“倍长中线”的“源”点——中点

文／武益燕

全等三角形的对应边相等、对应角相等这一性质，决定了全等三角形是转化线段、角的有力“武器”。可在解决问题的过程中，常常事与愿违——没有全等三角形。那我们如何转化呢？

例如图1，在△ABC中，AD为边BC上的中线。求证：AB+AC＞2AD。

图1

【分析】要证“AB+AC＞2AD”，我们容易联想到“三角形两边之和大于第三边”。而AB、AC、AD不是同一个三角形的边，因此，我们可以转化线段，将它们集中到同一个三角形里面。由“AD为边BC上的中线”可知，BD=CD。我们可以尝试延长AD，构造对顶角，则有一组边和一组角相等，再适当构造一组相等的边或角，全等就在眼前！比如，如图2，延长AD到点E，使得DE=AD，无论是连接BE还是CE，都能得到“八字形”全等，从而构造出我们要求的三角形。

图2

把结论中的三边集中到同一个三角形，构造全等是解决本题的关键！怎么想到作辅助线？唯一的条件“中线”就是突破口。“中线”代表一组边相等，延长中线，便出现对顶角，延长中线一倍，便构造出“八字形”全等。我们不妨把这种方法叫作“倍长中线”，以便理解和记忆。

变式训练如图3，AD是△ABC的中线，E、F分别在AB、AC上，且DE⊥DF，则（）。

图3

A.BE+CF＞EFB.BE+CF=EF

C.BE+CF＜EF

D.BE+CF与EF的大小关系不确定

【分析】若按照例题的方法，我们能构造出全等三角形，但无法转化线段BE、CF、EF，故此构造无效。因此，我们需要理解本题的本质。其中D是中点，则BD=CD，若转化CF，应延长FD到G，使得DG=DF，连接BG、EG，如图4。根据两次全等：△CDF≌△BDG，△EDF≌△EDG，便能实现线段转化，最终在△BEG中运用三角形三边关系解决问题。

图4

相信你能想到也可以构造全等转化BE，殊途同归！抓住本质，合理构造，就如“倍长中线”的本质不是“中线”，而是“中点”一样。