电磁学突变面上矢量的处理方法

林天哲

(南京大学 物理学院，江苏 南京 210033)

本文将以静电场、静磁场的4个基本方程作为切入点，研究它们在做闭合曲面积分与闭合曲线积分时的特殊情况，也就是闭合曲面曲线边界上存在电荷电流的情况.并在这之后以现有的普遍使用的电磁介质的数学模型为基础，提出解决计算电磁介质边界上物理量的方法，并结合例题以说明.

1 第二类高斯闭合曲面与高斯闭合曲线

在静电场与静磁场中有4个基本方程，其分别对电场和磁场做了闭合曲面积分与闭合曲线积分，在一般的问题当中，我们所取的闭合曲面与闭合曲线上都是不含有电荷或者电流的，就算所取闭合曲面或曲线上含有电荷或电流，相对于电磁场的积分那些电荷与电流的作用也可以被忽略.以图1为例，这是一个电荷面密度为σ的无限大带电平面，对于其上加粗的圆环，显然上面分布有电荷，但是对于空间中任意一点场强的积分，去掉这一圈电荷将对积分的结果毫无影响.当然读者也可以类比在计算一元连续函数积分时，当函数曲线上存在一个一类可去间断点时并不会对定义域内积分结果产生影响.下面给出简要证明.

为证明上述结论，可以证明圆环上的电荷总量为一无穷小量，也就是说，这些电荷去掉前后其余电荷总量与分布均无变化，故对于空间任意一点其电场强度也无变化.取平面上任意性状点集，圆环上的点全部包含在点集内部，用‖λ‖代表点集上任一点到圆环上点的最大距离，故有

(1)

图1 电荷面密度为σ的无限大带电平面与高斯面

事实上，这是一个基于几何数学模型的基本结论，当定义了高阶的密度，比如质量体密度时，那么对于此体积中任意一个面的质量在数学上收敛为0，只有在无穷个面累加时才能得到总质量.而下面将着重讨论一类特殊的闭合曲面与曲线.在这些面与线上，分布的电荷或电流不能视为无穷小量而忽略.为区分它们与传统闭合高斯曲面曲线的不同，称它们为第二类高斯闭合曲面与高斯闭合曲线.

1.1 电学部分

我们将讨论点电荷分布在闭合曲面与曲线上时的情况，如图2(a)和2(b)所示.并分别计算其第二类曲面积分与第二类曲线积分.首先要强调一件事情，当点电荷分布在高斯面与闭合曲线上时，其积分均为广义积分，在求解的同时，也应该注意此广义积分能够收敛的条件.

图2 第二类高斯闭合曲面示意图

对于2(a)中的情况，点电荷q对于整个闭合曲面的通量等于通过其在曲面上点的一个与那一点切平面相切的曲率小球的通量.这是一个对曲面有要求的条件，即曲面上那一点必须存在切平面，也就是说该点可微.

下面来计算具体数值，对应图2(a)有

显然，如果该点不存在切平面，则关于θ角的取值范围并不会是由0到π/2，就算收敛，结果也不尽相同.而对于闭合回路积分，由电势的概念知道尽管点电荷处电势发散，但是空间中包含点电荷的闭合回路曲线的广义积分仍然是零，即

整理有当点电荷分布在闭合曲面上的闭合曲线上时的情况，有

(2)

(3)

1.2 磁学部分

先考虑高斯闭合曲面边界点上存在电流的情况，如图3(b)所示.在这里，同样要求在曲面上存在电流元的点均可微，即存在切平面.在这种情况下，如3(c)中所示，对每一段电流元向曲面内取一小圆柱面，此时电流元对于闭合曲面的通量为通过此小圆柱面的通量.此时有

同样的，如果需要积分上下限从π/2 到-π/2，则需要曲面上该点存在切平面，这一点对于曲面的要求与电学上述讨论的相同.

图3 安培环路定理证明与第二类高斯闭合曲线示意图

下面考虑图3(a)中的情况，即闭合曲线积分边界上含有电流的情况，此时用参考文献[1]中的证明方法.导出电流圆环对于外磁场的影响，即

(4)

其中Ω是指该点对于电流环所成的立体角.将闭合环路积分成2段[图3(a)中实线段l1与虚线段l2，且P1无限接近P2，l2趋近于0]，则有

如图4所示，并结合文献[1].当P+与P-趋近于面内一点时，有

Ω+-Ω-=|Ω+|+|Ω-|=4π

(5)

趋近于面外一点时，有

Ω+-Ω-=|Ω+|+|Ω-|=2π

(6)

而当P+与P-趋近于面边界上一点时，有

Ω+-Ω-=|Ω+|+|Ω-|=0

(7)

图4 电流环所成的立体角

故又有

整理有电流分布在闭合曲面上和闭合曲线上时的情况，如

(8)

(9)

式(2)、式(3)、式(8)、式(9)就是第二类高斯曲线和曲面满足的方程，结合已知的高斯曲面和高斯曲线方程，假设所取的曲面和曲线全部为简单闭合的曲面和曲线，且曲面在存在电荷与电流元处均存在切平面时，便有

2 标准电磁介质模型

以上括号中的4个方程都可以自然地推广到连续分布的情况.对于电学，有线面体电荷之分；而对于磁学，也要规范其数学模型.并且在这一部分中，我们将从电磁介质的数学模型出发，讨论一系列的数学模型.

2.1 连续电荷与连续电流模型

一个点电荷对于空间一点的电场强度可表示为式(10).而对于连续的线面体电荷我们自然地引入δ、σ、ρ作为线密度，面密度与体密度.则其微元对于空间一点的电场强度显然可改为括号内内容，即

(10)

而对于电流，本身的电流元对于空间一点的场强可表示为

(11)

为了更详细地描述电流在空间中每一点的情况，引入了电流密度.但事实上，电流也分为面电流与体电流(一般电流就为线电流)，而二者在电流密度的定义上并不相同，如

(12)

(13)

其中en是带正电载流子运动的方向或负电载流子运动的反方向.故可通过电流密度改写Idl，结果如下：

2.2 电磁偶极子模型

电磁介质中激发空间产生电场与磁场的均是一些及其理想的电偶极子与磁偶极子，下面来介绍这二者的数学模型.以电偶极子为例，定义电偶极矩p=ql，而所谓的理想偶极子是指在l→0时p仍收敛于一定值的情况.对于磁偶极矩m=IS也同理.文献[2]中已经推导并给出了一个电偶极子与磁偶极子对外场的电场强度，即

(14)

(15)

二者高度相似.

2.3 电磁介质的电磁场

在偶极子模型的基础上，文献[2]已推导出了单个偶极子对空间激发的电势与磁矢势的表达式：

(16)

(17)

现在在这个基础上推导电磁介质在空间产生的电势与磁矢势，并进一步讨论模型.在此基础上文献[2]给出了电磁介质对于空间中一点激发的电势与磁矢：

(18)

(19)

(20)

(21)

这是十分关键的转化，也就是说不用再研究偶极子那个十分复杂的电磁场表达形式，而可以用熟悉的电磁模型(电荷与电流)代替计算其在空间产生的电场强度.但是上述推导却存在一个限制条件.我们大量运用了矢量分析中的结论，也就是说已经假设P矢与M矢在介质边界与内部是连续且有限的.就算发散，也是在介质内部类似点电荷电场发散的可用δ函数描述的形式.这是在研究一般连续体介质时潜在使用的条件，这也会成为后面讨论边界矢时采用的基本条件.

3 边界矢的修正

现将在上述模型的基础上对于电磁介质的边界问题更进一步讨论.当然，此时认为的电磁介质也需要满足上述连续条件，所取的曲面和曲线全部为简单闭合的曲面和曲线，且曲面在存在电荷与电流元处均光滑.

在这一部分，将提出一个全新的的物理量：边界矢.考虑到电磁介质问题高度的相似性，将以电介质作为切入，磁介质则以类比与给出结论为主，省略部分严格推导过程.

3.1 边界矢

考虑一个电介质体的问题，如图5所示，现在其上做如图S的闭合曲面，并计算P矢对于这个闭合曲面的积分：

图5 电介质与其边界示意图

再考虑对这个闭合曲面做E矢的积分并假设此时空间中没有自由电荷，结合式(1), 有

此时ε0E与P相加是无法消除极化电荷的.也就是说，如果在边界处使用这种计算方法，会与传统的电磁学结论产生矛盾.下面引入边界矢，在不破坏电磁介质原有理论的基础上解决这一问题.为了使论证更加易懂，现标准化我们的模型.如图6(a)所示，阴影部分介电常量为ε1，而右边白色部分的介电常量则为ε2，对于真空介电常量为1而金属导体则不考虑介电常量问题.我们还定义了分别相对于阴影空白部分的面法向en1与en2，左边一切物理量用角标1表示，右边用2. 当然如图6(b)所示，磁学情况下也类似处理，其具体推导可以结合电学过程自行完成.

首先考虑P矢的问题，在图6(a)中，使得面S1与面S2无限接近，则在P矢连续有限的假设下，其侧面的通量定为0，于是有

P1n·en2+P2n·en1=-(σ′1+σ′2)

我们希望在面S0上存在一个矢量P使得其满足下述关系用于和电场关系对应：

图6 模型示意图

解得

(22)

这是一个普遍性的结论，这意味着在边界那一点上的P矢不连续，且应该折算成左右P矢逼近边界处极限的1/2.也意味着边界上的电荷面密度为σ′1+σ′2，其由两侧P矢共同决定.对于磁介质的M矢也有同样的问题，参考图6(b)与上述求解，可直接给出结论，即

(23)

当然，以上仅仅导出了边界上P矢与M矢某一方向分量与两侧矢量的关系.现先来考虑空间的电场.再考虑电磁介质在空间产生的电磁场时，以电场为例.一方面需要考虑极化电荷产生的电场与自由电荷产生电场的叠加；另一方面电场此时就是空间中所有电荷真实产生的，也就是说此时的电场应该也严格满足1.1节提到的第二类高斯曲面与第二类高斯曲线的问题.在这一基础上讨论边界面上电场与其两侧的电场极限的关系.

首先由边界条件E1t=E2t与式(3)可知，在边界上定有

Et=E1t=E2t

(24)

磁学上同理有

Bn=B1n=B2n

(25)

下面再来考虑En的问题，再次类比对Pn的求解方法.但此时应该指出，由于E矢在空间中每一点均严格求解，也不一定在介质内部到边界上连续有限，我们此时仅讨论边界上E矢为有限值且从介质内部到边界上连续时的情况.设q0为分布在S0面上的自由电荷，并仍考虑面S1与面S2无限接近的情况.当然，当E矢在介质内部到边界上不连续有限时，我们可以直接采用P矢计算电荷分布，然后再计算电场.

考虑到q0不一定是面电荷，用通量求解，再使得S0S1S2→0

解得

由于已经假设边界上E矢为有限值且从介质内部到边界上连续，故左右极限收敛，即

(26)

再结合式(24)得

(27)

当然上式中的P1、P2、E1、E2均为P矢和E矢趋近边界时的极限.也就是说，这是极限存在情况下的结论！

结合图6(b)上述推导与式(23)和式(25)，在磁学中也有类似关系如下：

于是，在P1、P2、E1、E2、M1、M2、B1、B2极限均存在的情况下推导出的在介质边界上满足第二类高斯曲线与曲面的矢量P、E、M、B称为边界矢.

应该指出P与M是人为定义的，而E与B则是可以根据空间中电荷分布与电流分布真实情况计算而得出的.二者结合可有电位移矢量与磁场强度的边界矢如下：

如果能求出含电磁介质空间中每一点的P、E、M、B,那么这个电磁介质空间将严格满足第二类高斯曲面与高斯曲线对以上矢量的积分.也就是说，在处理问题时选取的高斯曲面与高斯曲线可以具有更大的灵活性！对于电磁介质的数学模型也有更加深刻的理解.

但是当突变面两侧存在多种介质时(超过两种)，问题会变得十分复杂.事实上从几何的角度上看：在电学方面上，一般不会存在三种介质相交还产生一个面的情况，也就是说，真正相交的不过是三维空间中的一条线，面积分时仍然可以当做小量而忽略，这并不妨碍P矢做面积分；在磁学方面，三种介质相交时，依然根据几何关系，相交处该点的面法向量一般情况无法确定(无切平面),故在2.3中讨论的磁介质模型无法使用，此点处极化电流的定义超出了已有数学模型的讨论范围.正如同教材[1-3]中的边界条件，我们还是着眼于两种介质相交的情况.

3.2 边界矢的使用举例

我们观察到边界上左右极限取1/2是一个普遍的现象.考虑到本文的读者中可能存在大学初步学习电磁学的学生，借助例题对边界矢这一物理量进行进一步的说明.

1) 如图7(a)所示，无限大平面上带有自由电荷，面密度为σ0，两侧电介质呈线性且介电系数已给出，求两侧的电场强度之比.

解答：借助边界矢的观点，此时空间电场强度由自由电荷与极化电荷真实激发，而由对称性知道极化电荷也只均匀分布在平面上.平面均匀分布电荷对面上一点产生的电场强度为0.故E= 0，便有E1=-E2，二者之比便为1.

2) 如图7(b)与7(c)所示，图7(b)为一无限长半径为R的薄圆柱，通过面电流I，现求边界上单位面积受力大小；图7(c)是一导体，上分布有面电荷σ，现求面上单位面积的受力大小.

(28)

(29)

可能有读者会疑惑，我们要求的是其余电流和其余电荷对该电流和该点的磁场与电场，为什么使用的结论所要求的磁场和电场是空间中所有电流与电荷产生的呢？这就与式(1)所说明的情况类似.图7(b) 中是在面电流上取走一条线电流;图7(c)则是在面电荷上取走一点电荷，它们对总电场强度的作用都收敛于无穷小，故算上与去掉对于外场的求解在数学结果上毫无影响！

3) 图7(d)为一条无限长的均匀磁化棒，M已知，空间中点2与点1无限逼近边界，求这两处的磁感应强度.

图7 例题用图

4 结论

本文通过对于边界矢这一概念的推导，启发学生对于电磁介质突变面的数学模型有更深刻的认识，并探索出一种不规避边界上点依然可以解决问题的方案.事实上，格里菲斯在其书《电动力学导论》中对于边界问题有过评价，即：如果将突变边界描绘成快速变化的薄层，将会更加合理.诚然，这是一种偏向现实也实际的处理方法，但是在高等教育电磁学广大的习题中，并没有大量运用均匀变化夹层这一概念，而是将其作为突变处理，故通过数学推导，提出了有关于处理此类突变面问题的见解, 希望对大家了解习题与教材中的电磁介质模型有所帮助.