纵连轨道板上拱安全升温幅度简化计算方法

2022-10-14钟阳龙蔡小培侯博文

铁道学报 2022年9期

钟阳龙，蔡小培，侯博文

(北京交通大学土木建筑工程学院北京 100044)

CRTS Ⅱ型板式无砟轨道[1]是由钢轨、扣件、轨道板、CA砂浆层和支承层等组成的纵向连续结构。由于纵向变形受到约束，在夏季极端气候和持续高温[2]作用下轨道板内产生巨大温度力，从而导致轨道板上拱病害的发生，严重威胁行车安全。调研发现轨道板上拱多发生在板端。这是由于板端的板间接缝是CRTS Ⅱ型板式无砟轨道的薄弱环节，在复杂环境因素作用下可能出现损伤而导致轨道板偏心受压失稳[3]。文献[4-6]针对此问题进行了深入研究。不过现场调研发现在接缝完好地段同样存在轨道板上拱情况[7]。因此，开展无接缝损伤的纵连轨道板失稳问题研究依然十分必要，同时可为其他纵连式轨道的稳定性研究提供参考。

林红松等[8]基于建立的轨道板-桥梁-墩台有限元模型，研究了大跨桥上纵连板式轨道的稳定性。周敏等[9]在前者基础上考虑了轨道层间非线性约束，对高速铁路简支梁桥上纵连板式无砟轨道稳定性进行了分析，并提出层间约束越弱，轨道结构稳定性越差。文献[10-11]考虑了轨道板与砂浆层间的离缝，忽略钢轨和扣件影响，将纵连轨道板假定为基础上长梁，率先采用能量法对其稳定状态进行了分析。陈醉等[12]在文献[10-11]的基础上进一步考虑了上拱波长的变化，基于“不等波长模型”研究了轨道板初拱变形对稳定性的影响规律。文献[13-14]针对既有研究中将轨道板初拱变形设定为正弦曲线的不足，采用微分方程法获取了轨道板上拱波形曲线，并基于能量法推导了稳定性计算公式。

既有文献在研究轨道板上拱时普遍忽略了钢轨的作用。在高温条件下，钢轨内部同样存在较大的温度力，可能对轨道板上拱起到助推作用[15]。因此，在轨道板上拱研究中有必要考虑钢轨的影响。张向民等[15]考虑了钢轨温度力，不过在模型中仅引入了钢轨温度力的垂向分力，并未将整个钢轨考虑进去，与实际情况有所不同。

安全升温幅度TL是最小屈曲温度，对应平衡路径上的最低点，见图1。

图1 轨道板的平衡路径

由图1可知，凹曲线ALB上每一个点都对应一个平衡状态。当升温幅度Ts>TL时，每一个升温幅度对应两种平衡状态。AL曲线上的①点为不稳定平衡状态，LB曲线上的②点为稳定平衡状态。当结构屈曲时，从①点“弹动”到②点达到平稳。升温幅度越大弹动动程越大。L点为最低点，是两种状态的汇合，对应的温度为安全升温幅度TL。当轨道板所受温度小于或等于TL时，轨道板是稳定的，不会发生上拱现象[14]。安全升温幅度对于工程设计至关重要。但在既有研究中对其关注较少。本文基于等效截面法和势能驻值原理，构建了考虑钢轨作用的纵连板式无砟轨道上拱分析模型，推导了轨道板上拱安全升温幅度的计算公式，分析了安全升温幅度的参数影响规律，计算方法和研究结果可为纵连无砟轨道优化设计和养护维修提供参考。

1 计算方法

1.1 基本假设

假定钢轨和轨道板为均质线弹性体结构，不考虑初始缺陷和结构损伤的影响[13]。线路运营过程中存在轨道板与CA砂浆层离缝的不利情况，因此计算中可忽略CA砂浆层的黏结强度[10]，仅考虑垂向支撑和切向阻力的作用。另外，假定扣件在轨道板上拱过程中保持正常工作状态，可有效连接钢轨和轨道板。从而可将钢轨和轨道板等效为置于CA砂浆上的无限长梁，梁的重量和抗弯刚度等于钢轨和轨道板之和。后续对比验证表明该假定误差较小且偏于安全。此外，需要特别说明的是轨道板的初始不平顺对安全升温幅度影响很小[13,16]。图1中虚线为考虑初始不平顺时轨道板的平衡路径示意图[17]，其相应的安全升温幅度与直板结果非常接近。同时考虑到无砟轨道初始不平顺很小，因此可不考虑轨道板初始不平顺的影响。

1.2 换算等效长梁

钢轨与轨道板系统的参数见图2。

图2 钢轨-轨道板系统参数示意

设定钢轨与轨道板的弹性模量比值为m=Er/Es，热膨胀系数比值为n=αr/αs,则轨道板的单位长度重量qs可表示为

qs=9.8ρshb

( 1 )

式中：h为轨道板厚；b为宽，ρs为密度。

钢轨的单位长度重量为qr。等效长梁的单位长度重量为钢轨和轨道板之和，即

q=2qr+qs

( 2 )

等效长梁的抗弯刚度表示为钢轨和轨道板之和，即

EI=2ErIr+EsIs

( 3 )

令等效长梁材料参数与轨道板相同E=Es、α=αs，则等效长梁的截面惯性矩为

I=2mIr+Is=2mIr+bh3/12

( 4 )

由于钢轨材料参数与等效长梁不同，则需对钢轨的截面积Ar进行换算得到换算截面积Ah。考虑换算前后钢轨温度力相同，即

ErArαrTr=EsAhαsTr

( 5 )

( 6 )

则等效长梁的截面面积为

A=As+2Ah=bh+2mnAr

( 7 )

1.3 安全升温幅度计算公式

轨道结构等效为单根长梁后，可进行屈曲上拱的解析分析[10-14]。等效长梁上拱过程中的受力见图3。由图3可知，长梁主要受温度力、重力、CA砂浆阻力等作用。长梁在较大的温度力作用下发生屈曲上拱。上拱区域长度设定为2l，两端为伸缩区域。由于结构的对称性，将坐标系原点设在上拱区域中间，并以右侧(x≥0)为研究对象。

图3 钢轨-轨道板系统等效长梁上拱分析物理模型

长梁的升温幅度设为T，单位长度重量为q。CA砂浆阻力采用非线性公式[17]为

rc(u)=bτ0tanh(ηu)

( 8 )

式中：rc为CA砂浆阻力,N/m；b为轨道板宽度；τ0、η分别为砂浆界面剪切强度、曲线形状系数，根据推板试验结果[3]分别取0.025 MPa、2 500 m-1。

梁的轴向和垂向位移分别为u和v，则梁应变ε和弯曲曲率κ可表示为

( 9 )

κ=v″

(10)

既有文献研究表明[13]，采用刚性基础假定是可行的。在刚性基础假定下，梁在伸缩区域满足边界条件为

v(x)=v′(x)=v″(x)=0x≥l

(11)

在此条件下，梁在上拱过程中的总势能Π包括梁的弹性弯曲、轴向压缩、抵抗砂浆纵向阻力的变形以及重力势能，计算式为

(12)

式中：εT为温度应变,εT=αT；α为线膨胀系数；T为梁的升温幅度。

为了便于区分，将梁在上拱区域的位移表示为u1和v1，在伸缩区域的位移表示为u2和v2。

根据势能驻值原理，通过δΠ=0可以得到梁的平衡状态。参考文献[17-18]的研究，采用变分法的欧拉-拉格朗日方程计算δΠ=0，可以得到梁的平衡方程为

(13)

(14)

对于交界点x=l，满足的边界条件[18]为

(15)

对于原点x=0，满足的边界条件为

(16)

同时还满足

(17)

由式(13)的第2个计算式可知，上拱区段梁的轴向力Nt=-EA(ε-εT)是常数，那么式(13)的第1个计算式可简化为

(18)

式(18)是常系数四阶线性微分方程，其通解为

v1(x)=

(20)

式中：λl=4.493 4。

根据式(20)可以计算得到任一Nt下梁的上拱矢度ω=v1(0)。为了进一步评定什么温度条件下上拱以及获取上拱安全升温幅度，还需计算Nt与升温幅度T的对应关系。参考文献[17-18]，推导得到关系式为

(21)

(22)

根据式(21)～式(22)可以计算得到任一Nt下梁的升温幅度T。

梁的温度力由钢轨温度力和轨道板温度力组成，计算式为

EAαT=2ErArαrTr+EsAsαsTs

(23)

推导可得

(24)

结合式(24)从而计算得到任一Nt下纵连轨道板的升温幅度Ts。综合式(20)计算得到的任一Nt下梁的上拱矢度ω，可绘制出轨道板升温幅度Ts与上拱矢度ω的关系曲线，也即纵连轨道板平衡路径曲线。平衡路径曲线的最低点对应的轨道板升温幅度，即纵连轨道板的上拱安全升温幅度TL，计算式为

(25)

2 方法验证

2.1 与既有文献对比验证

本文与既有文献[14]的计算结果进行对比以验证计算方法的可行性。文献[14]虽然在模型中没有考虑钢轨，但引入了钢轨重力的影响并计算得到了轨道板上拱的安全升温幅度。本文计算参数与文献[14]相同，见表1。

表1 轨道模型参数

基于第1节所述计算方法计算得到考虑钢轨重力影响的轨道板平衡路径见图4。由图4可知，纵连轨道板上拱安全升温幅度TL=49℃，与文献[14]计算结果相同。说明本文提出的计算方法合理可行。

图4 与既有文献[14]计算结果对比验证

2.2 与有限元结果对比验证

本文同时与有限元计算结果进行对比，以验证提出的计算方法可以充分考虑钢轨的影响。基于Abaqus有限元软件建立的钢轨-轨道板上拱分析模型见图5。由图5可知，由于钢轨和纵连轨道板都属细长结构，可采用二结点三次欧拉梁单元B23进行模拟。扣件和砂浆层的非线性约束采用连接单元CONN2D2进行建模。整个轨道结构关于上拱区域中心位置的横截面对称，因此仅需建立半个轨道模型。模型的长度和单元网格尺寸通过试算确定，以达到计算精度和计算效率的综合考虑。模型一端对称约束，另一端固定约束。模型中除了施加温度和重力外，还在对称边界位置的轨道板端部节点上施加一位移扰动。通过拟静力算法，计算得到任一温度条件下轨道板上拱屈曲时刻的垂向位移(也即上拱矢度)。进而绘制出升温幅度-上拱矢度关系曲线(即平衡路径)并计算得到轨道板上拱安全升温幅度。

图5 钢轨-轨道板上拱分析有限元模型

不同钢轨升温幅度下的轨道板平衡路径见图6。由图6可以看出,计算公式得到的结果与有限元结果，不管是曲线趋势还是数值大小都非常接近，表明本文提出的计算方法是可行的。

图6 与有限元计算结果对比验证

在本文1.1节里提到该计算方法有一定误差，此处对误差产生原因进行分析。在1.1节的基本假设里提到扣件“可有效连接钢轨和轨道板”并认为梁的“抗弯刚度等于钢轨和轨道板之和”。这两个假设，前者认定扣件垂向刚度足够大从而可有效连接钢轨和轨道板，后者认为扣件纵向阻力较小，给轨道系统整体抗弯刚度的贡献可忽略不计。本节基于有限元模型，对扣件垂向刚度和扣件纵向阻力的影响进行分析，计算结果见图7、图8。由图7、图8可知，计算误差主要由后者假设产生，不过误差较小且偏于安全，因此说明该计算方法是可行的，且满足工程设计的需要。

图7 不同扣件垂向刚度下轨道板平衡路径

图8 不同扣件纵向阻力下轨道板平衡路径

3 方法应用

本节基于提出的计算方法对轨道板安全升温幅度的参数影响规律进行分析。参数包括钢轨升温幅度、轨道板厚度、轨道板弹性模量和砂浆层界面剪切强度。

3.1 钢轨升温幅度影响

轨道板安全升温幅度随着钢轨升温幅度的增加而减小，基本呈线性关系，见表2。基于该方法还可计算得到不考虑钢轨时轨道板的安全升温幅度为47 ℃，仅考虑钢轨重力时为49 ℃，同时考虑钢轨重力和抗弯刚度时为54 ℃。这说明钢轨重力和抗弯刚度可抑制轨道板失稳。但当同时再考虑钢轨温度且升温幅度达到40 ℃时，由表2可知，轨道板安全升温幅度降低到46 ℃，小于47 ℃，说明钢轨起到了加剧轨道板失稳的作用。因此，在研究轨道板稳定性时非常有必要关注钢轨的影响。