APOS理论在初中数学教学中的应用

徐东红

（重庆师范大学数学科学学院 重庆 401331）

引言

数学概念教学在数学教学中占据着重要的位置，它是通过教师对数学概念进行讲解，使学生在头脑中初步建构出概念表象，在经过对比、分析、综合后，了解概念之间的内在联系，最终学生在头脑中运用新概念建构并形成概念网络的一个过程。美国数学家杜宾斯基提出的APOS理论，有效促进了学生自主建构，数学概念的水平。为了有效地实施数学概念教学，本文基于APOS理论，对二元一次方程进行了教学设计。

一、基于APOS理论的数学概念认知过程

APOS理论主要针对的是数学概念教学。它是指学生在经历活动之后对自己所参与的活动进行反思，从中获得结论。在APOS理论中，学生通过自己的心理自主构建把握对概念的理解，从而使概念产生意义。APOS理论分为四个阶段：活动、过程、对象和图式[1]。这四个阶段循序渐进，学生在经历完这四个阶段过后，最终对数学概念产生理性认识。

1.活动阶段

“活动”是指个体亲自投入活动中，通过已有的认知结构基础和基本经验获得新知识。

2.过程阶段

“过程”是指个体通过不断重复上一个阶段的操作，从而对上一个阶段进行自我反思，学生的数学思维不断碰撞，头脑中将外在的活动经过内化、压缩后，形成理性的知识，并且用数学语言将数学概念归纳出来。

3.“对象阶段”

“对象”是指个体对概念有更深层次的理解，认识到了概念的本质，头脑对概念能够实施更为高级的运算。

4.“图式阶段”

“图式阶段”是指个体的概念认知水平达到了更高的层次，新概念与原有认知结构中的概念可以相互联系，形成综合图式。

二、APOS理论与数学概念教学之间的联系

目前，数学概念的教学模式层出不穷。在我国的数学概念课中，教师大多使用概念形成和概念同化的方式帮助学生获得概念[2]。其中，概念形成的过程可以分为四个步骤，如图1所示。所谓概念的同化，究其本质，是教师通过对概念的科学定义加以呈现，让学生借助自身掌握的知识内容，同时结合自身经验，对概念内涵进行全面理解，从而使原来的认知结构发生变化，获取新概念的一种方式[3]。

图1

在以往的数学概念教学中，似乎更关注学生掌握及应用概念，而忽略了概念的生成。因此，将概念的形成与概念的同化相结合，从学生已有的知识经验出发，抽象出数学概念的教学模式，更适合学生的发展。

三、基于APOS理论的初中“二元一次方程”概念课的教学设计

1.活动阶段——创设情境，亲身体验、理解概念的意义

活动1：同学们，方程对我们来讲并不陌生。在小学阶段，我们就已经初步了解了什么是方程，在初一阶段，我们也系统地学习了一元一次方程。下面就让我们一起共同回顾一下一元一次方程的概念以及性质。教师通过提问的方式，复习一元一次方程的相关知识，用类比的思想方法展开二元一次方程的学习，最后和学生一起朗读本堂课的学习目标。

活动2：篮球是同学们喜爱的运动项目，老师也同样是个篮球迷。前段时间，X区组织了一场篮球比赛，教师利用多媒体播放篮球比赛的视频，视频中详细说明篮球比赛的计分规则以及篮球运动员比赛的胜负情况：本次篮球比赛没有平局，每局均要分出胜负。每队胜1场得2分，负一场得1分，“必胜队”在本次区篮球赛上10场比赛中得到16分。教师此时提出问题：“必胜队”胜负场数分别是多少？教师引导学生思考并探索其中的等量关系，然后根据等量关系列出含有所设未知数的方程。

在解决这个问题时，教师首先要引导学生设一个未知数（设“必胜队”胜了x场），然后利用一元一次方程的知识列出方程：

学生回答后，教师再追问：根据问题中的等量关系，你能设两个未知数列出反映题意的方程吗？

设“必胜队”胜x场，负y场，由此列出二元一次方程组：

在学习二元一次方程之前，学生接触到的是一元一次方程，教学中，教师首先回忆旧知，回顾一元一次方程的特征，为二元一次方程的定义做准备，要完成两者之间的转变，还应该在具体的情境下帮助学生理解。在活动阶段，教师通过实例，让学生经历了从实际问题到抽象的数学概念的过程，初步感知了什么是二元一次方程。活动阶段，学生对概念的认识处于最原始阶段，这个阶段为下一阶段提出二元一次方程概念做好了铺垫。

2.过程阶段——体会二元一次方程概念的生成过程

针对学生所列出的一元一次方程以及二元一次方程组，让学生仔细观察，发现其中的异同（这两类方程①②都含有未知数，且未知数的项的次数都是1，但是①只含有一个未知数，②含有两个未知数）类比一元一次方程的概念，自然地过渡到如何归纳得出二元一次方程的概念，并要求学生尝试用自己的语言描述出来。教师点评纠正后给出二元一次方程概念的准确定义。

（全班齐读概念，在书上勾画出概念中的关键词：两个未知数，项的次数是1）。在②中，两个方程中的x都代表队伍胜的场数，y都代表负的场数，它们所表示的对象分别相同，在理解的时候不应该将其分裂开来。学生从中体会到将两个表示的相同对象的不同未知数联立起来可以得到一个二元一次方程组，从而归纳出二元一次方程组的概念：将一共含有两个未知数的一次方程联立在一起组成的一组方程，叫做二元一次方程组。

在APOS理论的过程阶段，是对活动过程中产生的新知进行高度概括，学生逐渐认识到了概念的本质，最终得到准确的数学概念[4]。由于学生在活动阶段对概念只是初步感知，为了获得概念的准确定义，还需要对具体的例子归纳总结，形成概念的定义。

3.对象阶段——通过辨析，深化概念

【练习1】下列选项中哪些是二元一次方程，哪些不是，请说明理由。

【练习2】判断下列方程组是否为二元一次方程组？不是的请说明理由。

教师通过练习，找出学生的易错点以及易混淆的地方，深化对概念的理解，最后总结判断二元一次方程组的方法：先化再看。化指的是先将方程组化简为最简形式，看分为三看：一看，方程组的方程是否都是整式方程；二看，方程组中是不是只含有两个未知数；三看，含有未知数的项的次数是不是都为1。

【做一做】满足x+y=10的解有哪些？满足2x+y=16的解有哪些？

教师让学生开展小组合作学习，讨论过后将这些解分别填入表格（注意要让学生考虑到本题的实际意义，x，y是有一定的范围）。学生在得到解的同时，体会到二元一次方程组有很多解，观察这些解当中含有同时满足两个方程的公共解，得到二元一次方程组解的概念。

【练一练】1、二元一次方程x+y=10的解是？

在过程阶段，学生能够用数学语言准确描述二元一次方程的概念。在对象阶段，学生对二元一次方程概念有更深的认识，对于概念中每一个词都有更好的体会，因而会用概念辨析哪些是二元一次方程。此过程中，概念作为一个整体的对象，学生对概念可以进行更高级别的运算，教师继续引导其思维的操作概括出二元一次方程组和二元一次方程组解的概念，

4.图式阶段——实例演练，形成综合心理图式

【知识应用】鸡兔同笼是我国古代的一类算术趣题，解决此类问题有多种方法。现有鸡兔同笼，共有35个头，94只脚，问鸡兔各多少只？

学生合作交流，分成两个小组进行讨论，一个小组用一元一次方程求解，另外一个小组尝试用二元一次方程组（不要求求解），这也是为后面所学的解二元一次方程组埋下伏笔。小组派代表上台展示自己小组的讨论结果。在展示结束后，教师点评，提醒学生解决问题时可以尝试设两个未知数寻找等量关系，这样的求解更为简单直观。

图式阶段是对概念的综合应用阶段，个体对概念本质以及概念体系的进一步理解、揭示和实际化。通过以上四个阶段，在心理上已经自主建构出有关二元一次方程的图式，学生在此过程中对二元一次方程有了比较完整的认识。二元一次方程概念的学习与初三所学习的一元二次方程的概念也有着紧密的联系。因此，学生初步建立起来的二元一次方程的概念也为后面的知识做了铺垫，头脑中的认知结构不断地被丰富，最后形成综合的心理图式。

四、教学反思

本堂课基于APOS理论，教学设计中严格遵循活动、过程、对象、图式四个循序渐进的阶段组织概念教学，揭示了概念的形成过程。该理论从学生的客观现实体验出发，在数学思想的指导下不断思考、分析、理解，强调学生的主动参与性，最终自主构建出自己的数学概念图式[5]。在活动阶段，呈现的是生活中常见的篮球赛的数学素材，学生初步感知到二元一次方程在生活中运用，让学生产生一种生活中处处是数学的感觉，体会数学在现实生活中的存在性，激发起学生的求知欲。数学课堂中，学生最佳的课堂状态是学生能带着问题走进课堂，此阶段，隐性的数学概念通过显性的活动直观呈现出来，趣味且符合认知水平的情境让学生能够主动参与、思考，和老师同学们一起积极互动、探索。在过程阶段，教师要引导学生自觉地对活动进行思考：什么是二元一次方程？它和一元一次方程有什么异同？学生通过已有的知识基础和基本活动经验，归纳总结出二元一次方程的概念。在对象阶段，学生对二元一次方程概念的理解更为深刻，概念也更为具体，对二元一次方程的概念进行更高层次的运算，会判别哪些是二元一次方程，概念中的关键词有哪些？哪个地方易错易混淆？图式阶段中数学概念不再是孤立的存在，概念之间存在着顺延和联系，此阶段二元一次方程的概念在头脑中形成了综合的图式：学生能够将二元一次方程与之前所学习的一元一次方程联系起来，并且能够从一元一次方程有解，推断出二元一次方程同样有解，对比一元一次方程与二元一次方程之间的区别在于含有未知数的个数不同。整个教学过程中，学生通过活动主动体验数学概念的发生以及发展过程，在原有的认知基础上获取了新知。

在教学中，教师应该引导学生从现实中抽象出数学知识，培养他们发现问题并解决问题的能力，在活动阶段的情境，应该设置学生感兴趣的活动，这样就能将被动活动转化为主动地探究。如此一来，学生既发展了数学思维，也获得了丰富的情感体验，数学概念的图式结构发展得更为“茂密”。在图式阶段，教师鼓励学生开展小组合作交流，展示本堂课的学习成果，发现新的问题。教师把课堂交给学生，这充分地发挥了学生在课堂上的主体性和能动性，更有利于学生进行有意义的学习。