JJF 1221—2009规范中若干复杂公式的推导

江 涛

(厦门市计量检定测试院，福建 厦门 361004)

1 概述

底盘测功机在机动车检验检测行业是常见且重要的设备，是在有限的空间内用来模拟车辆在道路上行驶的各种阻力的设备，用于检验汽车车辆的燃油经济性(即油耗)、动力特性及排放性能等主要指标的重要设备，不仅如此，底盘测功机还能够快速地对车辆进行加载试验，诊断汽车在规定负载条件下可能出现的故障等[2]。

依据国家标准《GB 18565—2016道路运输车辆综合性能和检验方法》和《GB/T 18566—2011 道路运输车辆燃料消耗量检测评价方法》，底盘测功机可以用于检测车辆的动力性[3]和燃油经济性(也就是常说的百公里油耗)[4]；依据《GB 18285—2018 汽油车污染物排放限值及测量方法(双怠速法及简易工况法)》和《GB 3847—2018 柴油车污染物排放限值及测量方法(自由加速法及加载减速法)》中规定的试验方法，可以按照稳态工况法(也称ASM工况法)[5]、简易瞬态工况法(也称VMAS工况法)[5]、加载减速法(也称LUGDOWN工况法)，对汽车进行排放污染物和轮边功率检测[6]。

因此，对底盘测功机的校准工作显得尤为重要。各地计量技术部门依据《JJF 1221—2009汽车排气污染物检测用底盘测功机校准规范》(下文简称《JJF1221—2009》)对底盘测功机进行校准，包括主副滚筒直径、车速准确度、扭力准确度、基本惯量、恒载荷加载滑行时间、变载荷加载滑行时间、内部损耗功率、加载响应时间等关键技术指标[1]。

2 基本惯量计算公式推导

首先根据动量定理公式计算底盘测功机动能如下：

mv=F×t

底盘测功机两次滑行法测量底盘测功机基本惯量，两次加载力不同，因此两次的滑行时间也不同，便有了以下两个公式：

m(v1-v2)=(f1+f0)×t1

(1)

m(v1-v2)=(f2+f0)×t2

(2)

式(1)(2)中，m——底盘测功机转动惯量等效汽车质量，kg；v1——规定的滑行起始速度，48 km/h；v2——规定的滑行结束速度，16 km/h；f1——第一次加载力，N；f2——第二次加载力，N；f0——测功机内部阻力之和，N；t1——第一次滑行时间，s；t2——第二次滑行时间，s。

由式(1)得到：

(3)

由式(2)得到：

(4)

将式(4)式(3)等号两边同时乘以t1和t2，再将式(4)和式(3)相减可得：

m(v1-v2)×t1-m(v1-v2)×t2=(f2-f1)×t1×t2

(5)

由式(5)得到：

(6)

测功机上惯量模拟装置模拟汽车行驶中的平动惯量和转动惯量的总惯性质量m，称为当量惯量，而底盘测功机上所有转动部件等效的当量惯量，称为底盘测功机的基本惯量DIW[1]。

(7)

根据基本惯量滑行试验的要求，速度从v1=48km/h滑行到v2=16km/h，将单位由km/h转换成m/s，分子乘以1000，分母乘以3600，得到下式计算结果[1]：

(8)

由式(8)计算过程可以看出，0.1125的单位是s/m。

3 根据动能守恒定律推导基本惯量计算公式

底盘测功机两次滑行法测量底盘测功机基本惯量，底盘测功机转动惯量等效于汽车质量：

(9)

(10)

同理可知：

(11)

(12)

将式(12)与式(10)等号左右两边相减得到：

(13)

(14)

进一步变换可以得到：

(15)

(16)

可见，采用动量定理和动能守恒定律两种方法推导的结果是一致的。

4 恒载荷加载滑行时间公式推导

根据《JJF 1221—2009》校准规范中7.2.5恒载荷加载滑行时间的校准方法，分别设置6.0 kW和12.0 kW对底盘测功机功率吸收装置进行加载，驱动底盘测功机滚筒转动到v1以上开始自由滑行，滚筒表面线速度从v1滑行到v2的测量时间为滑行时间，推导理论滑行时间[1]。

应根据功率计算公式：

P=Fv

(17)

式(17)中，P——底盘测功机加载功率和内部损耗功率，W；F——底盘测功机滚筒阻力与内部转动惯件的机械阻力之和，N；v——滚筒表面线速度，m/s。

又由牛顿第二定律推导出：

(18)

由式(17)、式(18)可得到：

(19)

对式(19)进行积分可得：

(20)

(21)

式(21)中，t——恒载荷加载理论滑行时间，即CCDT，s；v1——恒载荷加载滑行开始速度，km/h；v2——恒载荷加载滑行结束速度，km/h；P——THP总功率，kW。

(应注意：THP=PLHP+IHP，其中PLHP是底盘测功机的内部损耗功率，IHP是底盘测功机的指示功率)，THP即为P，同时将kW转化成W。

由式(21)可以得到：

(22)

按照《JJF 1221—2009》校准规范规定，当滑行区间段为48 km/h至32 km/h时，再将速度单位km/h换算为m/s，得到平均车速40 km/h的恒载荷理论滑行时间CCDT40[1]：

(23)

式(23)中，CCDT40——测功机从48 km/h到32 km/h恒载荷加载滑行试验时的理论计算滑行时间，s。

《JJF 1221—2009》校准规范中7.2.5.2还规定，对压燃式发动机汽车(柴油车)加载减速法(LUGDOWN法)的底盘测功机，应该按照恒载荷加载滑行时间的校准方法[1]，但滑行区间段改为 64 km/h到48 km/h，根据式(22)则可推导出理论滑行时间：

(24)

式(24)中，CCDT56——进行64 km/h到48 km/h恒载荷加载滑行试验时的理论计算滑行时间，s。

因此，式(23)和公式(24)中常量0.04938和常量0.06914的单位为(m/s)2。

5 恒载荷加载滑行时间公式推导(预施加载力)

按照《JJF 1221—2009》校准规范中7.2.5.3规定，在预施加载力的条件下，测量恒载荷加载滑行时间的方法，选择12.0 kW作为总载荷THP对底盘测功机功率吸收装置进行设定，进行48 km/h至32 km/h 速度段的加载滑行测试。当测功机滚筒开始转动后，把相当于滚筒表面切向力200～600 N的重物加载在扭力校准装置上[1]。

由式(22)可以得到预加载力情况下的理论滑行时间：

(25)

为了尽量准确计算理论滑行时间，把速度滑行区间48 km/h到32km/h段均匀地分为4段，即48～44km/h滑行区间、44～40km/h滑行区间、40～36km/h滑行区间和36～32km/h滑行区间。则预加载力下，每一段理论滑行时间为：

(26)

式(26)中，CCDTF1——第一段的理论滑行时间，s；v11——第一段的滑行初始速度，48 km/h；v21——第一段的滑行结束速度，44 km/h。

将速度单位由km/h换算为m/s，得到下式：

依据上述推导，得到四段理论滑行时间总和：

CCDTF=CCDTF1+CCDTF2+CCDTF3+CCDTF4

(27)

注：JJF1221-2009中的公式(14)如下：

计算过程会因为保留位数不足而造成较大计算误差，经上述推导，与《JJF 1221—2009》校准规范给出的公式基本一致。

6 变载荷加载滑行时间公式推导

对用于汽油车简易瞬态工况法及稳态工况法排放检测底盘测功机，启动底盘测功机进入变加载滑行测试功能软件模块，把底盘测功机滚筒线速度提升到56km/h，向底盘测功机施加总载荷THP=16.2kW,当底盘测功机滚筒线速度下降到48.3km/h时，按《JJF 1221—2009》校准规范正文中表3的要求向底盘测功机阶跃加载，计算测功机速度从48.3km/h至16.1km/h速度段计算的滑行时间CCDT[1]。

变载荷加载为多速度区间段恒载荷加载之和。例如，JJF 1221—2009表3中第一个滑行区间段为加载功率7.4kW，区间段为72.4km/h至70.8km/h，将速度单位km/h换算为m/s，功率单位kW换算为W，理论时间为0.00119DIW，利用恒载荷加载式(22)计算结果如下：

=0.00119×DIW

(28)

以此类推，《JJF1221—2009》校准规范正文中表3各段累加之后理论滑行时间的总和为：

速度72.4km/h至16.1km/h加载滑行试验时，理论上计算的滑行时间0.01713DIW；

速度48.3km/h至16.1km/h加载滑行试验时，理论上计算的滑行时间0.00707DIW。

对用于压燃式发动机汽车加载减速法的底盘测功机，进行速度从72.4km/h至16.1km/h加载滑行试验，理论上所需的滑行时间CCDT也是按照上述方法进行计算。

7 内部损耗功率公式推导

按照《JJF 1221—2009》校准规范7.2.7规定，驱动滚筒转速至56km/h以上，开始自由滑行，用记录速度测量装置和滑行时间测量仪测量54km/h至46km/h滑行时间t，按式(20)计算内部损耗功率作为平均速度50km/h时的内部损耗功率校准结果[1]，理论计算时间应根据能量守恒原理公式计算得出：

(29)

(30)

(31)

式(31)中，PLHP50——速度为50km/h时的内部损耗功率，kW；Δtx——54～46km/h区间段的滑行时间，s。

根据上式推导可知，常量0.030864的单位为(m/s)2,式(30)等号右侧除以1000后,即可得到PLHP50的单位kW。