“物理光学”中菲涅耳波法线方程的教学范式及探索

陈云天，邵鹤冉，杨振宇，万辰皓

（华中科技大学光学与电子信息学院 湖北 武汉 430074）

物理光学是工科院校“光学工程”学科下的重要基础性课程，其中关于菲涅耳波法线方程的理论推导过程烦琐，且对数学基础要求较高。为了更好地帮助学生理解学习各向异性介质中光传播的本质，笔者从“物理光学”教学实践中探索教学研究新范式，提出了一种更为合理和简洁的方法讨论各向异性介质中光传播特性。

晶体中的菲涅耳波法线方程描述了单色平面波传播的等效折射率和光波法线方向之间的关系，揭示了单色平面波的传播特性。在菲涅耳波法线方程的求解的基础上，可进一步求解单色平面波的矢量波函数，即各偏振分量间的相对大小，从而完整地刻画了单色光波在晶体及其他均匀各向异性介质中的传播特性。本文从本征值问题的角度出发，探讨均匀各向异性材料中光波传播特性的本征值属性，将菲涅耳波法线方程和矢量波函数的求解过程合二为一，为各向异性介质中光波传播特性的教学提供一种更为简洁、清晰的思路。

1 均匀各向异性晶体中的本征模式

1.1 晶体中的单色平面波和菲涅耳波法线方程

菲涅耳波法线方程作为光学和电磁理论的一个重要基本公式，是理解单色光波在各向异性晶体中传播的关键，也是后面学习和掌握利用双折射原理实现起偏器、分束器和玻片的基础。尽管在《物理光学》课本中给出了菲涅耳波法线方程详细完备的推导过程及结论，但推导过程复杂且烦琐，无法通过公式（1）直观还原其推导过程的物理意义和物理本质。笔者在教学科研的实践过程中总结了一套更为直观的方法，创新地从本征值角度出发来探讨菲涅耳波法线方程。据笔者所知，直接从本征值角度出发来探讨菲涅耳波法线方程的方法，没有出现在国内外中英文经典教材和相关科技文献中。

1.2 晶体中的本征模式

在各向异性的均匀光学环境中，平面波的电场和磁场可以表达为：

将平面波形式代入上述公式并化简得到平面波条件下的麦克斯韦方程：

为了得到菲涅耳波法线方程，最关键的一步是将波矢幅度（有效折射率）和波矢方向的分离，即

图1 是波矢方向球坐标系示意图，将波矢量的幅度和方向的变量进行坐标系的变换分离后，代入平面波条件下的麦克斯韦方程，整理并化简可得线性方程组：

图1 波矢方向球坐标系示意图

其中

对公式（10）求解后可得本征方程表达式：

在分析不同的物理问题时，本征方程至关重要，这一方程几乎可以描述所有的线性问题。对于任意的物理系统，其本征方程和相应的本征值、本征矢量就可以完整刻画该物理系统。对公式（11）的本征方程进行求解，每一组解就对应一种光学模式。通过引入单色平面波近似，把麦克斯韦方程整理化简为本征方程，可以帮助我们直观地理解各向异性介质中光波传播特性，推导过程简洁易懂，物理含义更为直观。随着晶体光学和光电调制器件的不断发展，各向异性晶体，尤其是单轴晶体，在光学中应用越来越广，目前在文献和教材中给出的都是单轴晶体在菲涅耳公式上的一般形式，我们可以代入上述方法，从本征值角度分析单色平面波在单轴晶体中的传播规律。

2 单轴晶体的本征模式和菲涅耳波法线方程

各向异性材料中同一个平面波的不同偏振具有不同的等效折射率。在单轴晶体中介电张量具有旋转对称性，可以把单轴晶体写成

由此我们可以解出方程的六组解，它们分别对应不同的光学模式。

本文以独特的视角，即本征值角度来探讨各向异性介质中的光传播过程，创新地提供了一种更为简洁、清晰的教学方法，帮助同学们更好地理解各向异性介质中光传播的本质和相关数学处理方法。以单轴晶体为例，重构菲涅耳波法线方程及其对应的单色平面波波函数，并与菲涅耳波法线方程的相关结论对比，完整地刻画了单色光波在晶体及其他均匀各向异性介质中的传播特性。在“物理光学”的教学实践中探索从本征值角度探讨菲涅耳波法线方程的方法，对于培养本科学生，尤其工科院校光学工程学科下相关课程的大学生的物理思维，有一定的积极意义。

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