具有共因故障和不完全检测的多部件可修复系统非负时间依赖解的存在唯一性

闫 妍，赵志欣

(长春师范大学数学学院，吉林 长春 130032)

0 引言

共因故障是在短时间内或者同一时间，多个相关部件由于共同原因而发生失效的现象.目前，复杂的工业系统中共因故障普遍存在，特别是在高可靠性设备中，如核设施和航空航天器等.一般地，具有共因故障的可修复系统虽然会增加系统可靠性建模分析的难度，但是其分析结果也更接近实际情况.结合共因故障，许多学者都对系统可靠性进行了广泛研究.SINGH[1]研究了具有检测不完全和共因故障的多部件并联系统，得到了系统有效性的测度；ALIZADEH[2]结合共因故障给出了冗余安全相关系统模型，分析了系统可靠性指标；CHENG[3]给出了具有逆变器、不可靠转换开关和共因故障太阳能电力系统模型，提出了可靠性指标显式解的算法；黄泰俊[4]提出了概率共因失效的多状态可靠度计算方法，解决了单元和系统状态丢失的问题.这些研究多集中于系统的可靠性及相关指标，本文将在文献[1]的基础上对系统非负时间依赖解的存在唯一性进行研究.

1 系统模型

系统由两个相同的部件并联组成，每个部件由C个串联可维修的独立组件构成.部件有两种状态，即工作状态和故障状态.系统有一个检测器，用于维修设备和更换设备.当部件发生故障时，检测器进行检测.如果检测器成功检测出部件中故障的组件，则维修故障组件；如果检测器未检测出部件中故障的组件，则更换该部件.维修遵循先坏先修的原则，维修后立即返回系统使用，同时假定修后如新.在维修期间，检测器监测维修过程.只有一个以上部件运行时共因故障才会发生.检测、维修、共因故障和更换相互独立，部件或组件的故障率均假定为常数，系统维修时间服从一般分布.

系统状态如下：状态S0表示两部件处于工作状态，系统正常运行且处于完好状态；状态S1，一个部件发生故障，另一个部件处于工作状态，系统正常运行；状态S2，检测器检测出故障部件中第c个组件故障，并对故障组件进行维修，另一部件处于工作状态，系统正常运行；状态S3，检测器未检测出部件中故障组件，对其进行更换，另一部件处于工作状态，系统正常运行；状态S4，对故障部件中的组件进行维修，另一部件发生故障并等待检测，系统失效；状态S5，部件发生故障并进行更换，另一部件发生故障并进行检测，系统失效；状态S6，部件发生故障并进行检测，另一部件发生故障并等待检测，系统失效；状态S7，部件发生故障并进行更换，另一部件发生故障并检测出第c个组件故障，故障组件进行维修，系统失效；状态S8，部件发生故障并进行替换，另一部件发生故障并等待更换，系统失效；状态S9，共因故障导致处于系统失效.结合文献[1]，利用随机过程并全概率分析的方法，系统可以用微分-积分方程组描述为

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

边界条件为

P9(0,t)=β(P0(t)+P1(t)+P2(t)+P3(t)).

(11)

初值条件为

P0(0)=1，其余为0.

其中，P9(x)绝对连续.D(B)=X，系统方程可以转化为Banach空间X中的抽象Cauchy问题：

(12)

2 主要结论

系统转化为抽象Cauchy问题后，为了证明该系统解的存在唯一性，先讨论系统算子的相关性质.

证明 对任意给定的Y=(y0,y1,y2,y3,y4,y5,y6,y7,y8,y9(x))∈X, 考虑方程(rI-A)P=Y, 即

结合边界条件, 解得

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

由(13)～(22)并结合Fubini定理, 可以得到

定理2D(A)在X中稠.

由定理1、定理2和Hille-Yoside定理，算子A生成一个C0半群.易得‖BP‖≤N‖P‖，这里N=max{2α,pcpγ+qγ+α,μ+α,η+α,μ,η+pcpγ+qγ,pcpγ+qγ,η,η+μ,M}.显然算子B为有界线性算子.再由C0半群有界线性算子扰动定理，则可以得到如下定理.

定理3系统算子A+B生成一个C0半群T(t).

定理4系统算子A+B是耗散算子.

证明 对∀P=(P0,P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7,P8,P9(x))T∈D(A)，取

这里，

结合边界条件，可得

[-(α+β+pcpγ+qγ)[P1]++2α[P0]++μ[P4]++η[P5]+]+[-(α+β+μ)[P2]++

pcpγ[P1]++η[P7]+]+[-(α+β+η)[P3]++qγ[P1]++μ[P7]++η[P8]+]+

[-μ[P4]++α[P2]++pcpγ[P6]+]+[-(η+pcpγ+qγ)[P5]++α[P3]++qγ[P6]+]+

[-(pcpγ+qγ)[P6]++α[P1]+]+[-(η+μ)[P7]++pcpγ[P5]+]+[-η[P8]++qγ[P5]+]-

由定理3、定理4和Philps定理[6]，A+B生成一个正压缩C0半群T(t).

定理5系统(12)存在唯一非负时间依赖解，且‖P(t,·)‖=1.