巧用变易图式，实现高效课堂——以“一次函数及其图象”为例

耿田田，刘 坚

(济南大学数学科学学院，山东济南，250024)

在《数学是什么》这本名著序言中，美国数学家R·柯朗阐述:教师上课过程中若只是单纯注重数学的形式和演算，而不注重突出强调教学内容的本质和关键特征，会增加学生对数学的挫折和迷惑[1].瑞典大学教授马飞龙在20世纪90年代基于现象图析学提出了变易理论[2].该理论是一种有关教师如何帮助学生学习的理论，为教学内容重点难点设计变易图式，让学生更易接受知识，引导学生形成高阶思维，从而实现课堂教学设计与优化.目前，变易理论在语文、数学、英语、物理、化学、体育学科中都有应用研究[3].本文先介绍变易理论指导下教学设计的策略，然后以“一次函数及其图象”为例，希望能够为一线数学教师丰富数学课堂教学设计与优化提供帮助.

1 “变易理论”的介绍

我国变易理论教学研究主要有三个方面的进展和成果:一是探索变易理论与已有教学理念关系，把学生的生活经验与教学内容相结合，将变易模式与指导性探究结合是一种教学新视野；二是探索以变易理论为指导的教学设计流程；三是探索变易理论的适用性，不是所有学科都运用了这一教学方式，目前的研究及应用主要在一些工具学科上，数学是一主要的学科[4].变易理论出自于易经，它表示变化是有规律的，通过有规律的变化，可以让学生在变与不变的情形中审辨到知识的关键特征，使复杂的数学知识变得简单，易于学生接受.变易理论的要素包括学习内容、关键属性和一般能力.

1.1 学习内容是重点

学习内容不仅仅是单纯的理解某一个概念或者某一个理论，而是还要让学生通过学习培养一种能力，也就是学习内容的一般属性[5].数学知识的难度是层层递进，由简单到复杂的，所以老师在讲授新课前需要厘清新课内容在学科知识系统中所处的位置，学生学懂本节课已有的知识基础；走进课堂时注意把教学内容与生活经验相结合，考虑学生学了知识后能处理什么事情.例如在讲二次函数的图象是抛物线时，可以引导学生思考一下生活中类似抛物线的建筑，为后边讲“二次函数与实际问题”打下基础.

1.2 关键属性是核心

每个事物都有自己的属性，同样数学中需要掌握的知识点都有自己的关键特征.学生要想对知识学得透彻，深入理解学习内容，就必须关注或辨识到所学知识的关键特征.老师则需要对知识点创设变易的环境，帮助同学们学懂知识点，避免混淆概念.例如老师在复习“整式的加减”这一章的知识点时，会发现很多同学混淆单项式、多项式、整式的概念，这就是因为同学们没有对各个概念中隐含的关键属性清晰明了.

1.3 审辨能力是关键

变易理论认为，学习就是学生经历认知改变的过程，经历产生对事物有不同看法的过程，关键在于学生能够审辨出事物的关键特征.教师对知识进行恰当的变易，那样学生才能更好地审辨到关键特征.Marton等人提出了对照、区分、类合、融合四种变易图式[6]，为老师进行教学设计、突出知识点关键特征提供了工具，如表1所示.

表1 变易范式的常见类型

2 基于变易理论的初中数学教学设计策略

2.1 探寻学生学情，把握重点难点

在课堂教学时，有些教师更多关注的是新课内容的教学目标、重点、难点，容易忽视对学生学情的分析.变易理论指导下的教学设计要求教师在备课过程中要注意以下几点：一是通过班级平时的测试成绩、与学生的交流等，了解自己所教班级学生的平均水平，了解学生对新知识的认知水平，重难点内容要让大部分学生能接受.二是要考虑教学内容与学生的生活经验相结合，只有这样数学知识才能具体形象、生动有趣，学生才会感到数学不是枯燥乏味的，做到“亲其师，信其道”.

2.2 提高自身素养，明确教学内容

在变易理论中，教学内容分为“教师预设的教学内容”“课堂实践着的教学内容”“学生体验到的教学内容”三种.在实际的数学课堂教学中，教师理解的教学内容通常是课本上的这节课需要掌握的知识点.正如王荣生在“合宜的教学内容是一堂好课的最低标准”——以《竹影》的教学为例中写到：“一节课若离开合宜的教学内容，在教学方法上不管玩儿什么花招，树什么大旗，都是无用的.”因此教师要重视教学研讨活动，挖掘平时感觉讲解不透彻的知识点，向从事数学教学多年的老师请教.通过研讨，掌握教学内容的关键特征，了解学生对关键特征的困惑点，从而提高自身素养.

2.3 巧用变易图式，突出内容本质

变易理论提出了四种范式，教师在上课之前对每个关键特征做好相应的变易图式，在授课过程中教师巧妙理解运用四种变易图式，可以帮助学生理解所学内容的关键特征，深刻记忆所学知识，掌握本节课的核心内容.

2.4 灵活运用练习，加深学生记忆

学好数学的一个必备步骤是做练习，但不是“题海战术”.老师对例题的选择和习题的搭配要经过深思熟虑，习题千篇一律，会让学生感到枯燥，并且不利于学生的发散思维发展.而变易理论的观点是主张通过属性的对比与变化，突出事物的关键特征.老师设置练习题时，可以根据实际情况，采取变例题的条件，变例题的结论等具体的方式，从而打破学生思维的禁锢.

3 变易理论在初中数学教学设计中的应用

本节以“一次函数及其图象”为例，阐述变易理论在初中数学教学设计中的应用，函数是初中生接触的新知识点，也是初中数学学习的重难点.它是考查的热点，综合考查学生对函数的概念、性质和图象的理解，考查学生的数形结合能力和综合分析能力.初中生先接触一次函数，然后学习反比例函数，最后学习二次函数，当三种函数全部学完后，就需要学生解决三种函数的综合问题，所以学好一次函数至关重要.

3.1 “一次函数及其图象”的教学目标及重难点

教学目标：(1) 掌握一次函数解析式的特点及意义；

(2) 掌握一次函数图象的画法，根据画出的图象总结性质.

重点：掌握一次函数概念，理解表达式中y=kx+b中字母k、b的含义，根据表达式用“两点法”准确画出对应的图象，理解一次函数y=kx+b与一次函数y=kx之间的联系与区别，根据图象总结归纳性质.

难点：给出一个表达式，能迅速地画出一次函数的图象，实现数形结合；会建立一次函数模型解决实际问题.

3.2 活用变易范式，开展教学设计

3.2.1 认识一次函数的概念

(1) 同学们，假设你们排队做核酸检测，做一个需要两分钟，试写出你们需要等候的时间(t)与你们前边人数(n)之间的函数关系式.t=2n

(2) 假设教室黑板的周长为6 m，设长为l(cm)，宽为a(cm)，写出l关于a的函数关系式.l=3-a

(3) 同学们，假设你们去书店买书，书店的政策是交一百块钱领一张优惠卡且100存入优惠卡，之后再买书时就可以享受八折优惠，假设每本课外读物原价是200元，试写出你花费的费用(y)与购买本数之间的函数关系式.y=200×0.8x.

设计意图：通过三个与同学们密切相关的实际问题，列出关系式.利用变易图式类合的功能，让学生总结归纳出一次函数的概念.

表2 一次函数概念变易图式

3.2.2 正比例函数y=kx的图象和性质

任务一：画正比例函数y=x的图象，结合图象同桌交流讨论归纳函数的性质.

设计意图：研究函数的性质最好的方式是结合具体的图象，在这个探索过程中也可以培养同学们数形结合的思想.

图1

练习：分别画出y=2x、y=3x的图象，并讨论函数图象的特点，分析函数的性质.

设计意图：(1) 学生画出函数y=2x、y=3x的图象，分析函数的特点，指出函数的增减性，与坐标轴的交点坐标，根据函数图象的增减情况分析函数的性质，分别讨论函数图象的特点和性质，体现了变易图式分离的功能；(2) 首先分析3个函数解析式的相同和不同之处，然后在同一直角坐标系中画出它们的图象，分析3个函数图象之间的相同和不同之处，利用变易图式类合的功能，总结y=kx(k>0)图象的特点、函数的性质,帮助学生审辨到y=kx(k>0)中k的含义.

图2

不变变审辨3个函数图象都是倾斜直线,都是递增的,都经过原点图象的倾斜程度不一样直线y=kx(k>0)经过一、四象限为递增的图象经过原点

表4 k值的关键特征

任务三让同学们独立画出y=-x、y=-2x、y=-3x的图象，并且让学生思考解析式有什么相同不同之处？图象有什么特点？y=kx(k<0)中，k表示什么？等问题.

设计意图：在任务二中学生已经掌握了一次函数y=kx(k>0)图象的特点，接着讨论一次函数y=kx(k<0)图象的特点.通过观察分析3个函数图象，利用变易图式类合的功能，总结一次函数y=kx(k<0)图象的特点，根据图象特点指出函数的性质.同时对比3个函数图象，让同学们再审辨到y=kx(k<0)中k表示什么.

表5 k值的关键特征

完成上边两个任务后，在类合中归纳出图象特点和性质.

表6 正比例函数y=kx图象特点和性质

3.2.3 一次函数y=kx+b的图象和性质

任务一：

让学生独立画出一次函数y=x+5、y=x、y=x-5的图象，并且思考解析式有什么相同和不同之处？画出的三条直线有什么关系对于一次函数y=kx+b，k表示什么？b表示什么？

设计意图：首先分析三个函数解析式，能够得到y=kx+b中，k相同，b值不同；然后引导同学们观察三条直线互相平行，再引导同学们观察出y=x-5、y=x+5的图象可以由y=x的图象向上或向下平移5个单位长度得到.通过变易图示的类合功能，帮助学生审辨到y=kx+b是由y=kx向上或向下平移b个单位长度得到的，同时让学生能够审辨到b值的关键特征，得出b值表示向上或向下平移的单位，再让学生结合以上图象思考k、b代表什么？也就是把k、b两个关键特征对图象的影响进行了融合，让学生清楚一次函数图象是由k、b两个关键特征共同影响的.

表7 y=kx+b与y=kx

表8 b值的关键特征

数学课堂学习的关键是让学生获得思维的提升.老师在进行教学设计时，教学目标不仅要注重知识与技能等显性目标，还要注重培养学生思考能力与问题解决的能力等隐性目标[7].在课堂上需要选取适当的变易图式对教学内容的关键属性进行变易，然后设置灵活的练习题，让学生不仅学会数学知识，更要学会方法和发展数学思维，实现高效课堂.