变指标Morrey空间上分数次极大算子及交换子的弱型估计

徐 博，陶双平

(西北师范大学数学与统计学院，甘肃 兰州 730070)

1 主要结果

设0≤α

(1)

其中Q为n中的方体.给定一个局部可积函数b，由b和Tα生成的交换子定义如下：

(2)

给定可测函数p(·)：n→[1，∞)，变指标Lebesgue空间Lp(·)定义为

其上的Luxemburg-Nakano范数为

定义1[3]设p(x)∈L∞，10，使得对任意的z∈n及r>0，Lebesgue可测函数u(z，r)：n×(0，∞)→(0，∞)，满足

那么称u为Lp(·)(n)意义下的Morrey权函数，用Wp(·)表示所有满足上述条件的Morrey权函数的集合.

定义2[3]设p(·)：n→[1，∞)，u(z，r)∈Wp(·).变指标Morrey空间n)定义为

定义3[8]设p(·)：n→[1，+∞).若存在常数C>0且p∞∈，满足

(3)

(4)

对于任意p(·)：n→[1，∞)，定义

本文的主要结果如下：

定理1 设0<α

(5)

所定义.若存在常数C1>0，使得∀z∈n和r>0，u满足

(6)

定理2 设b∈BMO(n)，设0<α0，使得对任意z∈n和r>0，u满足

(7)

2 定理的证明

引理1[4]若0<α0，使得对任意f∈Lp(·)，有

引理2[9]设b∈BMO(n)，0<α0，使得对任意f∈Lp(·)，有

引理3[10]设0<α0，使得对任意球B，有

引理4[11]设p(·)：n→[1，∞)为全局log-Hölder连续，k为正整数，B⊂n，则对任意b∈BMO(n)，j，i∈Z且j>i，有

其中B=B(x，r)，Bi=B(x，2ir).

引理5[12]设p(·)：n→[1，∞)满足(3)和(4)式，1=p-≤p+<∞，则存在常数C≥1，使得对任意球B，有

引理6[13]设p(·)：n→[1，∞)满足(3)和(4)式，则存在常数C，D>0，使得对任意球B，有

(8)

注意到存在常数C>0，使得对任意z∈n且r>0，有

因此，

(9)

由(6)，(8)，(9)式得

由引理6和(5)式，得

其中C，D>0且与z，r均无关.因此

则有

因此，由拟落数的定义，有

对z∈n且r>0取上确界，得

由引理2，得

进一步，利用(7)和(9)式得

对于I1，由广义Hölder不等式和引理3，有

由引理4和引理5得

因此，

对于I2，由引理4和广义Hölder不等式，有

结合I1，I2的估计，有

进一步，由(7)式得

因此，由拟范数的定义，有

对z∈n且r>0取上确界，得