重要作用.教学中，教师还可以引导学生不断地积累一些知识与方法，便于发现知识的相似处，通过相近联想的运用，发展学生观察与分析问题的能力.

类比联想，助力发现与迁移问题能力的发展

类比联想是指根据两类或两种事物间存在相似或相同的性质，推导出其他相似或相同属性的思维过程，它是创造性思维的一种表现形式，对于培养学生的创新意识与能力具有重要的促进作用.教学中，师生可以通过类比猜想推导出许多数学性质与结论，对学生发现问题并迁移数学问题具有重要影响.

波利亚认为：“类比是伟大的引路人，立体几何问题的求解，常依赖于平面几何问题的类比［2］.”为了探析立体几何的解题思路，教师常引导学生将处于三维空间的研究对象转化为二维或一维空间进行类比分析.除此之外，在解析几何中，类比联想应用得也较为广泛.如线性规划问题中，当目标函数呈现出的形式，就可以与斜率公式进行类比，获得（x-a）2+（y-b）2的形式，再与两点间的距离公式进行类比，利用其几何意义解决问题.

当找不到问题的类比对象时，教师可以引导学生凭借问题结构上的相似性，找出类比点，通过适当的代换，把毫无头绪的待求问题转化成类比问题.

例2已知定义在R上的函数f（x）对任意实数x，y，一直满足f（x+y）=f（x）+f（y），在x＞0时，f（x）＜0.

（1）求证f（x）是奇函数；

（2）求证f（x）是减函数.

分析：这是一道常见的关于抽象函数的试题，若能充分利用f（x+y）=f（x）+f（y）这个条件，并分别赋予x，y以内涵，证明这两个问题难度并不大（证明过程略）.为了通过类比联想的方式培养学生发现与迁移问题的能力，教师可在学生解题的基础上提出变式，供学生训练，实现知识迁移.

变式：已知定义在（0，1）内的函数f（x）对任意正数x，y，一直满足f（x·y）=f（x）+f（y），在x＞1时，f（x）＜0.问题：判断f（x）的单调性.

分析：此变式可与原题中的第（2）问进行类比解答，即利用将x2拆成（x2-x1）+x1这个技巧，根据正数x1，x2（x1＜x2）的关系，构造出一个大于1的自变量，此时将x2转化为的形式，问题便迎刃而解.

深思本题，学生在认知经验中会发现，对数函数存在与本题条件f（x·y）=f（x）+f（y）类似的运算法则，将此题与对数函数进行类比分析，展开联想，对解决本题有较大帮助.

抽象的函数问题，大部分都是由我们熟悉的一般问题转化而来的，当面临较复杂的函数问题时，可以引导学生从已经学过的函数类型中寻找有类似运算法则的一般函数，找出它的原形，再辅以类比联想进行解题，往往能达到事半功倍的教学效果，这对发展学生的知识迁移能力具有显著的帮助.

相对联想，助力思维转换与逻辑推理能力的发展

相对联想是指从关注某事物的特点或属性，转向关注与该特点或属性相反的方面，并应用由此引发的联想解决问题的过程.从相对联想的定义来看，它包含了正反两面的联想、数与形的联想以及一般与特殊的联想等.解题教学中，教师可以引导学生应用相对联想转化思维，学会从不同的视角看待与分析问题，在问题的其他面找出解题办法.

例3在一个平面内，动点P（x，y）满足.是否存在定点F1与F2，能使F1P+F2P为定值？若有，请分别求出F1，F2；若无，说明理由.

分析：从学生的常规思维出发，面对此题，大部分学生考虑用先平方再化简的方法来解决问题，但这个解题过程会异常烦琐.仔细分析本题，观察方程的结构特征，会发现方程背后存在着特殊的几何意义：动点P到（1，0）的距离与动点P到直线x=4的距离比为小于1的常数.联想椭圆的定义，可知动点P的运动轨迹为椭圆，常数为该椭圆的离心率.由此可确定F1P+F2P为定值，两定点分别为F1（-1，0），F2（1，0）.

为了发展学生的转换思维与逻辑推理能力，在本题的基础上，教师提出了两个变式，以训练学生对相对联想的应用.

分析：①对比例3与变式1的条件，比值由变成了，其他并未发生变化，由此可联想到双曲线方程；②变式2可顺利联想到抛物线方程，问题便迎刃而解.

从本题来看，若从“数”的角度分析问题时遇到了障碍，可以尝试换一个思考方向，将方程所呈现的结构特征与直观的“形”相结合，即可柳暗花明.数与形是同一数学现象的不同表达方式.解决数学问题时，教师可以引导学生从数与形的形式特点与结构特征出发，通过以形助数或以数辅形的方式进行对立联想，实现数与形的灵活转化，以简化问题 难度，实现解题［3］.

当然，除了以上三种联想方式外，还有很多联想方式，在此就不一一展开阐述了.

总之，伟大的发现离不开大胆的猜想，联想是促进学生思维发展、培养创新意识、实现人类科技发展的基本途径之一.基于此，教师应把握好联想应用的方向，引导学生应用各种联想方式，积累活动经验，实现思维能力的突破与数学核心素养的提升.